一類三次多項式系統(tǒng)的全局分析*

方成鴻

(景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué) 信息工程學(xué)院,江西 景德鎮(zhèn) 333403)

關(guān)于平面二次多項式微分系統(tǒng)的定性分析，研究結(jié)果較豐富，文獻(xiàn)[1]有論述，對于三次系統(tǒng)，多為分析不同形式的三次系統(tǒng)，獲得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相圖或者極限環(huán)存在的條件，以便了解三次系統(tǒng)的各種全局結(jié)構(gòu).考慮如下形式的系統(tǒng)：

(1)

文獻(xiàn)[2]包含c=0時的結(jié)論，以下設(shè)c=1，否則可作適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)成.本文分析點(a,b)位于第一、三象限的情形，這時系統(tǒng)(1)以(虛)橢圓1+ax2+by2=0為垂直等傾線，通過對奇點、無窮遠(yuǎn)奇點的討論，獲得了系統(tǒng)(1)的全局結(jié)構(gòu)相圖.

1 奇點的性態(tài)

方程(1)的右端所定義的平面向量場關(guān)于坐標(biāo)x軸對稱，故中心型奇點都是中心.

引理1系統(tǒng)(1)的奇點O(0, 0)是中心.

2 關(guān)于高次奇點軌線走向的結(jié)論

為應(yīng)用方便，對文獻(xiàn)[4]的引理1進(jìn)行推廣.設(shè)原點是

(2)

的孤立奇點，其中X(x,y)、Y(x,y)在原點附近具有任意階偏導(dǎo)數(shù)，在原點處的函數(shù)值及一階偏導(dǎo)數(shù)值均為零.

定理1如圖1，設(shè)θ=θ0是特殊方向，曲線l1:y=f1(x)是系統(tǒng)(2)的水平等傾線，角域I內(nèi)無其他等傾線，如果存在正數(shù)c使得當(dāng)0

上述角域也可位于其他象限，相應(yīng)修改不等號方向即可.同理可證.

定理2如圖1，設(shè)θ=θ0是特殊方向，曲線l2:y=f2(x)是系統(tǒng)(2)的垂直等傾線，角域Ⅱ內(nèi)無其他等傾線，如果存在正數(shù)c使得當(dāng)0tanθ0在角域Ⅱ內(nèi)處處成立，那么在該角域內(nèi)系統(tǒng)(2)無軌線進(jìn)入或離開原點.

3 無窮遠(yuǎn)奇點

作Poincare變換u=y/x，z=1/x及時間變換dτ=dt/z2，系統(tǒng)(1)化為

(3)

系統(tǒng)(3)的奇點附近的軌線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示.

作變換v=x/y，z=1/y以及時間變換dτ=dt/z2，系統(tǒng)(1)化為

(4)

4 全局結(jié)構(gòu)

定理3當(dāng)a=0時，系統(tǒng)(1)的全局結(jié)構(gòu)相圖如圖4所示；當(dāng)b=0時，系統(tǒng)(1)的全局結(jié)構(gòu)相圖如圖5所示.

引理5當(dāng)a=-1且-1/2≤b<0時，鞍點B2位于左半平面的不穩(wěn)定流形以A為ω極限點.

引理6當(dāng)-1

定理4當(dāng)a<-1且b<0或者a=-1且b<-a2/2時，系統(tǒng)(1)的全局結(jié)構(gòu)相圖如圖6(1)所示；當(dāng)a=-1且-a2/2≤b<0時，系統(tǒng)(1)的相圖如圖6(2)所示；當(dāng)-1

引理7當(dāng)-1

引理8當(dāng)-1

引理10當(dāng)-1

由于div(P,Q)=-2axy，可知a≠0時在任何一個象限，系統(tǒng)(1)都不存在閉軌線.根據(jù)引理9、10、11，結(jié)合無窮遠(yuǎn)奇點的性態(tài)可得.

定理5設(shè)-1

關(guān)于ab<0的情形，另文分析，這時系統(tǒng)(1)的一條垂直等傾線是雙曲線1+ax2+by2=0.