管道中流體運(yùn)動(dòng)的電學(xué)對(duì)應(yīng)

王鵬旭

摘 要：平時(shí)生活處處可見的管道里，也蘊(yùn)藏著很多物理知識(shí)，流體力學(xué)便是其中之一，流體力學(xué)中的兩個(gè)重要?jiǎng)恿W(xué)規(guī)律分別是理想流體定常流動(dòng)的伯努利方程和粘性不可壓縮流體定常流動(dòng)的泊肅葉定律。本文試圖建立流體運(yùn)動(dòng)的這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)規(guī)律和電路中電學(xué)規(guī)律（歐姆定律、基爾霍夫定律等）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并據(jù)此解釋一些生活現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：伯努利方程；泊肅葉定律；歐姆定律；基爾霍夫定律

中圖分類號(hào)：O361.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）03-0192-01

1 伯努利方程和泊肅葉定律的理論推導(dǎo)

1.1 伯努利方程的內(nèi)容及推導(dǎo)[1]

定常流動(dòng)的理想流體服從伯努利方程，即流管中各點(diǎn)處p+ρv2+ρgh為一個(gè)常數(shù)，其中p、ρ、v、h是該點(diǎn)流體的壓強(qiáng)、密度、速度、位置高度，g是重力加速度。理想流體沒有粘滯，故沒有摩擦損耗，定常流動(dòng)過程中能量守恒。設(shè)想在流體中取任一流管，考慮其在經(jīng)過Δt的時(shí)間的運(yùn)動(dòng)過程中，流管兩端的壓力做功為p1S1v1Δt-p2S2v2Δt，流體的動(dòng)能增加量為ρS2v2Δ-ρS1v1Δ，流體的重力勢能增加量為ρS2v2Δtgh2-ρS1v1Δtgh1，能量守恒要求壓力做功等于機(jī)械能的增加量，同時(shí)注意到理想流體S1v1Δt=S2v2Δt，故有p1-p2=-，從而流管兩端的p+ρv2+ρgh相等，又由于流管的長度是任意選擇的，所以流管任意位置的p+ρv2+ρgh是一個(gè)常數(shù)。

1.2 泊肅葉定律的內(nèi)容及其推導(dǎo)[1]

粘性不可壓縮流體的定常運(yùn)動(dòng)中，由于存在粘滯，能量一直在損失，因此需要外力做功維持運(yùn)動(dòng)，這導(dǎo)致流體兩端有一個(gè)壓強(qiáng)差，壓強(qiáng)差p1-p2和體積流量Qv的關(guān)系是Qv=R4，其中η是粘滯系數(shù)，L是管道長度，R是圓柱形管道的半徑?？紤]定常運(yùn)動(dòng)，距離圓柱形管道中心半徑為r內(nèi)部的流體收到外部流體的粘滯力F=η2πrL應(yīng)該等于壓力差（p1-p2）πr2，從而得到管道內(nèi)部流速分布v（r）=（R2-r2），因此體積流量為Qv=v（r）2πrdr=（R2-r2）2πrdr=R4，這便是泊肅葉定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2 伯努利方程、泊肅葉定律的電學(xué)對(duì)應(yīng)及應(yīng)用

2.1 伯努利方程的電學(xué)對(duì)應(yīng)

結(jié)合流量公式Qv=Sv，其中S為截面積，v為流體速度，改寫伯努利方程p1++ρgh1=p2++ρgh2為（p1+ρgh1）-（p2+ρgh2）=ρ，方程左側(cè)等效為電勢差，右側(cè)體積流量Qv等效為電流，可類比電學(xué)中的歐姆定律。但注意對(duì)于歐姆定律U=IR，電勢差和電流是正比例關(guān)系，而改寫后的伯努利方程右側(cè)是體積流量的平方，所以這個(gè)對(duì)應(yīng)不是十分自然，從而造成伯努利方程的電學(xué)對(duì)應(yīng)無法很好地完成，這本質(zhì)上是因?yàn)椴匠讨笑裿2是一個(gè)關(guān)于速度v的二次函數(shù)。

2.2 泊肅葉定律的電學(xué)對(duì)應(yīng)

改寫泊肅葉定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為p1-p2=Qv，類比于電路，壓強(qiáng)差對(duì)應(yīng)著電勢差U，體積流量對(duì)應(yīng)著電流I，流阻（定義為壓強(qiáng)差和體積流量之比）對(duì)應(yīng)著電阻R。因此泊肅葉定理對(duì)應(yīng)著電路中的歐姆定律。同時(shí)電路中的基爾霍夫定律也可以很好地在流體運(yùn)動(dòng)中得到對(duì)應(yīng)。管道中流體運(yùn)動(dòng)滿足質(zhì)量守恒，考慮是不可壓縮流體，因此體積流量守恒，這對(duì)應(yīng)著基爾霍夫第一定律，也即電流守恒。管道中壓強(qiáng)是位置的函數(shù)，因此任一環(huán)路的壓強(qiáng)差加和為零，這對(duì)應(yīng)著基爾霍夫第二定律，也即電路中任一回路電勢差之和為零。

相比于伯努利方程情形，泊肅葉定律的電學(xué)對(duì)應(yīng)更加自然合理。由于管道中粘性不可壓縮流體的定常運(yùn)動(dòng)能夠和電學(xué)基本規(guī)律（歐姆定律、基爾霍夫定律）完全一一對(duì)應(yīng)，因此，電學(xué)中的其他規(guī)律可以完全套用到流體運(yùn)動(dòng)中來。例如電路中的焦耳定律W=IUt對(duì)應(yīng)流體運(yùn)動(dòng)過程中由于粘滯而導(dǎo)致的內(nèi)摩擦損耗為W=Qv（p1-p2）t。實(shí)際上后一規(guī)律可以這樣理解，由于是定常流動(dòng)，所以粘滯導(dǎo)致的能量損耗必須由外界提供的力做功補(bǔ)充，這個(gè)力就是壓力，流體兩端的壓力差的功率就是Qv（p1-p2），乘以時(shí)間即為壓力做功，并且全部轉(zhuǎn)換為流體內(nèi)摩擦導(dǎo)致的能量損失，該能量實(shí)際上全部轉(zhuǎn)換為熱能。另一個(gè)例子是，電路規(guī)律滿足線性疊加原理，實(shí)際上流路也滿足同樣的規(guī)律，這里不再展開說明。

我們還可以把電路中的其他一些概念類比至流路中，例如電源、電容等概念。水泵能夠提供壓力差，類似于電源提供電勢差。水箱可以儲(chǔ)水，類比電路中的電容器，在外部使用一個(gè)水泵提供壓強(qiáng)差為P時(shí)，水的高度差滿足P=ρgh，水的體積變化V=Sh，流容C==。

2.3 伯努利方程及泊肅葉定律的相關(guān)應(yīng)用

生活中有很多問題可以歸結(jié)為管道中的流體運(yùn)動(dòng)，例如城市自來水管道中的供水問題，由于水的粘滯系數(shù)比較小，因此可以考慮為伯努利方程使用的情形。人體血管中的血液循環(huán)可以利用泊肅葉定律理解，人體的心臟就可類比為一個(gè)電源，為人體的血液流動(dòng)提供壓強(qiáng)差，動(dòng)脈中的血壓變化快慢也可以利用泊肅葉定律得到解釋。在人體的主動(dòng)脈、大動(dòng)脈、小動(dòng)脈、毛細(xì)血管中，血壓在小動(dòng)脈中下降最快，在其他地方降速比較慢[2]?？紤]一個(gè)粗管道分成N個(gè)相同的細(xì)管道，粗管道中流速為v，細(xì)管道中流速為v'，流量守恒要求，細(xì)管的橫截面積為S'=，血壓的降速為k=Qv，所以細(xì)管道中血壓降速與粗管道之比為。小動(dòng)脈數(shù)目眾多，因此N比較大，同時(shí)小動(dòng)脈中流速和主動(dòng)脈、大動(dòng)脈差不多，因此小動(dòng)脈血壓降速會(huì)比較大；毛細(xì)血管中血液流速很慢，v'/v接近0，但N也比較大，最終造成毛細(xì)血管中血壓降速慢于小動(dòng)脈，但快于主動(dòng)脈和大動(dòng)脈。

3 結(jié)語

通過對(duì)伯努利方程、泊肅葉定律及其電學(xué)對(duì)應(yīng)的研究，可以將電學(xué)中的諸多概念和規(guī)律類比到流體運(yùn)動(dòng)中，我們發(fā)現(xiàn)泊肅葉定律和電學(xué)規(guī)律能夠完全一一對(duì)應(yīng)，這為解決管道中流體運(yùn)動(dòng)的問題提供了一個(gè)全新的思路，這些結(jié)果可以應(yīng)用至城市水管建設(shè)、血液流動(dòng)研究等方面。因此該對(duì)應(yīng)有著廣泛的理論和實(shí)際用處。

參考文獻(xiàn)

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004：236-251.

[2]侯玉林，喬慶軍.泊肅葉公式及其在血液體循環(huán)中的應(yīng)用[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，5（9）：38-40.