關注起點 深度加工 認知建構(gòu)
——以“按比例分配解決實際問題”為例

江蘇江陰市輔延中心小學 沈 莉 金 雯

“比的應用——按比例分配”是蘇教版小學數(shù)學教材六年級第十一冊第三單元的最后一個內(nèi)容。這部分內(nèi)容含一個例題，安排1個課時進行教學，例11主要教學按比例分配的實際問題。

按比例分配問題大致有三種解法：教材采用把比轉(zhuǎn)化成分數(shù)，使之成為分數(shù)乘法應用題，接著求一個數(shù)的幾分之幾是多少，也采用把比轉(zhuǎn)化成分數(shù)后，把題目化為歸一應用題。而作為正比例的習題，更能體現(xiàn)按比例分配的本意。解決問題中數(shù)量之間的比例關系，到第十二冊學習正比例之后，才能引導學生加以認識。教學按比例分配這部分內(nèi)容時，不論采用哪一種解法，必須根據(jù)比的意義弄清把總量分成幾份，每個部分數(shù)量各占總數(shù)的幾分之幾或每份是多少，然后選擇適當?shù)姆椒ㄟM行解答。

以下是筆者三輪“按比例分配解決實際問題”的教學，以關注學生為起點，逐漸走向深度加工，最后落腳于知識結(jié)構(gòu)化。

一、第一輪：關注學生認知起點

本節(jié)內(nèi)容是學生在學完比的意義、比的基本性質(zhì)后進行的，主要引導應用比的意義解答有關按比例分配的實際問題。學生在學習的過程中進一步體會數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系，建立合理的認知結(jié)構(gòu)。本節(jié)內(nèi)容是平均分的延伸，與分數(shù)乘法有密切聯(lián)系，也是學習第十二冊教材比例知識的基礎。

按照教參建議，按部就班，第一步理解題意，要求學生弄清題意是把30個方格按1∶2∶3的比例進行分配；第二步自主探索，引導學生獨立思考或交流不同解決問題的方法，并選擇一種自己喜歡的方法算出結(jié)果，再進行檢驗；第三步拓展認識，教師提出“把30個方格按1∶2∶3涂成紅、黃、綠三種顏色，求三種顏色各應涂多少格”這一問題后，學生列式解答，并組織交流；最后引導學生比較例11中兩個問題的解題過程，說一說它們有什么相同的地方，幫助進一步明確按比例分配問題的解題過程。

教學很順利，學生學得也很輕松，可教學結(jié)束后的作業(yè)結(jié)果反饋卻讓教師大跌眼鏡。稍變化的題目沒有抓手，學生表現(xiàn)出很懵懂的狀態(tài)。這是為什么呢？

毫無疑問，一切學習都建立在學生已有認知基礎上。奧蘇伯爾說：“影響學習的最重要的原因是學生已經(jīng)知道了什么，我們應該根據(jù)學生原有的知識狀態(tài)進行教學影響?！笨捎捎诿總€人在生活經(jīng)驗、知識基礎、學習能力、思維品質(zhì)、個人素養(yǎng)等方面存在差異，不同學生已有的認知基礎是不一樣的，即便他們經(jīng)歷了同樣的學習過程。這其中不僅對應著學生的認知起點，更隱藏著學生發(fā)展可能性的秘密。

二、第二輪：深度加工所學知識

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：學生的數(shù)學學習不僅要考慮數(shù)學自身的特點，更應遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程。選擇一種你喜歡的方法解答后，我們發(fā)現(xiàn)，不管是學優(yōu)生還是學困生，多數(shù)都選擇轉(zhuǎn)化為歸一應用題的解決方法解答。歸一解答，先計算出每一份是多少，方法比較簡便，便于知識遷移到解答一些稍有變化的題目中去。

鑒于第一輪的教學經(jīng)驗，我們做好題目的整理序編，展開了3個課時的教學工作。

（一）簡單的按比例分配問題

（1）一根長4.8米的繩子按3∶2截成甲、乙兩段，甲、乙兩段各長多少米？

（2）一根繩子按3∶2截成甲、乙兩段，已知甲段長4.8米，乙段長多少米？

（3）一根繩子按3∶2截成甲、乙兩段，已知乙段比甲段短4.8米，甲、乙兩段各長多少米？

（二）稍復雜的按比例分配問題

1.根據(jù)部分量的比找準對應的總量和

（1）一個長方形的周長是360厘米，長與寬的比是4∶2，這個長方形的長和寬各是多少？

（2）三個人的平均年齡是40歲，這三個人年齡的比是2∶5∶3，最小的年齡是多少歲？

（3）長方體的長、寬、高的比是5∶3∶1，棱長之和是144米，這個長方體的體積是多少立方米？

（4）在一道減法算式中，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是270，差與減數(shù)的比是2∶7，這道減法算式中減數(shù)是多少？

2.根據(jù)總量補全相對應的比

（1）一個等腰三角形，兩個角的比是1∶2，這個三角形可能是什么三角形？

（2）一個等腰三角形，兩條邊的比是1∶2，這個三角形是什么三角形？

3.根據(jù)總量理解相對應的比

（1）兩個城市相距360米，貨車和客車同時從兩城市相對開出，經(jīng)過3小時相遇。貨車和客車的速度比是7∶5。貨車和客車各行多少千米？

（2）兩個城市相距360米，貨車和客車同時從兩城市相對開出，經(jīng)過3小時相遇。貨車和客車的路程比是7：5。貨車和客車每小時各行多少千米？

4.根據(jù)比找準相對應的量

（1）把一批圖書按4：5：6分借給二、三、四三個班，已知二班比四班少分得48本。三個班各分得多少本？

（3）玩具廠有兩個車間，甲車間和乙車間的人數(shù)比是3∶2，若從甲車間調(diào)走24人到乙車間，兩車間的人數(shù)恰好相等，這個玩具廠共有多少工人？

（三）復雜的按比例分配問題（找到公共量和不變量）

（1）甲、乙、丙三個班人數(shù)的和是420人，甲班和乙班的比是2∶3，乙班和丙班的比是4∶5，甲乙丙三個班各是多少人？

（2）一杯鹽水，鹽與水的比為1∶5，再加16克鹽后，鹽與水的比為1∶4，原來鹽水有多少千克？

（3）一班和二班的人數(shù)比為8∶7，如果將一班的8名同學調(diào)到二班去，那么一班和二班的人數(shù)的比為4∶5，求原來兩個班有多少人？

通過上面的習題配置，我們將學生的無序思維有序化、數(shù)學化、系統(tǒng)化，加上輔助性的理解圖，正確率明顯提高。在做中學知識、做中練技能，總結(jié)并內(nèi)化成學生的一個鞏固的規(guī)范的分配方法。特別是學困生，也學得特別輕松，有了成功的體驗和收獲。

在教學順利進行的同時，似乎又有隱隱的不安與疑惑。這節(jié)課為什么要安排在分數(shù)除法單元中？教師因為已有的知識系統(tǒng)、功力心態(tài)、本位思想形成了教學過程中的短視性思維現(xiàn)象。短視性思維局限了教師的思考方式，讓教師在目標設定、體系認知、素養(yǎng)落實中缺乏或降低了反思能力。教師應注意突破這種主要由于教學的先后次序所形成的邏輯線索的束縛，并從更為廣泛的角度解釋這些概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而真正建立起整體性的概念體系。

三、第三輪：力求讓知識結(jié)構(gòu)化

數(shù)學是整體的，其主要表現(xiàn)為數(shù)學知識的系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化。任何數(shù)學內(nèi)容都來自某一系統(tǒng)，從屬于某一結(jié)構(gòu)。從結(jié)構(gòu)的角度來把握所學習的數(shù)學內(nèi)容，不僅能凸顯內(nèi)容的實質(zhì)，建立內(nèi)容直接的聯(lián)系，而且有利于學生形成 “從結(jié)構(gòu)的角度把握事物本質(zhì)”的結(jié)構(gòu)化思維。每一節(jié)課的教學都應積淀為上一個臺階，成為下一課的起點，不應該有“炒冷飯”的事發(fā)生?；貧w到中年級段的淺表化淺層化，是無法讓學生在學習的過程中進一步體會數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系，建立合理的認知結(jié)構(gòu)的。

師：同學們討論一下，兩種解題方法，有沒有相同的地方？又有什么不同的地方？

生：都先根據(jù)一定的比求出總的份數(shù)。

師：那不同的地方呢？

小結(jié)：方法一是求出每份數(shù)，再用乘法求幾份是多少；方法二是求各部分占總份數(shù)的幾分之幾，再用乘法求總數(shù)量的幾分之幾是多少求出各部分。

隨著課程改革的不斷深入，尤其是在“四基”“四能”理念的指引下，數(shù)學教學已經(jīng)不再僅僅滿足于學生對“雙基”的掌握，更要追求學生的可持續(xù)發(fā)展。有了這樣的目標定位，就會多一層關注思維的考慮。課堂上并不僅僅是兩種方法的呈現(xiàn)，我們溝通除法與分數(shù)的聯(lián)系，促進認知建構(gòu)的同時，讓學生體會到知識的遷移力與再生力。 讀出教材的“聯(lián)”，從“單一”走向“立體”，學生經(jīng)歷“困惑—思考—交流—領悟”的過程，引導學生跳出知識的點，走向知識的面。

把一根長4.8米的繩子按3：2截成甲、乙兩段，甲、乙兩段各長多少米？

為了實現(xiàn)數(shù)學知識在更大范圍內(nèi)的溝通聯(lián)系，在教學中，教師要幫助學生理清比與分數(shù)、份數(shù)之間的關系，將它們置于一個框架內(nèi)，引導學生對已學習過的數(shù)學知識進行系統(tǒng)整理，使其形成一些內(nèi)容比較充實、結(jié)構(gòu)相對完整的數(shù)學知識系統(tǒng)，在系統(tǒng)內(nèi)部實現(xiàn)其內(nèi)容更高層次上的聯(lián)系，掌握數(shù)學本質(zhì)。

肖川博士說得好：“教育是一個不完美的人引領著另一個不完美的人追求完美的過程?！睌?shù)學教師要上好數(shù)學課，應該做到三個理解：第一是理解數(shù)學；第二是理解學生；第三是理解教學。有了這樣的目標定位，就會多一層關注思維的考慮，另一方面也會影響我們在課堂上對學生學習過程的評價方法——不僅僅關注對錯，還要關注思維等。教師深度地教，學生深度地學，不斷提升課堂教學的品質(zhì)，豐富課堂教學的思想內(nèi)涵，真正形成有效的數(shù)學活動，才有可能在提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)方面逐步獲得進展。