基于尖點(diǎn)突變理論的拱壩安全性分析

陳迪輝 包騰飛 金盛杰 錢秋培

(1. 河海大學(xué) 水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210098； 2. 河海大學(xué) 水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心， 南京 210098； 3. 河海大學(xué) 水利水電學(xué)院， 南京 210098)

拱壩是在平面上凸向上游的空間殼體結(jié)構(gòu)，能充分利用筑壩材料的強(qiáng)度．由于其具有較好的經(jīng)濟(jì)性和安全性，在國內(nèi)外水利行業(yè)得到廣泛使用．目前研究拱壩整體安全度的方法有很多，常見的有剛體極限平衡法、有限元法、模型試驗(yàn)法等，有限元法通過突變性判據(jù)、塑性貫通判據(jù)、收斂性判據(jù)等，判斷拱壩-地基系統(tǒng)失穩(wěn)時(shí)的安全度[1]．然而采用不同的判據(jù)得到的拱壩安全度卻存在著差異．研究表明：突變性判據(jù)以壩體或壩肩部分巖體的測點(diǎn)位移變化判斷拱壩的運(yùn)行狀態(tài)．該方法的優(yōu)點(diǎn)是具有明確的物理意義．但在分析過程中受主觀性因素影響較大，并且考慮到失穩(wěn)部位的不明確，選取的監(jiān)測點(diǎn)和相應(yīng)的位移方向沒有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，分析結(jié)果存在不確定性；塑性區(qū)貫通判據(jù)概念清楚，意義明確，但是在有限元計(jì)算中，塑性區(qū)分布受模型材料的彈性模量和泊松比等參數(shù)影響較大，且塑性區(qū)貫通沒有一個(gè)明確的客觀指標(biāo)，因此采用這種方法來判斷具有局限性；有限元迭代計(jì)算不收斂判據(jù)所得結(jié)果整體安全度偏高，且干擾因素較多，采用的有限元模型網(wǎng)格形式、計(jì)算單元的類型、計(jì)算邊界范圍、不同計(jì)算軟件、選擇的破壞準(zhǔn)則等均對(duì)模型收斂性有不同程度的影響[2]．

為了解決上述判據(jù)的缺點(diǎn)，本文將引入尖點(diǎn)突變模型，以此作為拱壩整體失穩(wěn)的判據(jù)．突變理論是20世紀(jì)70年代初期發(fā)展起來的理論，可研究連續(xù)發(fā)展的過程中由量變到質(zhì)變的突然現(xiàn)象．突變理論的優(yōu)點(diǎn)在于不需要考慮整個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜微分方程，僅需幾個(gè)控制變量就可以分析系統(tǒng)的特性[3，4]．由于突變研究的是系統(tǒng)整體的變化，體現(xiàn)系統(tǒng)在外界作用下的狀態(tài)，對(duì)于拱壩這種復(fù)雜非線性系統(tǒng)，可以通過局部特征點(diǎn)的變化來反應(yīng)出整個(gè)拱壩地基系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)槭Х€(wěn)狀態(tài)時(shí)的變化過程[5，6]．因此，選用關(guān)鍵部位的特征變量來判斷拱壩整體安全穩(wěn)定是可以接受并且可信的．

為分析拱壩安全狀態(tài)隨折減系數(shù)改變而發(fā)生失穩(wěn)破壞的情況，建立拱壩-地基系統(tǒng)整體安全度分析的尖點(diǎn)突變模型，以特征值Δ的正負(fù)作為拱壩整體失穩(wěn)的判據(jù)，Δ>0，拱壩處于穩(wěn)定狀態(tài)，Δ<0，拱壩處于失穩(wěn)狀態(tài)[7]．此方法可以有效地避免常規(guī)判據(jù)中主觀性的影響，最終實(shí)現(xiàn)拱壩安全度的定量分析[8]．

1 尖點(diǎn)突變理論

突變模型有7種不同形式，尖點(diǎn)突變是目前最廣泛應(yīng)用的模型，形式簡單，只有兩個(gè)控制變量，容易構(gòu)造臨界點(diǎn)，且直觀性強(qiáng)．尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)形式為

V(x)=x4+ux2+vx

(1)

式中，x為狀態(tài)變量；u，v為控制變量．

V(x)表示一種勢函數(shù)，表征系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量．尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)對(duì)應(yīng)的相空間是三維的，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，勢函數(shù)僅有一個(gè)極值，而當(dāng)系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，勢函數(shù)有多個(gè)極值．通過式(2)求解勢函數(shù)的極值點(diǎn)，其平衡曲面由式(2)確定，式(2)在對(duì)應(yīng)空間是一個(gè)有褶皺的連續(xù)曲面，被分為上、中、下三葉．上下葉是穩(wěn)定平衡區(qū)，中葉是不穩(wěn)定平衡區(qū)[9]．

(2)

在平衡狀態(tài)下，空間相點(diǎn)在上葉或下葉變化，當(dāng)空間相點(diǎn)到達(dá)上下葉的邊緣時(shí)，瞬間跨越中葉，系統(tǒng)發(fā)生突變．體系的奇點(diǎn)集必須符合式(1)一階導(dǎo)和式(1)二階導(dǎo)為零的條件，即

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)，消去X，得到分叉集．根據(jù)尖點(diǎn)分叉理論，整理得特征值：

Δ=8u3+27v2

(4)

式(4)可以用于表征系統(tǒng)的狀態(tài)，當(dāng)Δ>0時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ≤0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生突變，處于失穩(wěn)狀態(tài)．

對(duì)于三維拱壩模型，隨著材料強(qiáng)度的折減得出每級(jí)強(qiáng)度條件下模型的典型點(diǎn)位移值，假定位移是強(qiáng)度折減系數(shù)的連續(xù)函數(shù)，并進(jìn)行Taylor公式展開，可得：

V(k)=a0+a1k+a2k2+

a3k3+a4k4+…+ankn+…

(5)

式中，a0，a1，…，an，…為待定系數(shù)；k為強(qiáng)度折減系數(shù)．一般取(5)式4次截?cái)?，可以滿足精度要求，得到

V(k)=a0+a1k+a2k2+a3k3+a4k4

(6)

對(duì)上式作變量代換，化為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)形式．

V=c4x4+c2x2+c1x+c0

(7)

式中：

(8)

當(dāng)c4>0時(shí)，有

V=y4+uy2+vy+c0

(9)

當(dāng)c4<0時(shí)，有

V=-y4-uy2-vy+c0

(10)

根據(jù)尖點(diǎn)分叉集理論，得到分叉方程為：

Δ=8u3+27v2=0

(11)

當(dāng)Δ=8u3+27v2>0，拱壩處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ=8u3+27v2<0，拱壩處于失穩(wěn)狀態(tài)[10，11]．

2 拱壩安全度實(shí)例分析

2.1 計(jì)算模型與計(jì)算方法

某混凝土拱壩，最大壩高為55 m，選用的拱壩三維非線性有限元計(jì)算模型范圍：壩體上游方向取1倍左右壩高(55 m)，壩體下游方向取2倍左右壩高(110 m)，左右岸壩肩巖體各取1倍壩高，河床建基面以下取1倍壩高．整體剖分17 992個(gè)結(jié)點(diǎn)，單元數(shù)為15 668，其中壩體的節(jié)點(diǎn)數(shù)和單元數(shù)分別為1 130和812．整體模型如圖1所示．圖2為選取的壩體下游面典型點(diǎn)位置分布．邊界條件為底面三向固定約束，上下游邊界為順河向約束，左右岸邊界為橫河向約束．

圖1 整體模型的剖分

圖2 壩體下游面典型點(diǎn)分布

壩體及地基材料采用基于Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的彈塑性本構(gòu)模型，壩體及地基的主要材料參數(shù)見表1．

表1 壩體、斷層和壩基的材料參數(shù)

選用強(qiáng)度折減法分析評(píng)價(jià)拱壩-地基系統(tǒng)的整體安全度，選取荷載計(jì)算工況如下：計(jì)算工況為正常蓄水位，其他荷載包括壩體自重和地基自重．施加荷載和邊界條件后，以0.5倍強(qiáng)度折減系數(shù)為間隔，逐步降低材料強(qiáng)度，直到有限元計(jì)算不收斂為止．然后依據(jù)有限元計(jì)算收斂情況，進(jìn)一步加密折減系數(shù)[12，13]．

2.2 結(jié)果分析

在強(qiáng)度折減系數(shù)達(dá)到6.0時(shí)計(jì)算不收斂．從5.0開始，以0.1為間隔，加密強(qiáng)度折減系數(shù)再次進(jìn)行計(jì)算，折減系數(shù)達(dá)到5.9時(shí)有限元不收斂．

考慮到位移的物理意義更為明確，且在實(shí)際工程中，位移觀測資料具有測量精度高，便于采集等特點(diǎn)，對(duì)壩體-地基系統(tǒng)進(jìn)行安全性分析時(shí)采用關(guān)鍵測點(diǎn)的位移而非應(yīng)力．選取壩體下游面8個(gè)典型點(diǎn)，繪制不同強(qiáng)度折減系數(shù)下典型點(diǎn)位移的變化情況．圖3為典型點(diǎn)位移隨折減系數(shù)的變化曲線．

圖3 壩體典型點(diǎn)順河向位移與強(qiáng)度折減系數(shù)關(guān)系曲線

從圖3可以看出，各典型點(diǎn)位移有相同的趨勢，在折減系數(shù)達(dá)到5.0前位移基本保持不變，從5.0開始逐漸減?。捎趬渭绮课皇芩畨簻囟鹊群奢d影響較小，且位移變化不太明顯，從圖中可以看到右壩肩典型點(diǎn)位移的計(jì)算值和變化值均小于拱冠梁截面典型點(diǎn)，對(duì)模型的計(jì)算精度會(huì)產(chǎn)生影響．同時(shí)考慮到突變模型應(yīng)用在實(shí)際工程中，位移計(jì)的讀取精度有限，故選用壩體拱冠梁處的位移進(jìn)行特征值的分析．

表2 典型點(diǎn)順河向位移突變特征值Δ

為求解特征值Δ，取對(duì)應(yīng)前5個(gè)k與典型點(diǎn)順河向位移進(jìn)行四次多項(xiàng)式擬合，代入方程式(1)～(11)，獲得不同折減系數(shù)ki對(duì)應(yīng)的突變特征值Δ，表2為拱冠梁典型點(diǎn)在不同強(qiáng)度折減系數(shù)下的特征值Δ．

由表2可知，在k=5.7時(shí)有3個(gè)點(diǎn)Δ值大于0，有1個(gè)點(diǎn)Δ值小于0．因此，從安全的角度來考慮，通過位移尖點(diǎn)突變模型判據(jù)，可以定量地確定該拱壩-地基系統(tǒng)的整體安全度為5.6．

2.3 結(jié)論

采用傳統(tǒng)的位移突變判據(jù)，依據(jù)圖3可以大致判斷出該拱壩-地基系統(tǒng)在正常蓄水位工況下的安全度介于5.5～5.8之間，但無法得出確切的數(shù)值．本文引入尖點(diǎn)突變模型，分析典型點(diǎn)位移與折減系數(shù)之間的聯(lián)系，得出拱壩的安全度為5.6，兩種判據(jù)綜合比較可知，位移尖點(diǎn)突變判據(jù)的結(jié)果在合理范圍內(nèi)，驗(yàn)證了尖點(diǎn)突變理論的可行性．

3 結(jié) 語

傳統(tǒng)的拱壩失穩(wěn)判據(jù)主觀性較大，無法得出準(zhǔn)確的安全度．本文采用尖點(diǎn)突變理論，在有限元分析軟件Abaqus中建立三維拱壩模型，通過特征值Δ的正負(fù)，分析拱壩整體安全度，并與位移突變判據(jù)的結(jié)果相比較，驗(yàn)證了位移尖點(diǎn)突變判據(jù)的可行性．

結(jié)果表明，在利用強(qiáng)度折減法研究拱壩安全度時(shí)，利用尖點(diǎn)突變模型，可以定量分析拱壩安全度，有效降低人為判定的主觀影響，且所得結(jié)論與傳統(tǒng)方法基本一致，但在考慮拱壩-壩基整體安全性時(shí)還要參考其他數(shù)據(jù)資料，如應(yīng)力、裂縫、橫縫開度等，綜合分析拱壩安全性．

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