基于射影幾何的極點(diǎn)和極線理論應(yīng)用與研究*

陳方玉， 曾昌濤

(重慶市第八中學(xué)校， 重慶 400030)

在此從1道重慶市2016年“一診”考題說(shuō)起，題目如下：

引例(重慶2016年“一診”16題)如圖1所示，過(guò)直線x+y=2上任意一點(diǎn)P向圓C:x2+y2=1作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q到直線l的距離的取值范圍為 .

圖1 引例圓C坐標(biāo)圖

首先給出解析法：

解答設(shè)點(diǎn)P(t，2-t)，則經(jīng)過(guò)O，A，P，B4點(diǎn)的圓的方程為

即x2-tx+y2-(2-t)y=0

得兩圓的相交弦AB方程為tx+(2-t)y=1(也可直接由切點(diǎn)弦方程的公式直接給出)，而直線OP方程：(2-t)x-ty=0

則點(diǎn)Q到直線l的距離為

此題解析法關(guān)注點(diǎn)Q坐標(biāo)的表示以及距離d的取值范圍的求解，思路清晰，但計(jì)算比較繁瑣，其實(shí)可以探求此題的射影幾何背景.其本質(zhì)上是一種繁衍變換，為了從這個(gè)角度來(lái)思考問(wèn)題，下面先介紹一些相關(guān)的概念和性質(zhì).

1 調(diào)和點(diǎn)列

性質(zhì)1 共軛性

若點(diǎn)A，B被點(diǎn)C，D調(diào)和分割，同時(shí)點(diǎn)C，D也被點(diǎn)A，B調(diào)和分割.

性質(zhì)2 調(diào)和性

性質(zhì)3 等比性

若AB中點(diǎn)為M，則有MB2=MC·MD.

2 極點(diǎn)、極線

2.1 定 義

特別地，點(diǎn)P對(duì)有心二次曲線(設(shè)其中心為O)的調(diào)和共軛點(diǎn)為Q，且PQ通過(guò)中心O，則稱點(diǎn)P變到點(diǎn)Q的變換稱為反演變換，O為反演中心，P，Q互為反點(diǎn).顯然由調(diào)和點(diǎn)列的等比性，若P，Q互為反點(diǎn)，有OP·OQ=OR2成立.

結(jié)合完全四邊形的性質(zhì)，還可以得到一個(gè)有趣的結(jié)論：如圖2所示，A，B是圓錐曲線C的一條對(duì)稱軸l上的兩點(diǎn)(不在C上)，若A，B關(guān)于C調(diào)和共軛，過(guò)B任作C的一條割線，交C于P，Q兩點(diǎn)，則∠PAB=∠QAB.

圖2 圓錐曲線C

(2) 不在二次曲線Γ上的定點(diǎn)P關(guān)于二次曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)軌跡是一條直線，這條直線l叫做P關(guān)于此二次曲線的極線，P為這條直線l關(guān)于此二次曲線的極點(diǎn).

二次曲線Γ上的點(diǎn)P關(guān)于Γ的極線為二次曲線在P處的切線.

2.2 圓錐曲線中極線的方程

所以點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的極線方程為

即(2Ax0+By0+D)x+(Bx0+2Cy0+E)y+Dx0+Ey0+2F=0.

特別地：

(3) 對(duì)于拋物線y2=2px，與點(diǎn)P(x0，y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為y0y=p(x0+x).

2.3 配極原則

如果點(diǎn)P的極線通過(guò)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的極線也通過(guò)點(diǎn)P

配極原則是一種特殊的對(duì)偶原則，規(guī)定了一個(gè)點(diǎn)列與其對(duì)應(yīng)線束之間的一個(gè)射影對(duì)應(yīng).由配極原則，不難得到共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)，共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.

由此，可以解決文章開(kāi)頭提出的問(wèn)題，解析如下：

圖3 引例解析坐標(biāo)圖C

2.4 極線的作圖方法

若一個(gè)三角形每一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于二次曲線的極線都是其對(duì)邊(每邊的極點(diǎn)也是其所對(duì)頂點(diǎn))，則稱三角形為自極三角形.內(nèi)接于二次曲線Γ的完全四點(diǎn)形ABCD的對(duì)邊三點(diǎn)形△PQR為自極三角形(如圖4).

由此，可以得到定點(diǎn)P關(guān)于二次曲線Γ的極線的作法：

圖4 自極三角形

如圖5(a)，P為不在二次曲線Γ上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交二次曲線于4點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.

在圖5中，還得到了過(guò)二次曲線Γ外一點(diǎn)P切線的作法：如圖5(b)，事實(shí)上，連接MN交二次曲線Γ于A，B兩點(diǎn)，則PA，PB恰為二次曲線的兩條切線.

(a) (b)

3 極點(diǎn)、極線理論的應(yīng)用

極點(diǎn)、極線理論雖然在高中課標(biāo)內(nèi)沒(méi)有要求，但作為圓錐曲線的一種基本特征，無(wú)論是在教材中還是在各地的高考試題和模擬試題中以此為背景的題目屢見(jiàn)不鮮，一線教師了解一些極點(diǎn)、極線理論，可以以較高的觀點(diǎn)去看待試題，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)生指導(dǎo)和試題研究.

3.1 極點(diǎn)、極線的直接應(yīng)用：判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

解析設(shè)A(x0，y0)，則由P是線段AB的中點(diǎn)得B(2-x0，2-y0)，而A，B在雙曲線上，故

變式(人教A選修2-1 2.4.2例6)已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2，1)，斜率為k.k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2=4x：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？

例2 (2016年全國(guó)新課標(biāo)卷(文科)20題)如圖6，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點(diǎn)P，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.

圖6 例2拋物線C坐標(biāo)圖

3.2 極點(diǎn)、極線性質(zhì)的深層體現(xiàn)

例3 (2015年全國(guó)1卷理科20題)

曲線C:x2=4y與直線y=kx+a(a>0)交于M，N兩點(diǎn).

(I) 當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M，N處的切線方程；

(II)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN，說(shuō)明理由.

解析(I)略；在(II)中，直線y=kx+a與y軸的交點(diǎn)為Q(0，a)，它關(guān)于拋物線的共軛點(diǎn)是其關(guān)于頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P(0，-a)，則根據(jù)調(diào)和共軛的性質(zhì)知：P(0，-a)滿足∠OPM=∠OPN.

類似的，2015年福建文科第19題、2015年四川理科第20題都是利用本題中調(diào)和共軛點(diǎn)的這一性質(zhì)進(jìn)行命制的.

例4 (2010年江蘇文、理科18題)

(I) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4，求點(diǎn)P的軌跡；

(III) 設(shè)t=9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)).

圖7 例4橢圓坐標(biāo)圖

例5 (2011年四川理科21題)

如圖8，橢圓兩頂點(diǎn)A(-1，0)，B(1，0)，過(guò)其焦點(diǎn)F(0，1)的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

圖8 例5橢圓坐標(biāo)圖

類似地，2008年安徽理科第22題、2011年山東文科第22題、2011年四川文科第21題、2012年北京理科第19題也是利用極點(diǎn)、極線的尋找或者性質(zhì)為背景命制，另外，還可以看到極點(diǎn)、極線的理論在面對(duì)解析幾何中定值、定點(diǎn)問(wèn)題的處理時(shí)，往往會(huì)帶來(lái)意想不到的解題思路或者突破口.

例6 (1995年全國(guó)卷理科26題)

圖9 例6橢圓C坐標(biāo)圖

解析由題，點(diǎn)P，Q互為反點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P的極線與射線OP的交點(diǎn).

此題其實(shí)是對(duì)反演變換的一種推廣，廣義反演變換把通過(guò)反演中心的直線仍然變?yōu)橹本€本身，把不通過(guò)反演中心的直線變成通過(guò)反演中心，對(duì)稱軸與基橢圓的對(duì)稱軸平行且與基橢圓相似的橢圓.

類似地， 2015年北京理科第19題也是以反演變換和反演點(diǎn)性質(zhì)為背景命制.

例7 過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2.

變式(2006年全國(guó)2卷理科21題)

(II) 設(shè)△ABP的面積為S，寫(xiě)出S=f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值.

相比例1—例4中以極點(diǎn)、極線為背景命制試題，例5及變式是對(duì)極點(diǎn)、極線中配極原則的應(yīng)用. 如果用類似的處理方法解決2005年江西理科第22題，會(huì)使運(yùn)算過(guò)程大幅度簡(jiǎn)化，也會(huì)給認(rèn)識(shí)問(wèn)題本質(zhì)提供方向.

當(dāng)然以上解析直接作為解題的解答過(guò)程顯然是不合適的，但上述分析過(guò)程可以幫助教師和高水平的學(xué)生理解試題的背景或者探求解題的方向. 我們一直相信：一個(gè)有科學(xué)精神的人，在研究一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，第一件事就是遙望一下這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果！問(wèn)題研究的過(guò)程，從來(lái)都是“大膽猜想，小心論證”的過(guò)程.

4 結(jié)束語(yǔ)

極點(diǎn)、極線理論在高等幾何中對(duì)二次曲線描述是極為重要的一個(gè)基本特征. 教師可以通過(guò)對(duì)二次曲線在射影幾何的觀點(diǎn)下多加研究，引導(dǎo)學(xué)生用射影幾何的方法處理中學(xué)解析幾何問(wèn)題. 這樣既能幫助學(xué)生利用舊知識(shí)去理解新知識(shí)，反過(guò)來(lái)又能用新知識(shí)解決舊問(wèn)題，使新舊知識(shí)結(jié)合起來(lái)，這無(wú)疑對(duì)于指導(dǎo)學(xué)生從更高層次理解中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而更深層次地把握幾何知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)有積極的意義.

[1] 周興和，楊明升. 高等幾何(第三版)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2015

ZHOU X H，YANG M S. Advanced Geometry (Third Edition)[M]. Beijing: Science Press， 2015

[2] 沈文選，楊清桃. 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略 幾何分冊(cè)[M]. 杭州：浙江大學(xué)出版社，2012

SHEN W X， YANG Q T. Geometric Section of Problem Solving Strategy in Senior High School Mathematics Competition[M]. Hangzhou: Zhejiang University Press， 2012

[3] 李三平. 高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2013

LI S P. High School Mathematics under High Viewpoint[M]. Xi’an:Shaanxi Normal University Press， 2013

[4] 蘇步青.高等幾何講義[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1964

SU B Q. Lectures on Advanced Geometry[M]. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press， 1964

[5] 單墫. 解析幾何的解題技巧[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009

SHAN Z. Solving Skills of Analytic Geometry[M]. Hefei: University of Science & Technology China Press， 2009

[6] 樊真美. 95年高考試題軌跡題的引申——廣義反演變換[J]. 南京高師學(xué)報(bào)，1996(12):1-6

FAN Z M. The Extension of 95 Year College Entrance Examination Questions Generalized Inverse Transform [J]. Journal of Nanjing Normal University， 1996 (12) :1-6

[7] 李鳳華. 圓錐曲線的極點(diǎn)與極線及其應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2012(4):41-45

LI F H. Poles and Poles of Conic Curves and Their Applications [J].Mathematical Communication， 2012 (4): 41-45

[8] 曾昌濤，譚衛(wèi)國(guó). 一個(gè)解析幾何定點(diǎn)問(wèn)題引發(fā)的思考[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016(6)：51-56

ZENG C T，TAN W G. An Analysis of the Fixed Point Problem in Analytic Geometry [J]. Journal of Chongqing Technology and Business University (Natural Science Edition)， 2016 (6): 51-56