ψ-強半不變凸優(yōu)化問題近似解集刻畫*

張雪清， 李 均， 劉曉靜

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶 401331； 2.重慶師范大學(xué) 圖書館， 重慶 401331)

0 引 言

凸性條件在數(shù)學(xué)規(guī)劃中一直發(fā)揮著重要的作用，推廣凸性條件被視為重要的研究課題，20世紀(jì)60年代，Mangasarian O L[1]引入擬凸和偽凸的概念，20世紀(jì)80年代，Hanson M A[2]給出了不變凸的概念，推動了對廣義凸性的研究[3-10]。1997年，Dutta J和Vetrivel V[8]引入了半不變凸函數(shù)并對其進(jìn)行了研究，同時在文獻(xiàn)[8]中還引入了兩個重要的研究工具：η-次微分和η-法錐。之后，Vetrive V[9]給出了半不變凸規(guī)劃問題最優(yōu)解的必要條件。盡管對廣義凸優(yōu)化問題最優(yōu)解集的刻畫已經(jīng)取得長足的發(fā)展。但凸優(yōu)化問題近似解的研究進(jìn)展卻相對緩慢，對其近似解的研究需要許多的限制條件和更多的研究工具，利用η-次微分，η-法錐給出了ψ-強半不變凸規(guī)劃問題擬最優(yōu)解集的等價刻畫[11-16]。

1 基礎(chǔ)知識

在這里特別指出，X表示實巴拿赫空間，X*表示X的對偶空間，Γ?X為X的子集，映射η:X×X→X為向量值函數(shù)，〈·，·〉表示內(nèi)積。為了后面的敘述方便，首先引入下面的一些基本概念:

定義1[6]函數(shù)f:Γ→R稱為在x∈Γ局部Lipschitz連續(xù)，如果存在L>0，使得

|f(y)-f(z)|≤L‖y-z‖， ?y，z∈Nδ(x)

其中，Nδ(x)是x的鄰域。若f在任意x∈Γ都局部Lipschitz連續(xù)，則f在Γ上局部Lipschitz連續(xù)。

定義2[7]若集合Γ?X相對于映射η稱為不變凸集，如果有

y+tη(x，y)∈Γ， ?x，y∈Γ，?t∈[0，1]

定義3[7]若集合Γ?X是不變凸集，函數(shù)f:?！鶵相對于η稱為預(yù)不變凸函數(shù)，如果有

f(y+tη(x，y))≤tf(x)+(1-t)f(y)， ?x，

y∈Γ，?t∈[0，1]

定義4[8]若f:?！鶵且存在映射η:X×X→X，且有ξ∈X*，則稱f在x∈Γ處相對于η的半不變凸函數(shù)，如果存在ξ∈X*，使得

f(y)-f(x)≥〈ξ，η(y，x)〉.

定義5[8]若f:Γ→R為局部Lipschitz連續(xù)，存在映射η:X×X→X且有ξ∈X*，f在x∈Γ的處的η-次微分記為

?ηf(x)={ξ∈X*∶f(y)-f(x)≥

〈ξ，η(y，x)〉，?y∈X}

定義6[8]集合Γ?X，x∈Γ且存在映射η:X×X→X，Γ在x處的η-法錐定義為

Nη(Γ，x)={ξ∈X*∶〈ξ，η(y，x)〉≤0，?y∈Γ}

定義7 若Γ?X為不變凸集，存在映射ψ:X×X→R+，ψ(x，y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y。函數(shù)f:?！鶵是局部Lipschitz連續(xù)的，稱函數(shù)f在X∈Γ處ψ-強半不變凸函數(shù)：

f(y)-f(x)≥〈ξ，η(y，x)〉+

ψ(y，x)，?y∈Γ，?ξ∈?ηf(x)

例這里取函數(shù)、映射分別如下：f(x)=x2，η(y，x)=y2，這里令x=0，容易得到：

?ηf(0)={ξ∈X*∶ξ≤1}

這里特別取函數(shù)

ψ(y，x)=(1-ξ)|y-x|2，ξ∈?ηf(x)

經(jīng)驗證，ψ(x，y)≥0，?x，y∈R，且滿足ψ(x，y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y。顯然函數(shù)f是x=0處ψ-強半不變凸函數(shù)，根據(jù)定義4，從而f是x=0處的半不變凸函數(shù)。

定義8 假設(shè)T∶X→2X為集值映射：

(1)T被稱為Γ上相對于η的不變單調(diào)映射[10]，如果對任意的x，y∈Γ，ξ∈T(x)，ζ∈T(y)，有〈ζ，η(x，y)〉+〈ξ，η(y，x)〉≤0。

(2) 存在映射使ψ:X×X→R+，得ψ(x，y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y。T被稱為Γ上相對于η的ψ-強半不變單調(diào)映射，如果對任意的x，y∈Γ和ξ∈T(x)，ζ∈T(y)，有

〈ζ，η(x，y)〉+〈ξ，η(y，x)〉≤

-(ψ(x，y)+ψ(x，y))

2 主要結(jié)論及證明

定理1 函數(shù)f:?！鶵在Γ上局部Lipschitz連續(xù)，若f是Γ上ψ-強半不變凸函數(shù)，則?ηf(·)是ψ-強半不變單調(diào)映射。

證明因為f是Γ上ψ-強半不變凸函數(shù)，存在映射ψ:X×X→R+使得ψ(x，y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y且對?x，y∈Γ，ξ∈?ηf(x)，ζ∈?ηf(y)，有

f(y)-f(z)≥〈ξ，η(y，x)〉+ψ(y，x)

f(x)-f(y)≥〈ζ，η(y，x)〉+ψ(x，y)

上面兩式相加有

0≥〈ξ，η(y，x)〉+〈ζ，η(y，x)〉+

ψ(y，x)+ψ(x，y)

根據(jù)定義8，?ηf(·)是ψ-強半不變單調(diào)映射。

〈ζ，η(x，y)〉+ψ(x，y)≤0， ?ζ∈?ηf(y)

〈ξ，η(y，x)〉+〈ζ，η(x，y)〉+

ψ(y，x)+ψ(x，y)≤0

又因為存在ξ∈?ηf(x)使得

〈ξ，η(y，x)〉+ψ(y，x)≥0

所以

〈ζ，η(x，y)〉+ψ(x，y)≤0，?ζ∈?ηf(y)

下面考慮優(yōu)化問題(P)：

min{f(x)：s.tx∈Γ}.

f(x*)≤f(x)+ψ(x，x*)，?x∈Γ

針對問題(P)，這里記它的擬最優(yōu)解集為

〈ξ，η(y，x)〉+ψ(y，x)=

〈ζ，η(x，y)〉+ψ(x，y)=0

f(x+tη(y，x))+ψ(x+tη(y，x)，x)≥f(x)

再者，映射ψ關(guān)于第一個變量是預(yù)不變函數(shù)且ψ(x，x)=0，又有

又因為f在Γ上是可微的，故

〈f(x)，η(y，x)〉+ψ(y，x)≥0

根據(jù)題意，存在ξ∈?ηf(x)，使得ξ-由定義6，顯然有故

f(x)∈?ηf(x)，?

因此，存在ξ∈?ηf(x)，使得

〈ξ，η(y，x)〉+ψ(y，x)≥0

(1)

由定理2又有

〈ζ，η(x，y)〉+ψ(x，y)≤0，?ζ∈f?η(y)

(2)

同理可得，存在ζ∈?ηf(y)，使得

〈ζ，η(x，y)〉+ψ(x，y)≥0

(3)

再利用定理2又有

〈ξ，η(y，x)〉+ψ(y，x)≤0， ?ξ∈?ηf(x)

(4)

根據(jù)式(1)-式(4)可知，存在ξ∈?ηf(x)，ζ∈?ηf(y)，使得

〈ξ，η(y，x)〉+ψ(y，x)=〈ζ，η(x，y)〉+ψ(x，y)=0

其中

(5)

因為函數(shù)f是2ψ-強半不變凸函數(shù)，根據(jù)定義7，有

(6)

根據(jù)式(5)和式(6)有

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