柱塞副溫度場數(shù)學建模與性能分析

馬俊，李毅波，潘陽

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柱塞副溫度場數(shù)學建模與性能分析

馬俊1, 2，李毅波1, 2，潘陽1, 2

(1．中南大學 機電工程學院，湖南 長沙，410083；2．中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083)

為完善軸向柱塞泵柱塞副性能分析理論體系，針對溫度分布影響柱塞副性能問題進行研究，建立瞬時油膜厚度場、壓力場和溫度場模型以及柱塞副摩擦與泄漏模型，采用交錯網(wǎng)格技術(shù)劃分油膜網(wǎng)格，采用有限體積法求解能量方程和雷諾方程，以MATLAB仿真軟件為依托耦合各物理場模型和柱塞微運動特性，對柱塞副動態(tài)溫度場進行數(shù)值求解。研究溫度對油膜壓力分布、柱塞副軸向摩擦力和泄漏量的影響，并分析油膜不同入口溫度對柱塞副性能參數(shù)的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明：溫度變化數(shù)值計算結(jié)果與實驗結(jié)果基本一致；在柱塞副中引入動態(tài)溫度后油膜壓力峰值明顯降低，軸向摩擦力有所下降，但柱塞副泄漏量增加較快；控制油膜入口油溫能有效提高柱塞副工作性能。

柱塞副；溫度場；泄漏量；數(shù)值計算

我國工業(yè)制造對高性能軸向柱塞泵的需求與日俱增，目前國內(nèi)機械設備的柱塞泵等核心部件70%以上為國產(chǎn)件。為進一步提高中國制造的高品質(zhì)和高性能，需對柱塞泵基礎理論進行深入研究，掌握產(chǎn)品正向設計方法。柱塞副是柱塞泵內(nèi)集運動多樣、載荷復雜和多場耦合于一身的關(guān)鍵部件，也是柱塞泵內(nèi)的重要熱源，溫度分布能顯著改變油液黏度，影響柱塞副內(nèi)摩擦磨損和泄漏情況[1?2]。目前，國內(nèi)研究者對柱塞副的研究大多基于仿真軟件建立虛擬樣機進行模擬[3?5]，在理論研究時為簡化模型和求解過程，要么忽略柱塞位置實時變化的特點[6?8]，要么假設在恒溫條件下分析柱塞副性能參數(shù)[9]。在研究柱塞副性能的影響因素過程中隨意改變柱塞泵結(jié)構(gòu)參數(shù)，單純羅列分析不同因素對性能參數(shù)的影響，往往忽略實際工況的需要[10]，對產(chǎn)品開發(fā)或?qū)嶋H工程應用意義不大。本文作者考慮柱塞工作過程中的微運動現(xiàn)象，對柱塞副中溫度分布進行理論分析和數(shù)值求解，在不改變柱塞泵結(jié)構(gòu)和工況要求的前提下，分析溫度對柱塞副典型性能參數(shù)的影響，以便獲取柱塞泵溫度優(yōu)化設計準則。

1 數(shù)學模型

1.1 柱塞副油膜厚度模型

(a) 柱塞副油膜結(jié)構(gòu)；(b) 柱塞副油膜展開圖

圖1 柱塞副油膜結(jié)構(gòu)圖

Fig. 1 Oil film structure on piston/cylinder assembly

式中：F為油膜長度。根據(jù)柱塞軸線坐標，可得柱塞油膜厚度為

1.2 柱塞副油膜壓力模型

考慮柱塞副油膜厚度非常小，可假設油膜中流體為層流，根據(jù)納維?斯托克斯方程[11]和流體質(zhì)量連續(xù)方程，可求得油膜流體速度：

式中：為柱塞泵轉(zhuǎn)動角速度；b為柱塞的分布圓半徑；為斜盤傾角；為柱塞工作所轉(zhuǎn)過的角度。

1.3 柱塞副摩擦和泄漏模型

柱塞副中能量損失主要通過摩擦和泄漏這2個指標來體現(xiàn)?？紤]油膜內(nèi)液體為牛頓流體，由于流體存在黏性，柱塞在缸體內(nèi)往復運動過程中會產(chǎn)生黏性摩擦力。根據(jù)式(5)所描述的油膜流體速度，可得作用在柱塞表面的黏性切應力為

在油膜覆蓋的柱塞表面上對黏性切應力進行積分，可得作用在柱塞上的軸向黏性摩擦力為

柱塞副泄漏主要是柱塞腔內(nèi)液體通過油膜通道進入缸體外的現(xiàn)象，因此，對油膜流體速度在油膜出口截面上積分可得柱塞副泄漏量：

1.4 柱塞副油膜溫度模型

基于雷諾方程的柱塞副油膜壓力模型受油液運動黏度的影響，而運動黏度又與溫度和壓力密切相關(guān)，黏溫黏壓關(guān)系可通過Roelands關(guān)系式來精確表達[12]：

式中：0為初始黏度；為油膜溫度；et為環(huán)境溫度。為了得到準確的油膜特性，需建立油膜能量方程來獲得溫度分布規(guī)律。根據(jù)柱塞副油膜特點，可假設油膜為熱穩(wěn)態(tài)流體，由能量方程普遍形式，可將柱塞副能量方程表達為[13]

考慮溫度變化是漸變的過程，油膜厚度較小，流體速度在厚度方向與其他2個方向相比小得多，因此，油膜厚度方向溫度改變很小，故可忽略方向的對流和熱傳導。柱塞副能量方程則可簡化為

由式(12)可知柱塞副能量方程是二維對流擴散方程，ZECCHI[14]給出的結(jié)論說明柱塞副二維絕熱計算可以較好地反映溫度分布規(guī)律[14]。

2 數(shù)值計算

柱塞副油膜是一個動態(tài)變化的物理模型，且各特性參數(shù)之間相互耦合，本文采用數(shù)值求解的方法對柱塞副特性進行求解分析。為了得到柱塞在運動周期中每一時刻的油膜特性，需要將1個運動周期離散成若干個時間步，然后在每個時間步內(nèi)，對油膜進行網(wǎng)格劃分，聯(lián)立油膜厚度方程、雷諾方程和能量方程，以柱塞受力平衡理論為依據(jù)，得到柱塞油膜厚度場、壓力場和溫度場分布規(guī)律。

油膜網(wǎng)格劃分采用交錯網(wǎng)格技術(shù)。

能量方程和雷諾方程都屬于偏微分方程，本文均采用有限體積法進行求解，并以求解能量方程為例加以說明。若假設溫度在油膜厚度方向不發(fā)生變化，厚度方向邊界假設材料表面絕熱，則可建立如圖2所示二維控制體積結(jié)構(gòu)圖。圖2中所有節(jié)點表示柱塞油膜厚度求解時的網(wǎng)格節(jié)點分布，三角形節(jié)點表示油膜壓力和溫度求解時的網(wǎng)格節(jié)點分布規(guī)律，即壓力場(溫度場)相對于膜厚網(wǎng)格間隔取控制體，從而保證高精度數(shù)值求解，準確反映壓力場和溫度場實際分布規(guī)律[15]。

圖2 有限體積結(jié)構(gòu)離散圖

假設流體熱傳導系數(shù)為常數(shù)，對能量方程(12)在控制體積內(nèi)積分可得

為了保證能量方程在最終的離散形式里面不會產(chǎn)生負系數(shù)，迭代過程滿足收斂條件，且求解結(jié)果符合實際規(guī)律，本文采用冪函數(shù)方案對方程(14)進行離散[15]。

假設溫度在相鄰網(wǎng)格間線性變化，因此，能量方程(14)可簡化為

式中：

對方程(16)采用超松弛迭代法進行求解，迭代格式為

系統(tǒng)可以分為3個模塊。①管理員模塊?？蓪孢M行管理，即增刪改查；可對教師、學生進行增刪改查，即不對外開放注冊功能，教師及學生由管理員錄入系統(tǒng)。②教師角色?？梢詫︻}庫中題目增刪改查，對題干命題、選項設置、分值以及答案設置等；可以進行考務管理，即對考試設置名稱、選擇試卷、設置考試時間等；可對試卷進行管理，即規(guī)定題型題量后隨機組卷；可查看卷面答題情況等；可對個人信息進行管理；可對公告進行管理。③學生角色?？刹榭垂?；可查看考試信息；可參加考試、答卷、交卷；可查看個人考試卷面；可修改個人信息。

式(13)中，取松弛因子=1.3。

求解能量方程時，采用Dirichlet邊界條件來處理油膜邊界問題。

3 結(jié)果分析

本文所研究軸向柱塞泵的結(jié)構(gòu)和工作參數(shù)如下：柱塞泵轉(zhuǎn)速為1 000 r/min；柱塞半徑K=12.705 mm；柱塞孔半徑z=12.722 5 mm；斜盤傾角=12°；柱塞副油膜長度F=32 mm；油液初始黏度0=0.02 N?s/m2；高壓區(qū)油液壓力DC=15 MPa；高壓區(qū)油液溫度DC= 45℃；低壓區(qū)油液壓力DC=2.5 MPa；低壓區(qū)油液溫度DC=43℃；缸體外液體壓力0=0.2 MPa；缸體外液體溫度0=55℃；環(huán)境溫度et=30℃；油液比定壓熱容P=2 084 J/(kg?K)；導熱系數(shù)=0.124 8 W/(m?K)。

3.1 柱塞副溫度分布規(guī)律

結(jié)合柱塞在柱塞孔中的微運動規(guī)律，利用MATLAB對柱塞副結(jié)構(gòu)和性能參數(shù)模型進行聯(lián)合求解。數(shù)值求解計算流程如圖3所示。先估算柱塞初始偏心位置和偏心速度，然后求解膜厚方程、雷諾方程和能量方程，并通過更新液體黏度修正壓力分布。當力平衡方程滿足精度要求后，進入下一柱塞運動角度值進行迭代計算。由于存在泄漏問題，要滿足柱塞始末位置相同的循環(huán)條件，整個計算過程需要運行多個循環(huán)周期才能達到。

圖3 計算流程圖

圖4(a)所示為柱塞轉(zhuǎn)角=18°時數(shù)值計算所得油膜溫度分布規(guī)律。為驗證數(shù)值計算結(jié)果的正確性，圖4(b)所示給出了PATANKAR[16]在相同轉(zhuǎn)速、壓力和溫度下所得柱塞副油膜溫度場實驗結(jié)果[16]。由于實驗和仿真計算時所取柱塞副結(jié)構(gòu)尺寸存在差異，因此，溫度變化范圍有所區(qū)別。經(jīng)對比分析可知：油膜溫度實驗結(jié)果和仿真計算結(jié)果基本一致，說明所建數(shù)學模型準確、合理。

(a) 溫度數(shù)值計算結(jié)果；(b) 溫度實驗測試結(jié)果

3.2 溫度對壓力分布的影響

在計算過程中，當=0°時，取柱塞孔壓力為低壓區(qū)壓力，當=180°時，取柱塞孔壓力為高壓區(qū)壓力。求解得到在恒定溫度和時變溫度下柱塞副油膜壓力特性。圖6所示為恒溫和變溫情況下油膜全周期壓力分布對比結(jié)果。從圖6可知：柱塞副油膜壓力隨柱塞運動而動態(tài)變化，油膜在高壓區(qū)時承受載荷大，壓力峰值高且分布不均勻，處于低壓區(qū)時載荷變化小，油膜壓力平緩過渡。通過相同轉(zhuǎn)角下壓力分布對比分析可知：溫度對油膜壓力分布影響顯著；高壓區(qū)油膜受擠壓程度高，壓力分布嚴重不均勻。因此，油膜流體速度梯度大，溫升幅度大，油液黏度變化明顯，從而改變油膜壓力分布。

圖7所示為柱塞副壓力峰值曲線。由圖7可見：引入溫度變化可使油膜壓力峰值降低，恒定溫度時最大壓力峰值為35.33 MPa，時變溫度時最大壓力峰值為16.41 MPa，可見同種工況下考慮溫度變化對尖峰壓力的削弱效果最明顯，油膜壓力峰值降低53.55%，因此，在分析柱塞副油膜壓力時，考慮溫度的變化非常重要。

3.3 溫度對摩擦和泄漏的影響

圖8所示為柱塞副軸向摩擦力曲線。軸向摩擦力由柱塞速度和油膜壓力梯度共同決定，在高壓區(qū)壓力梯度大，軸向摩擦力主要受壓力影響且維持在較高水平。在低壓區(qū)時由于壓力梯度小，摩擦力主要受柱塞速度影響，變化趨勢類似于正弦曲線，與速度變化規(guī)律相同。從圖8可見：考慮溫度變化可使軸向摩擦力減小，由于溫度影響?zhàn)ざ确植?，但對壓力梯度影響微弱，因此，摩擦力在高壓區(qū)和低壓區(qū)減小幅度大致 相同。

圖9所示為單個柱塞副泄漏曲線。柱塞副泄漏量由柱塞速度決定的Couette流和由壓力梯度決定的Poiseuille流兩部分組成[17]。在高壓區(qū)柱塞速度方向和壓力梯度方向相反，Couette流和Poiseuille流相互抵消，所以，高壓區(qū)泄漏量較小。在90o時柱塞速度最大，Couette流最強，柱塞泄漏量甚至出現(xiàn)負值，缸體外油液被吸入柱塞副內(nèi)。在低壓區(qū)壓力梯度小，柱塞副泄漏量主要為柱塞速度決定的Couette流，因此，全周期變化規(guī)律類似于正弦曲線。在0°和180°過渡區(qū)域泄漏量較大，因為柱塞速度接近于0 mm/s，壓力梯度卻很大，泄漏油液以Poiseuille流為主。由圖8可見：引入溫度變化后，高壓區(qū)泄漏量明顯增加。低壓區(qū)在恒定溫度時出現(xiàn)泄漏尖峰，而在引入時變溫度后變化規(guī)律符合正弦變化，主要原因是溫度對壓力峰值的削弱作用，引入時變溫度后低壓區(qū)壓力梯度更小，Couette流為主要泄漏形式。

f/(°)：(a) 0；(b) 45；(c) 90；(d) 135；(e) 180；(f) 225；(g) 270；(h) 315

3.4 入口油溫對柱塞副性能的影響

在某一特性工況且不改變柱塞泵結(jié)構(gòu)參數(shù)的前提下，為研究溫度對柱塞副性能的影響，仿真分析油膜不同入口溫度對柱塞副性能的影響，并以油膜壓力峰值、軸向摩擦力和泄漏量作為柱塞副性能指標的分析參數(shù)。油膜壓力峰值出現(xiàn)的位置也即柱塞副的極限承載點，當峰值壓力過高甚至超過柱塞副許用比壓時，柱塞副所受偏載嚴重，極易出現(xiàn)疲勞破壞，這將大大降低柱塞副使用壽命。軸向摩擦力是柱塞副摩擦磨損的主要因素，同時也是柱塞泵機械效率損失的來源。柱塞副泄漏量則關(guān)系到柱塞泵容積效率損失，對柱塞泵流量脈動和壓力脈動有重要影響。

柱塞副油膜入口溫度分別為35，45，55和65℃，同時設定缸體外溫度比入口溫度高10℃。在數(shù)值計算過程中，隨入口溫度的改變，油液初始黏度也將發(fā)生變化，根據(jù)文獻[18]中黏度與溫度關(guān)系實驗結(jié)果，取對應初始黏度為0.035，0.020，0.012和0.010 N?s/m2。圖10所示為柱塞副性能參數(shù)隨入口溫度變化規(guī)律。

柱塞副密封面有滑動摩擦作用，缸體內(nèi)銅套材料為鑄造鋁青銅ZCuAl10Fe3Mn2，許用比壓為35 MPa左右，柱塞材料為滲氮鋼35CrMoAlA，許用比壓為80 MPa左右。從圖10(a)可見：壓力峰值隨入口溫度的增加大致呈二次函數(shù)衰減趨勢。因所取柱塞泵工作壓力偏低，柱塞副峰值壓力只出現(xiàn)略大于許用比壓的現(xiàn)象。若柱塞泵工作壓力偏高，則柱塞副將長期處于遠大于許用比壓的條件下工作，將嚴重影響柱塞副使用壽命。因此，保證入口油溫相對環(huán)境溫度有一定的溫升，有利于提高柱塞副工作性能，延長使用壽命。

由圖10(b)可見：柱塞副軸向摩擦力隨入口溫度的增加呈減小趨勢，且當溫度越高時，減小幅度越低。因此，提高溫度有利于降低柱塞副摩擦磨損，但效果不明顯。軸向摩擦力的減小主要是因為溫度升高導致油液黏度下降，黏度直接影響摩擦力，使軸向摩擦力減??；另一方面，由于溫度升高油膜壓力降低，軸向摩擦力也將減小。油液黏度和壓力峰值隨溫度逐步升高而降低的幅度越來越小，因此，軸向摩擦力隨溫度升高而減小的幅度越小。

由圖10(c)可見：單個柱塞副泄漏量在高壓區(qū)隨入口溫度的升高而成倍增加，在低壓區(qū)變化的幅度較小。因為油膜出口截面上壓力梯度主要取決于額定壓力，隨溫度變化較小，但油液黏度卻因溫度升高而明顯降低，所以，在高壓區(qū)由壓力主導的Poiseuille流隨溫度的升高而增大，加上由柱塞速度決定的Couette流不變，故在高壓區(qū)柱塞的泄漏量隨溫度升高而增大，導致柱塞泵容積效率損失增加。低壓區(qū)壓力梯度較小，所以，Poiseuille流變化很小，泄漏量主要為柱塞速度主導的Couette流。

f/(°)：(a) 0；(b) 45；(c) 90；(d) 135；(e) 180；(f) 225；(g) 270；(h) 315

1—恒定溫度；2—時變溫度。

1—恒定溫度；2—時變溫度。

1—恒定溫度；2—時變溫度。

(a) 壓力峰值；(b) 軸向摩擦力；(c) 單柱塞泄漏量

綜上所述，提高入口油溫可防止柱塞副疲勞破壞，降低摩擦磨損，提高使用年限，但因柱塞副泄漏量的增加而降低了柱塞泵的容積效率，而且泄漏量增加將增強柱塞泵出口流量脈動，不利于整個液壓系統(tǒng)的穩(wěn)定。因此，為提高柱塞泵工作性能，需要根據(jù)實際工況將入口油溫控制在一定范圍內(nèi)。經(jīng)綜合分析可知：在所給工況下，將入口油溫控制在45℃左右可在保證柱塞泵整體性能不受影響的情況下提高柱塞副工作性能。

4 結(jié)論

1) 通過建立柱塞副動態(tài)結(jié)構(gòu)和性能參數(shù)數(shù)學模型，考慮柱塞的微運動現(xiàn)象并將多個參數(shù)耦合進行求解，所得柱塞副油膜動態(tài)壓力場和溫度場具有可信性，數(shù)值求解過程可指導柱塞副數(shù)值理論分析。

2) 溫度能顯著影響柱塞副壓力分布，對峰值壓力削弱效果明顯，在同種工況下，可使油膜尖峰壓力降低53.55%。溫度可使軸向摩擦力有所降低，但泄漏量增加較快，因此，考慮溫度變化有助于準確分析柱塞副性能特點。

3) 隨著入口溫度上升，壓力峰值和軸向摩擦力降低，柱塞副內(nèi)壓力遠離材料許用比壓限額，摩擦磨損減少，柱塞工作環(huán)境得到改善；但溫度升高導致泄漏量增加，柱塞泵容積效率降低，流量和壓力脈動加劇。所以，根據(jù)實際工況控制入口油溫能有效提高柱塞副工作性能，這可為柱塞泵優(yōu)化設計提供依據(jù)。

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(編輯 陳燦華)

Performance analysis and mathematical modeling of temperature field on piston/cylinder assembly

MA Jun1, 2, LI Yibo1, 2, PAN Yang1, 2

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;2. State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China)

In order to complete the theoretical system of the performance analysis in piston/cylinder assembly of an axial piston pump, the influence of the temperature behavior on the performance in piston/cylinder assembly was studied. The mathematical model of instantaneous thickness, pressure field and temperature field was established, and the friction and leakage model for the performance analysis was completed. A staggered mesh technology was used to mesh the oil film, the Reynolds Equation and the energy equation were solved with the finite volume method. The micro-motion and each physical field of the piston was coupled in MATLAB, and the dynamic temperature field of the piston/cylinder assembly was calculated numerically. The influence of temperature on pressure distribution, axial friction force and leakage was researched, and the impact of different inlet temperature on performance parameters in piston/cylinder assembly was analyzed. The results show that the numerical results are in agreement with the experiment results. The peak pressure of oil film is weakened obviously, and the axial friction force also decreases, but the leakage increases rapidly after considering the dynamic temperature in piston/cylinder assembly. Therefore, controlling inlet temperature is an effective way of improving working performance of the piston/cylinder assembly.

piston/cylinder assembly; temperature field; leakage; numerical calculation

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.02.010

TH117；TH322

A

1672?7207(2018)02?0330?09

2017?02?21；

2017?04?15

國家科技支撐計劃項目(2015BAF07B03)；中南大學創(chuàng)新驅(qū)動項目(2015CX002)；湖南省創(chuàng)新平臺與人才計劃項目(2016RS2015)(Project(2015BAF07B03) supported by the Key Projects in the National Science & Technology Pillar Program; Project(2015CX002) supported by the Grants from the Project of Innovoction-driven Plan in Central South University; Project(2016RS2015) supported by the Innovation Platform and Talent Plan of Hunan Province)

李毅波，博士，副教授，從事高性能計算、多學科數(shù)值仿真、機電液控制理論與應用研究；E-mail：liyibo@csu.edu.cn