基于共軛Lorenz系統(tǒng)的新三維混沌系統(tǒng)研究*

袁 玉 嬌

(華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510640)

0 引 言

混沌在動(dòng)力系統(tǒng)中是一個(gè)非常普遍的現(xiàn)象，很多學(xué)科領(lǐng)域都出現(xiàn)了混沌。從電子工程中的混沌Chua電路，到天體力學(xué)中的三體問題，以及生態(tài)學(xué)中的分岔現(xiàn)象?；煦缋碚撏昝赖匕汛_定論和概率論兩大理論體系連接了起來，混沌學(xué)被譽(yù)為是20世紀(jì)繼相對(duì)論及量子力學(xué)后又一次最大的革命。

自從1963年Lorenz[1]在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中偶然發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子，Lorenz系統(tǒng)被認(rèn)為是第一個(gè)把混沌抽象出來的數(shù)學(xué)模型，在混沌學(xué)的發(fā)展中具有舉足輕重的意義，是混沌學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)重要里程碑。

五十多年來，混沌理論已經(jīng)成為科學(xué)研究中一個(gè)重要部分，對(duì)混沌的研究已經(jīng)成為現(xiàn)代非線性科學(xué)最核心的研究課題之一，混沌分析和混沌控制已經(jīng)廣泛地在動(dòng)力系統(tǒng)中被研究，混沌現(xiàn)象在自動(dòng)控制、信息科學(xué)、通信技術(shù)以及其他工程領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。一個(gè)有限維自治混沌系統(tǒng)就是一個(gè)非線性確定性系統(tǒng)，在混沌理論發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它能表現(xiàn)出復(fù)雜的、不可預(yù)測的動(dòng)力學(xué)行為。

1900年，陳關(guān)榮[2-3]提出了一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)在某個(gè)參數(shù)條件下，可得到一個(gè)與Lorenz吸引子非拓?fù)涞葍r(jià)的吸引子，此系統(tǒng)后被稱為Chen系統(tǒng)[2-3]。具有多個(gè)二次項(xiàng)的三維自治混沌系統(tǒng)對(duì)于研究分岔、極限環(huán)和混沌流有非常重要的作用。1997年，ZHANG F與HEIDEL J[4-5]研究了一個(gè)等號(hào)右邊帶有4個(gè)二次項(xiàng)的常微分系統(tǒng)，并在1999年把結(jié)果推廣到三維的保守二次系統(tǒng)。2002年，呂金虎等[6]發(fā)現(xiàn)了介于 Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間的新三維自治混沌系統(tǒng)，后被稱為Lü系統(tǒng)。2008年，楊啟貴與陳關(guān)榮[7]提出了一個(gè)新的系統(tǒng)，不同于Lorenz、Chen和Chua系統(tǒng)等，該系統(tǒng)有一個(gè)鞍點(diǎn)和兩個(gè)穩(wěn)定的結(jié)焦點(diǎn)，是連接Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的橋梁，此系統(tǒng)被稱為Yang-Chen系統(tǒng)或Yang系統(tǒng)。

近幾年里，隨著對(duì)三維微分動(dòng)力系統(tǒng)研究的深入，許多新的帶有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的三維混動(dòng)力系統(tǒng)被提出?，F(xiàn)基于共軛Lorenz混沌系統(tǒng)，利用反饋控制技術(shù)， 分別在共軛Lorenz系統(tǒng)的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程加上非線性控制項(xiàng)，由此提出了一個(gè)具有4個(gè)參數(shù)、3個(gè)二次項(xiàng)的新三維自治混沌系統(tǒng)。通過對(duì)系統(tǒng)的深入分析，研究了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，分析系統(tǒng)的耗散性與平衡點(diǎn)，利用中心流行定理，討論新三維自治混沌系統(tǒng)在雙曲與非雙曲平衡點(diǎn)O的穩(wěn)定性;進(jìn)一步討論了新系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為，通過相圖、Lyapunov指數(shù)、分岔圖等途徑，利用數(shù)值分析驗(yàn)證系統(tǒng)的混沌吸引子及周期吸引子的存在性。適當(dāng)選取系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)新三維自治系統(tǒng)的混沌、周期等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究。

1 新三維自治混沌系統(tǒng)的提出

共軛Lorenz系統(tǒng)[8-10]如下：

(1)

其中，a>0，b>0，c+d<0。

特別的，當(dāng)系統(tǒng)式(1)的參數(shù)取a=15，b=8/3，c=-1，d=-28時(shí)，系統(tǒng)式(1)的Lyapunov指數(shù)為

L1=0.904 1
L2=0.000 0
L3=-13.039 2

此時(shí)系統(tǒng)式(1)存在混沌吸引子，其相圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)式(1)的混沌吸引子：(a，b，c，d)=

利用反饋控制技術(shù)，在共軛Lorenz系統(tǒng)式(1)第一個(gè)方程加非線性控制項(xiàng)a(y-z)-yz，在第二個(gè)方程加上線性控制項(xiàng)-2dy，得到一個(gè)新三維系統(tǒng)：

(2)

其中，參數(shù)(a，b，c，d)∈R4并滿足bcd≠0。該系統(tǒng)具有4個(gè)參數(shù)與3個(gè)二次項(xiàng)。

O(0，0，0)

其中，

當(dāng)a?Ω時(shí)，新三維系統(tǒng)式(2)只有一個(gè)平衡點(diǎn)：O(0，0，0)；另外，新三維系統(tǒng)式(2)的散度為

當(dāng)滿足條件a

當(dāng)新三維自治系統(tǒng)式(2)的參數(shù)取(a，b，c，d)=(5，16，3，4.6)，系統(tǒng)式(2)存在混沌吸引子，其相圖和Poincaré映射圖分別如圖2和圖3所示。

(a) x-y-z相圖

(b) x-y二維投影圖

圖3 系統(tǒng)式(2)混沌吸引子的Poincaré映射：(a，b，c，d)=(5，16，3，4.6)

經(jīng)過計(jì)算，此時(shí)系統(tǒng)式(2)所對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為

L1=1.396 5
L2=-0.000 0
L3=-16.996 4

混沌系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)定義：

進(jìn)一步，在上述參數(shù)條件下，系統(tǒng)式(2)在平衡點(diǎn)O的特征值為

λ1=-16，λ2=-4.6，λ3=5

因此，O是一個(gè)具有二維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形的雙曲鞍點(diǎn)。

2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

對(duì)新三維混沌系統(tǒng)式(2)的平衡點(diǎn)O進(jìn)行穩(wěn)定性分析，分為雙曲平衡點(diǎn)O(a≠0)與非雙曲平衡點(diǎn)(a=0)兩個(gè)部分，其中非雙曲平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析利用中心流行定理[11-12]。

2.1 雙曲平衡點(diǎn)O(a≠0)

定理1 設(shè)a≠0，則混沌系統(tǒng)式(2)的平衡點(diǎn)O為雙曲平衡點(diǎn)，且有如下結(jié)論：

(1) 當(dāng)a>0，有以下三種情況：

若bd<0，故平衡點(diǎn)O為有一維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形的鞍點(diǎn)；

若b>0，d>0，故平衡點(diǎn)O為有二維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形的鞍點(diǎn)；

若b<0，d<0，則平衡點(diǎn)O是不穩(wěn)定的。

(2) 當(dāng)a<0，有以下三種情況：

若bd<0，故平衡點(diǎn)O為有二維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形的鞍點(diǎn)；

若b<0，d<0，故平衡點(diǎn)O為有一維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形的鞍點(diǎn)；

若b>0，d>0，則平衡點(diǎn)O是穩(wěn)定的。

證明設(shè)Jo是系統(tǒng)式(2)在平衡點(diǎn)O的Jacobi矩陣，則

(3)

進(jìn)一步，矩陣Jo的特征方程為

|Jo-λI|=(λ-a)(λ+b)(λ+d)

(4)

因而系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O處對(duì)應(yīng)的特征值為

λ1=a，λ2=-b，λ3=-d

(1) 當(dāng)a>0，有以下三種情況：

若bd<0，故鞍點(diǎn)O有一維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；

若b>0，d>0，故鞍點(diǎn)O有二維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；

若b<0，d<0，則O是不穩(wěn)定的。

(2) 當(dāng)a<0，有以下三種情況：

若bd<0，故鞍點(diǎn)O有二維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；

若b<0，d<0，故鞍點(diǎn)O有一維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；

若b>0，d>0，則O是穩(wěn)定的。

2.2 非雙曲平衡點(diǎn)O(a=0)

定理2 設(shè)a=0，則混沌系統(tǒng)式(2)的平衡點(diǎn)O為非雙曲平衡點(diǎn)，且有如下結(jié)論：

(1) 當(dāng)b<0，則O是不穩(wěn)定的；

(2) 當(dāng)b>0，則O是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明當(dāng)a=0，系統(tǒng)式(2)為

(5)

系統(tǒng)式(3)在平衡點(diǎn)O處的Jacobi矩陣A為

(6)

且A的特征值為λ1=0，λ2=-b，λ3=-d，相對(duì)應(yīng)的特征向量為

利用變換

可得

則有

(7)

根據(jù)中心流行定理，在平衡點(diǎn)O附近的中心流行可以用u表示：

Wc(0)={(u，v，w)∈R3)|v=g1(u)，w=g2(u)，|u|<δ，gi(0)=0，Dgi(0)=0，i=1，2}

(8)

其中，δ為正數(shù)且充分小。

考慮中心流行：

v=g1(u)=a1u2+a2u3+O(u4)

w=g2(u)=b1u2+b2u3+O(u4)

(9)

將式(9)代入式(7)，計(jì)算可得：

因此，

將以上表達(dá)式代入(7)，可得到系統(tǒng)式(5)限制在中心流行上的向量場的表達(dá)式：

(10)

已知b≠0，則由上述表達(dá)式可得：

(1) 當(dāng)b<0，則O是不穩(wěn)定的；

(2) 當(dāng)b>0，則O是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 數(shù)值復(fù)雜動(dòng)力學(xué)

本節(jié)通過相圖、Lyapunov指數(shù)、分岔圖等途徑，適當(dāng)選取系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)式(2)的混沌、周期等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究[13]。

3.1 取(b，c，d)=(16，3，4.6)，變化a

當(dāng)系統(tǒng)式(2)參數(shù)取定(b，c，d)=(16，3，4.6)，a在區(qū)間 [3，5]變化時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖分別如圖4和圖5所示。由圖4和圖5可以知道，系統(tǒng)在a∈[3，5]變化時(shí)，系統(tǒng)式(2)有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。即當(dāng)參數(shù)a逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)式(2)可以產(chǎn)生周期吸引子與混沌吸引子。圖6與圖7為a在區(qū)間 [3，5]變化時(shí)較典型吸引子的相圖，表1列出了各吸引子對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)。

表1 系統(tǒng)式(2)的 Lyapunov指數(shù)：(b，c，d)=(16，3，4.6)

圖4 系統(tǒng)式(2)Lyapunov指數(shù)圖:(b，c，d)=(16，3，4.6)，a∈[3，5]

圖5 系統(tǒng)式(2)分岔圖：(b，c，d)=(16，3，4.6)，a∈[3，5]

圖6 系統(tǒng)式(2)周期吸引子的相圖：(b，c，d)=(16，3，4.6)

圖7 系統(tǒng)式(2)混沌吸引子的相圖：(b，c，d)=(16，3，4.6)

3.2 取(a，b，c)=(5，15，0.1)，變化d

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取(a，b，c)=(5，15，0.1)，d在區(qū)間(0，2]變化時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)和分岔圖分別如圖8和圖9所示。由圖8與圖9可知，系統(tǒng)在d∈(0，2]變化時(shí)，系統(tǒng)式(2)有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。即當(dāng)參數(shù)d逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)式(2)可以產(chǎn)生周期吸引子與混沌吸引子。圖10和圖11為d在區(qū)間 (0，2]變化時(shí)較為典型的吸引子的相圖，表2列出了各吸引子對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)。

圖8 系統(tǒng)(2)Lyapunov指數(shù)圖：(a，b，c)=(5，15，0.1)，

圖9 系統(tǒng)式(2)分岔圖：(a，b，c)=(5，15，0.1)，d∈(0，2]

圖10 系統(tǒng)式(2)周期吸引子相圖：(a，b，c)=(5，15，0.1)

圖11 系統(tǒng)式(2)混沌吸引子相圖：(a，b，c)=(5，15，0.1)

dL1L2L3動(dòng)力學(xué)0.01-0.0003-0.1556-9.8542周期0.480.29180.0001-10.7720混沌1.560.79870.0000-12.3587混沌

[1] LORENZ E N.Deterministic Non-periodic Flow[J]. Journal of the Atmospheric Sciences，1963(20): 130-141

[2] CHEN G R，UETA T.Yet Another Chaotic attractor Creation and Chaos[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 1999，9(7):1465-1466

[3] LI T C， CHEN G R. On Stability and Bifurcation of Chen’s System[J]. Chaos， Solitons&Fractals， 2004，19(5):1269-1282

[4] HEIDEL J， ZHANG F. Non-chaotic Behavior in Three-dimensional Quadratic Systems[J]. Nonlinearity， 1997(10)：1289-1303

[5] HEIDEL J， ZHANG F. Nonchaotic Behavior in Three-dimensional Quadratic Systems II. The conservation Case[J]. Nonlinearity， 1999(12):617-633

[6] LU J H， CHEN G R.A New Chaotic Attractor Coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2002，12(3): 659-661

[7] YANG Q G，CHEN G R. A Chaotic System with One Saddle and Two Stable node-foci[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2008，18(5):1393-1414

[8] YANG Q G，CHEN G R， ZHOU T S. A Unified Lorenz-type System and Its Canomical Form[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2006，16(10):2855-2871

[9] YANG Q G，CHEN G R， HUANG K F.Chaotic Attractors of the Conjugate Lorenz-type System[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2007，17(7):3929-3949

[10] CHEN Y M，YANG Q G.Dynamics of A Hyperchaotic Lorenz-type System[J].Nonlinear Dyn，2014(77): 569-581

[11] KUZNETSOV Y A. Elements of Applied Bifurcation Theory[M].New York:Springer，2003

[12] WIGGINS S. Introduction to Applied Nonlinear Dyna-mical systems and Chaos[M].New York:Springer-Verlag，1990

[13] 張艷紅，楊啟貴.具有唯一平衡點(diǎn)的四維 超混沌Lü-like系統(tǒng)的研究[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2017，34(3):49-55

ZHANG Y H，YANG Q G. Study to A 4D Hyperchaotic Lü-like system only with One Equilibrium[J]. Journal of Chongqing Technology and Business University(Natureal Science Edition)， 2017，34(3):49-55