李宏銘
解題方法的主體無疑是通性通法,但是你遇到的問題可能并不都是“標準化的”.當通性通法受阻之時,你肯定渴望一種別開生面的方法出現(xiàn),達到石破天驚的效果,而這樣的方法往往真的存在,這就是本文要介紹的第二手段.
一、基本不等式求最值時的“非標準”問題
用基本不等式求二元變量的最大(?。┲禃r,如果是標準的“一正二定三相等”問題,自然毫無困難.但是如果條件不具備,比如不是正數(shù)、沒有定值或者等號不能成立等,怎么辦呢?轉化為正數(shù)、湊出定值是容易想到的.但是化為一元函數(shù)是更重要的第二思路.
二、基本量不能全部求出的問題
數(shù)學中有一個普遍的策略就是基本量,即把問題基本要素都確定下來,從而使所有的量都變得可解.比如等差(比)數(shù)列中的a1和d(q)、橢圓中的a,b,c等都是基本量,常規(guī)思路就是列出方程組求出這些值.但有時這個目標不能或很難實現(xiàn),便需要第二或第三手段了,比如找到基本量之間的關系式、設而不求、利用性質或線性規(guī)劃等等.
說明 例2中的相互制約條件不足以將a1,d求出,a1,d不是兩個獨立的變量,于是看作線性規(guī)劃問題或整體利用不等式性質.例3中的限制條件為非線性的,不能運用線性規(guī)劃來處理,但是條件為關于a1,q的不等關系,因此利用等比數(shù)列的性質處理.
三、目標函數(shù)不容易構造的問題
在動態(tài)的過程中求某個量的范圍,一般是構造目標函數(shù)轉化為值域問題.但是有時候目標函數(shù)難以構造或者雖能構造卻難以求解,特別是有兩個或兩個以上自由量的問題,就更難以處理.這時可以借助于圖形,或者把動點化歸到定點上,減少變量的數(shù)目.
解析 本題P,A,B三個均為動點,若運用向量的坐標運算及模的計算公式,將模表示為函數(shù),運算量較大,而且其中有3個自由變量,超出我們的應對能力.但考慮到C1,C2是定點,從幾何意義出發(fā)則很容易“看出”結果來.
說明 本題也可以求出兩直線交點,再將PA·PB表示為f(m)的表達式求解,但運算量太大.
數(shù)學解題離不開化歸,能化歸為標準問題固然好,不能的話也應該化歸到自己所熟悉的問題上去.顯然,你所“熟悉”的問題或方法越多,就處于越有利的地位,這就是我們講究第二手段甚至第三手段的初衷.endprint