以生為本，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理能力

☉南昌大學(xué)附屬中學(xué) 陳一君

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，教師應(yīng)當(dāng)注重在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.數(shù)學(xué)相較于其他學(xué)科有著煩瑣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力對于提高他們的學(xué)習(xí)效率與數(shù)學(xué)素養(yǎng)來說，具有十分重要的意義.筆者認(rèn)為，教師在開展課堂教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)以生為本，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與特點(diǎn)，有意識地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，提高教學(xué)的有效性.

一、動手操作，思考過程

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：“兒童的智慧在他們的手指尖上.”著名教育學(xué)家陶行知先生也曾提出了“教學(xué)做合一”這一著名的教學(xué)理論，他強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中獲得知識，通過手腦聯(lián)盟，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造教育的目的.由此可見，手與腦有著千絲萬縷的聯(lián)系，教師應(yīng)當(dāng)注重結(jié)合教學(xué)內(nèi)容組織動手操作活動，通過引導(dǎo)學(xué)生思考探究問題的過程，培養(yǎng)其邏輯推理能力.

比如，筆者在對《古典概型》這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，為了引導(dǎo)學(xué)生深入理解古典概型的概念及公式，筆者組織學(xué)生展開了動手操作活動.筆者首先讓學(xué)生每3到5個人自由結(jié)為一組，并分給了每個小組一個骰子.隨后筆者向?qū)W生提問：“大家擲一擲骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，看看會出現(xiàn)幾種結(jié)果呢？基本事件是什么呢？”學(xué)生通過動手實(shí)踐，快速得出答案：“共有6種結(jié)果，即點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6. 所對應(yīng)的基本事件為A1=‘出現(xiàn)1點(diǎn)’、A2=‘出現(xiàn)2點(diǎn)’、A3=‘出現(xiàn)3點(diǎn)’、A4=‘出現(xiàn)4點(diǎn)’、A5=‘出現(xiàn)5點(diǎn)’、A6=‘出現(xiàn)6點(diǎn)’.”緊接著筆者提問：“記事件B為‘出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3’，那么事件B發(fā)生的概率為多大？”學(xué)生通過分析與討論發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)點(diǎn)數(shù)為1和2時，事件B才會發(fā)生，因此事件B由基本事件A1、A2組成.由古典概型的定義可知，基本事件發(fā)生的可能性是相等的，因此學(xué)生認(rèn)為事件B發(fā)生的概率為P（B）緊接著筆者講到：“現(xiàn)在大家利用統(tǒng)計的手段，小組合作進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)對上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.”最后學(xué)生通過展開動手操作活動，利用統(tǒng)計的方法成功驗(yàn)證了上述計算結(jié)果的正確性.隨后筆者對這一動手操作活動的結(jié)論進(jìn)行了推廣：“在古典概型中，若基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A發(fā)生的概率有多大？”學(xué)生通過思考上述操作的過程，最終總結(jié)出結(jié)論為P（A）

在上述教學(xué)活動中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行骰子試驗(yàn)的操作活動，不僅成功活躍了課堂氣氛，使學(xué)生全身心投入到教學(xué)活動中來，同時引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了他們的邏輯思維能力，高效地達(dá)成了教學(xué)目標(biāo).

二、反思失誤，剝繭抽絲

學(xué)習(xí)錯誤是學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程必然伴隨的現(xiàn)象之一，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，教師若僅僅注重糾正錯誤并告知其正確的方法，則難以觸及問題的本質(zhì)，學(xué)生下次可能還會犯同類型的錯誤，不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.筆者認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)善于將學(xué)生有思考價值的錯誤作為教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生對錯誤進(jìn)行反思，剝繭抽絲，明確錯誤的產(chǎn)生原因，促進(jìn)他們在反思過程中提高思維的批判性.

比如，筆者在對《等比數(shù)列》這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在處理下述類型的問題時常常犯錯誤，于是筆者在課上引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行了反思.例如，已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是，判斷這一數(shù)列是否為等比數(shù)列.有些學(xué)生在證明這一問題時，首先分別求解了數(shù)列前幾項(xiàng)的值：因?yàn)樗缘玫搅嗽摂?shù)列為等比數(shù)列結(jié)論.很顯然這種做法是錯誤的，邏輯推理犯了由特殊代替一般的錯誤.筆者首先引導(dǎo)學(xué)生對這一錯誤做法進(jìn)行了分析與討論，找到錯誤的根本原因.學(xué)生們通過討論發(fā)現(xiàn)，無論列舉多少個這樣比值為2的例子，都屬于特例，并不能反映出等差數(shù)列的本質(zhì)特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都為2，因此不能證明該數(shù)列為等比數(shù)列.最后筆者進(jìn)行了點(diǎn)撥：“大家也能明白，特殊規(guī)律并不等同于一般規(guī)律，大家在做這類證明問題時，切忌再犯這類由特殊代替一般的邏輯推理錯誤.”

在上述教學(xué)活動中，筆者通過關(guān)注學(xué)生邏輯思維失誤的表現(xiàn)，有針對性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了反思與總結(jié)，有助于促進(jìn)他們“吃一塹，長一智”，提高自身的邏輯推理能力.

三、數(shù)形結(jié)合，嘗試轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合是一種非常重要并且常用的數(shù)學(xué)思想與方法，熟練地掌握并使用這一數(shù)學(xué)方法，有助于學(xué)生提高數(shù)學(xué)的表達(dá)能力，開展有效的邏輯思維活動.因此筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)時應(yīng)當(dāng)注重向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生善于通過轉(zhuǎn)化對相關(guān)問題進(jìn)行推理等活動，深化數(shù)學(xué)思維.

比如，筆者在對《集合的基本運(yùn)算》這一章內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了習(xí)題訓(xùn)練，使他們學(xué)會從形的角度出發(fā)，利用文氏圖或數(shù)軸求解集合問題.例如，已知集合A=｛x∈R|x≤5｝，B=｛x∈R|x≥1｝，那么A∩B等于什么？對于這一問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法可以快速準(zhǔn)確地進(jìn)行求解，學(xué)生首先在數(shù)軸上分別表示出集合A與集合B的范圍，然后觀察數(shù)軸上兩段重合的范圍為｛x∈R|1≤x≤5｝，即A∩B=｛x∈R|1≤x≤5｝.又如，A=｛x|-2≤x≤5｝，B=｛x|m+1≤x≤2m-1｝且B不是空集，若A∩B=?，求m的取值范圍.在求解時，可以首先將集合A的取值范圍在數(shù)軸上表示出來，通過觀察可知，若想令A(yù)∩B=?，只需要令m+1＞5或者2m-1＜-2即可，最后求得m＞4.最后筆者向?qū)W生提問道：“大家通過求解集合問題，獲得了哪些感想與收獲呢？”緊接著學(xué)生對解題方法與技巧進(jìn)行了歸納與總結(jié)，例如，有的學(xué)生回答道：“我發(fā)現(xiàn)在解決集合問題時，要善于利用數(shù)軸表示集合關(guān)系，通過圖形使問題直觀易懂，可以很大程度上提高解題的速度.”可以看出該學(xué)生切實(shí)體會到了數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)點(diǎn)，達(dá)到了筆者所期望的效果.

在上述教學(xué)活動中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想求解集合問題，提高了學(xué)生對具體問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與推理的能力，鍛煉了他們的數(shù)學(xué)邏輯思維，取得了很好的教學(xué)效果.

四、嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)，錘煉語言

數(shù)學(xué)語言是正確進(jìn)行推演論證的重要工具，用于表達(dá)思維的成果，錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語言是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的重要一環(huán).因此筆者認(rèn)為，教師在對學(xué)生進(jìn)行邏輯思維的訓(xùn)練時，應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)思維過程，錘煉數(shù)學(xué)語言.

比如，筆者在對《垂直關(guān)系》這一節(jié)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作探究了直線與平面垂直的判定定理.如圖1所示，學(xué)生過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，想辦法使折痕AD與平面垂直.在筆者的一步步引導(dǎo)下，學(xué)生通過動手操作與分析討論探究出了直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線相垂直，那么該直線與平面垂直.緊接著筆者追問道：“大家能否用符號語言表示這一定理呢？”筆者留給學(xué)生充足的時間進(jìn)行思考與討論，最后學(xué)生得到了正確的答案：若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b=A，則l⊥α，成功用數(shù)學(xué)符號語言表述出了直線與平面垂直的推導(dǎo)過程.

圖1

在上述教學(xué)活動中，筆者通過有意識地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，促進(jìn)學(xué)生在解題時能夠用數(shù)學(xué)符號語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎鏊季S的過程，提高其解決問題的能力，深化邏輯思維，有效升華了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

綜上所述，教師在對數(shù)學(xué)展開課堂教學(xué)時，通過引導(dǎo)學(xué)生“動手操作”“反思失誤”“數(shù)形結(jié)合”及“嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)”，能夠在提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績的同時，有效發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，貫徹新課標(biāo)的教學(xué)要求，顯著提高課堂教學(xué)的質(zhì)量.F