構(gòu)造函數(shù)，巧解題

☉遼寧省沈陽市第四中學(xué) 孫玉才

若題設(shè)出現(xiàn)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式，或題設(shè)給出“雙變量”不等式恒成立，則往往可通過構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)獲得簡捷、明了的解答.請(qǐng)看以下歸類解析.

一、考慮移項(xiàng)作差，構(gòu)造函數(shù)

評(píng)注：本題構(gòu)造函數(shù)之后，需要先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用所得函數(shù)的單調(diào)性求解不等式.

變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，滿足f（-2）=2018，且對(duì)任意x∈R，都有f′（x）＞2x成立，則不等式f（x）＞x2+2014的解集為________.

簡解：令函數(shù)F（x）=f（x）-x2-2014，則F′（x）=f′（x）-2x＞0，所以F（x）在R上為增函數(shù).又可求得F（-2）=0，所以f（x）＞x2+2014?F（x）＞0=F（-2）?x＞-2.故所求不等式的解集為（-2，+∞）.

二、直接考慮導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，構(gòu)造函數(shù)

故所求不等式的解集為（1，+∞）.

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵是根據(jù)不等式f（x）＞xf′（x），考慮導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，靈活構(gòu)造函數(shù)；構(gòu)造函數(shù)之后，應(yīng)充分利用函數(shù)的性質(zhì)求解目標(biāo)問題.

變式訓(xùn)練：已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′（x）+f（x）≤0.對(duì)任意正數(shù)a，b，若a＜b，則必有（ ）.

（A）af（b）≤bf（a）

（B）bf（a）≤af（b）

（C）af（a）≤f（b）

（D）bf（b）≤f（a）

簡解：令函數(shù)y=xf（x），x∈（0，+∞）.由于xf′（x）+f（x）≤0，故函數(shù)y=xf（x）單調(diào)遞減或?yàn)槌?shù)函數(shù).所以，必有af（a）≥bf（b）.又根據(jù)f（x）≥0，且0＜a＜b，可得af（a）≤bf（a），af（b）≤bf（b）.綜上，af（b）≤bf（b）≤af（a）≤bf（a）.故選A.

三、結(jié)合特殊的指數(shù)函數(shù)y=ex，考慮導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，構(gòu)造函數(shù)

例3已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＞f′（x），則（）.

（A）f（2）＞e2·f（0），f（100）＞e100·f（0）

（B）f（2）＜e2·f（0），f（100）＞e100·f（0）

（C）f（2）＞e2·f（0），f（100）＜e100·f（0）

（D）f（2）＜e2·f（0），f（100）＜e100·f（0）

解析：因?yàn)椋╢x）＞f（′x），考慮特殊的指數(shù)函數(shù)y=ex，可構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)F（x）為（-∞，+∞）上的減函數(shù).

變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x∈R，f（′x）+（fx）＞0，則對(duì)任意正數(shù)a，必有（ ）.

簡解：令函數(shù)F（x）=exf（x），則F′（x）=ex［f′（x）+f（x）］＞0，故F（x）在R上單調(diào)遞增.又a＞0，所以F（a）＞F（0），即eaf（a）＞e0f（0），所以.故選C.

四、考慮外在結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)

例4設(shè)函數(shù)f（x）=x3-11x，若對(duì)任意a，b∈（2m，m+1），且b＞a，有不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-x=x3-12x，

則h（x）在（2m，m+1）上單調(diào)遞減.

又由h′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2）知，

函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，2）.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是［-1，1）.

評(píng)注：本題切入點(diǎn)的探求具有一定的隱蔽性，需要靈活變形.構(gòu)造函數(shù)之后，要注意借助定義、導(dǎo)數(shù)均可分析函數(shù)的單調(diào)性，并活用之解題.

綜上，構(gòu)造函數(shù)是一種創(chuàng)新思維，對(duì)能力的要求較高，需要我們?cè)诮忸}實(shí)踐中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，且學(xué)且悟且應(yīng)用.