巧用數(shù)學(xué)作嫁衣 十字交叉速解題

李發(fā)剛

十字交叉法是進行二組分混合物平均量與組分計算的一種簡便方法，在高考中用于解決混合氣體的平均相對分子質(zhì)量及組成、同位素原子百分含量、混合烴的平均分子式及組成等問題。凡符合關(guān)系式M1×a+M2×b=M（a+b），均可運用十字交叉法，從而得到■=■（M>M2，M1>M）。

十字交叉法可表示為■。

式中，M表示混合物的平均量，M1、M2則表示兩組分對應(yīng)的量；a、b表示兩組分在混合物中所占的份額。

一、速解同位素原子（或離子）的百分含量

典例1 某氯化鈉由Na+、35Cl-和37Cl-構(gòu)成，在熔融條件下，用惰性電極使1mol這種氯化鈉電解，陽極產(chǎn)生的氣體對甲烷的相對密度為4.525，則這種氯化鈉晶體中35Cl-的數(shù)目占氯離子總數(shù)的（ ）

A.25% B.40% C.60% D.75%

【思維分析】本題乍一看，難以下手。但若注意到氯化鈉是由氯的兩種同位素離子構(gòu)成，就可以想到先求出氯元素的平均相對原子質(zhì)量，再用十字交叉法計算兩種離子的個數(shù)比。

【解析】用惰性電極電解NaCl，陽極產(chǎn)生氯氣，其相對分子質(zhì)量為4.525×16=72.4，則氯元素的平均相對原子質(zhì)量為36.2，根據(jù)十字交叉法可得：

所以35Cl-的數(shù)目占氯離子總數(shù)的百分比為■×100%=40%。答案：B

【解法點睛】計算同位素原子（或離子）的個數(shù)之比或物質(zhì)的量之比時，一般都可運用十字交叉法。該方法運用于二組分混合物的計算時，在代表二組分的兩個量和它們的平均值之間的十字交叉圖中要對角線找差值，橫向看結(jié)果。

二、速解混合氣體中的體積比問題

典例2 乙烷和丙烷的混合氣體在氧氣中完全燃燒后，將產(chǎn)物通過濃硫酸，濃硫酸增重3.06g，然后通過過氧化鈉，過氧化鈉的質(zhì)量增重3.36g，則原混合氣體中乙烷和丙烷的體積之比為

（ ）

A.2：3 B.3：2 C.1：1 D.1：2

【思維分析】本題的常規(guī)解法是設(shè)未知數(shù)，然后根據(jù)反應(yīng)方程式及差量法，列出有關(guān)CO2和H2O的量的方程組，最后求解。此法代入計算的數(shù)值不是整數(shù)，解方程容易出錯。若根據(jù)十字交叉法進行計算，則可以提高準(zhǔn)確率。

【解析】混合氣體燃燒生成CO2和H2O。濃硫酸的質(zhì)量增加了3.06g，則n（H2O）=■=0.17mol。然后通過反應(yīng)2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2，過氧化鈉增加的質(zhì)量相當(dāng)于CO的質(zhì)量，故n（CO2）=■=0.12mol，則混合氣體中H、C的原子個數(shù)之比為■，用十字交叉法得：

此處平均值的含義是“混合氣體中平均每摩爾碳原子對應(yīng)的氫原子的物質(zhì)的量”，即比值■為混合氣體中乙烷和丙烷中碳原子的物質(zhì)的量之比，則有■=■，故■=■，即為體積之比。答案：B

【解法點睛】計算混合氣體中各組分的體積之比，一般可運用十字交叉法，其關(guān)鍵在于讀懂平均值的含義，根據(jù)分母物理量得出比值的含義，必要時再根據(jù)題意進行轉(zhuǎn)化。但該法不適用于不具有加和性的物理量，如求兩種不同pH溶液混合后的pH。

三、速解混合溶液中的有關(guān)計算問題

典例3 1L 1.0mol·L-1NaOH溶液完全反應(yīng)吸收0.80 molCO2氣體，所得溶液中CO32-和HCO3-的物質(zhì)的量之比為（ ）

A.1：3 B.1：2 C.2：3 D.3：2

【思維分析】由題意可知，本題中發(fā)生了兩個反應(yīng)：2NaOH+CO2=Na2CO3+H2O、NaOH+CO2=NaHCO3。常規(guī)解法是根據(jù)化學(xué)方程式列方程組求解，也可以根據(jù)原子守恒列方程組求解。若運用十字交叉法則可以提高解題效率。

【解析】溶液中發(fā)生的離子反應(yīng)有：2OH-+CO2=CO32-+H2O、OH-+CO2=HCO3-。由題意知，平均每摩爾CO2氣體消耗的OH-的物質(zhì)的量為1.25mol。由十字交叉法得

故CO32-和HCO3-的物質(zhì)的量之比為0.25：0.75=1：3。答案：A

【解法點睛】在化學(xué)反應(yīng)中運用十字交叉法，應(yīng)先弄清楚每個反應(yīng)中的特定值，然后根據(jù)題給信息求出平均值，經(jīng)求解得出比值。在計算過程中，還要弄清所得的比值是物質(zhì)的量之比還是質(zhì)量之比。當(dāng)單位帶有物質(zhì)的量因素時（如摩爾質(zhì)量、1mol有機物消耗氧氣的量、1mol物質(zhì)轉(zhuǎn)移的電子、1mol物質(zhì)的反應(yīng)熱、1mol有機物燃燒生成的CO2的量等），十字交叉法所得的比值一般是物質(zhì)的量之比；當(dāng)單位帶有質(zhì)量因素時（如溶液質(zhì)量分數(shù)的計算等），十字交叉法所得的比值一般是質(zhì)量之比。

編輯 任 壯