含參不等式恒成立問(wèn)題的解法例析

☉山東省乳山市第一中學(xué) 孫梅彥

“含參不等式恒成立問(wèn)題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而備受高考、競(jìng)賽命題者的青睞.另一方面，在解決這類問(wèn)題的過(guò)程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用.本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問(wèn)題的一般求解策略.

一、轉(zhuǎn)換主元法

首先確定題目中的主元，化歸成初等函數(shù)求解.此方法常適用于化為一次函數(shù).

對(duì)于一次函數(shù)f（x）=kx+b，x∈［m，n］有f（x）＞0恒成立

例1已知f（x）=x2+mx+1，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍，使得不等式f（x）≥3對(duì)任意的m∈［-1，1］恒成立.

分析：題中已知m的范圍，故可轉(zhuǎn)化為y＝g（m）.

圖1

解析：令g（m）＝xm＋（x2＋1），此為關(guān)于m的一次函數(shù)，相應(yīng)直線的斜率為x，結(jié)合圖1知，f（x）≥3對(duì)任意的m∈［-1，1］恒成立?g（1）≥3且g（-1）≥3，可求得x的取值范圍為｛x|x≥2或x≤-2｝.

一般地，在運(yùn)用“變換主元法”求解“含參不等式恒成立問(wèn)題”時(shí)，遵循“已知誰(shuí)的范圍，則視為誰(shuí)的函數(shù)”，可快速判定函數(shù)類型.

二、判別式法

若所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題.一般地，對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R），有

例2 （1）已知不等式x2-2ax+1＞0對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（2）已知不等式ax2-2ax+1＞0對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：（1）結(jié)合二次函數(shù)圖像，直接利用Δ＜0即可.

（2）需要對(duì)二次項(xiàng)前的系數(shù)分類討論.

解：（1）Δ=4a2-4＜0?-1＜a＜1.

（2）①a=0時(shí)，1＞0恒成立；

②a＞0，Δ=4a2-4＜0?0＜a＜1.

綜上可知，0≤a＜1.

三、最值法

將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類型有：

（1）f（x）＞a恒成立?a＜f（x）min；

（2）f（x）＜a恒成立?a＞f（x）max.

解：若對(duì)任意x∈［1，+∞），f（x）＞0恒成立，即對(duì)x∈［1，+∞），f（x）=恒成立，考慮到不等式的分母x∈［1，+∞），只需x2+2x+a＞0在x∈［1，+∞）時(shí)恒成立.而拋物線g（x）=x2+2x+a在x∈［1，+∞）的最小值gmin（x）=g（1）=3+a＞0，得a＞-3.

四、分離變量法

若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng).一般地有：

（1）f（x）＜g（a）（a為參數(shù)）恒成立?g（a）＜f（x）max；

（2）f（x）＞g（a）（a為參數(shù)）恒成立?g（a）＞f（x）max.

實(shí)際上，上題就可利用此法解決.

例4 已知不等式x2-2ax+1＞0對(duì)x∈［1，2］恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

五、數(shù)形結(jié)合法

例5 若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+1|≥kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.

分析：本題目可轉(zhuǎn)化為在同一坐標(biāo)系中研究y1=|x+1|，y2=kx的圖像的位置關(guān)系.

解：畫(huà)出y1=|x+1|，y2=kx的圖像，由圖2可看出0≤k≤1.

圖2

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用.我們知道，函數(shù)圖像和不等式有著密切的聯(lián)系：

（1）f（x）＞g（x）?函數(shù)f（x）圖像恒在函數(shù)g（x）圖像上方；

（2）f（x）＜g（x）?函數(shù)f（x）圖像恒在函數(shù)g（x）圖像下上方.

分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出f（x）及g（x）的圖像如圖3所示，f（x）的圖像是半圓（x+2）2+y2=4（y≥0）.

圖3

g（x）的圖像是平行的直線系4x-3y+3-3a=0.

要使f（x）≤g（x）恒成立，則圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離滿足

由上可見(jiàn)，在解綜合性較強(qiáng)的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，有時(shí)一題多法.應(yīng)以題為本，關(guān)鍵抓住恒成立的本質(zhì)，具體問(wèn)題具體分析，靈活運(yùn)用這幾種方法，選擇最行之有效的方法，而不要拘泥于一種方法.含參不等式恒成立問(wèn)題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié).