對稱區(qū)域上二重積分的簡化計算方法

葛淑梅

（焦作大學基礎科學系，河南 焦作 454003）

對于連續(xù)的奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上二重積分的簡化計算早有討論，但當函數(shù)不具備奇偶性或不考慮函數(shù)的奇偶性，遇到對稱區(qū)域上的二重積分時，有沒有較好的計算方法呢？這里我們由一元連續(xù)函數(shù)在對稱區(qū)間上定積分的一種計算方法，類推出二元連續(xù)函數(shù)在對稱區(qū)域上二重積分計算的一種方法，使用一般方法難于計算（或計算量較大）的二重積分得以簡化計算。

對稱區(qū)間上定積分的計算有下面的命題成立。

若 f(x)是定義在區(qū)間[-a，a]上的連續(xù)函數(shù)，則有下式成立。

此式是高等數(shù)學在討論對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分計算時證明成立的，它的成立表示一元連續(xù)函數(shù)f(x)在關于y軸對稱區(qū)間上的定積分等于f(x)+f(-x)在一半?yún)^(qū)間上的定積分。借助該式可以使一些定積分的計算化難為易，化繁為簡。

解：注意到積分區(qū)間的對稱性，由（1）式可得

由此例可見，被積函數(shù)不具備奇偶性，直接計算又相當困難，但借助于（1）式轉(zhuǎn)換后被積函數(shù)就變得很容易積分了，可見此方法運用得好，能起到簡化計算的重要作用。那么，計算二重積分時，若積分區(qū)域具有某種對稱性，是否也有相應的結(jié)論成立呢？請看下面的分析討論。

(1)設 D 是關于 y 軸的對稱區(qū)域，f（x，y)為 D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D被y軸分割所得的一半?yún)^(qū)域，習慣將D1視為y軸右側(cè)區(qū)域，即x≥0部分。

因為此時區(qū)域D用不等式組可表示為

顯然區(qū)域D是關于y軸對稱的區(qū)域，由（2）式可得

同理，我們可以得出二重積分在對稱區(qū)域上計算的一系列結(jié)論。

（2）設 D 是關于 x 軸的對稱區(qū)域，f(x，y)為 D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D被x軸分割所得的一半?yún)^(qū)域，習慣將D1視為x軸上側(cè)區(qū)域，即y≥0部分。

區(qū)域D是關于x軸對稱的區(qū)域，由（3）式可得

（3）設 D 是關于原點 O 的對稱區(qū)域，f(x，y)為D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D關于原點O對稱的一半?yún)^(qū)域。

解：區(qū)域D1

區(qū)域D2

D是D1與D2的和，且D1與D2關于原點O對稱，由（4）式可得

（4）設D是既關于x軸同時又關于y軸對稱的區(qū)域，f(x，y)為 D 上的連續(xù)函數(shù)，則

其中 D1是D被x軸、y軸分割所得的四分之一區(qū)域，習慣將D1視為第一象限的區(qū)域，即x≥0，y≥0部分

（5）設 D是關于直線 y=x的對稱區(qū)域，f(x，y)為D上的連續(xù)函數(shù)，則

其中D1是D關于直線y=x對稱的一半?yún)^(qū)域

顯然D是關于直y=x對稱的區(qū)域，所以由（6）式可得

由以上討論可知，對稱區(qū)域上二重積分的計算，即使二元連續(xù)函數(shù) f(x，y)不是關于 x和 y（或 x和y）的奇或偶函數(shù)，也有較簡單的計算方法，并且包含了具有奇偶性的函數(shù)對稱區(qū)域上二重積分的簡化算法。比如當f(x，y)是關于x的奇函數(shù)時，即 f(-x，y)=-f(x，y)時，當積分區(qū)域 D 是關于 y軸的對稱區(qū)域時，代入（2）式同樣可得成立。所以應用本文給出的方法計算二重積分時，無需考慮二元連續(xù)函數(shù)的奇偶性，只要關注積分區(qū)域的對稱性就可以了。當然，不是遇到所有對稱區(qū)域上的二重積分計算時，都可以不加思索地盲目應用這里的計算方法。大家從以上例題可以看出，本文的方法主要起到了化簡被積函數(shù)的作用，即通過函數(shù)相加計算后，使得被積函數(shù)更容易積分了，才能起到簡化計算的目的。所以遇到對稱區(qū)域上的二重積分計算時，先觀察分析一下，如果此法把被積函數(shù)變得更難于積分了，該法就不可取。總之，上述方法應用得好，對于對稱區(qū)域上二重積分的計算就會起到化繁為簡、化難為易的重要作用，大大提高計算的速度和正確率。

[1]薛利敏.高等數(shù)學[M].北京：教育科學出版社，2016:124.