采用響應面法的圓盤造球機可靠性優(yōu)化設計*

晏遠志，楊金堂，萬 歡，侯作義

(1.武漢科技大學 a.冶金裝備及其控制教育部重點實驗室；b.機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，武漢 430081；2.老河口市綠華環(huán)?？萍加邢薰?，湖北 襄陽 441800)

0 引言

圓盤造球機是球團礦生產的重要設備，其性能優(yōu)劣對球團礦生產的效率影響很大。對于質量龐大的造球機，輕量化能夠有效地減小其轉動慣量，降低能量損耗，降低成本，增加造球機的靈活性和穩(wěn)定性，從而提高球團礦質量和生產效率。通過對造球機整體來看，盤體質量較大，直接會影響整機的工作性能，這表明有必要對造球機盤體結構進行優(yōu)化以提升其工作性能。目前國內外對圓盤造球機的研究相對較少，鄭東梅[1]分析了圓盤造球機的基本結構，并研究了某些運動學規(guī)律，何敬川[2]對圓盤造球機盤體進行了簡單靜力學分析，但是常規(guī)的運動學和強度分析已不能滿足當前造球機的發(fā)展需要，因此有必要對其進行深入的研究，諸如對圓盤造球機盤體進行輕量化設計。本文輕量化設計的基本思想是以有限元分析為基礎，通過建立數(shù)學模型，利用數(shù)值計算求取最優(yōu)解的設計方法，對目標零件進行輕量化設計。本文以某公司的φ1800圓盤造球機盤體為研究對象，結合有限元分析和尺寸靈敏度分析方法[3-4]選定影響其性能的關鍵尺寸作為優(yōu)化參數(shù)，以最大等效應力為約束條件，以盤體結構質量作為優(yōu)化目標，使用響應面法[5]對盤體進行優(yōu)化，使其結構更加合理；借助可靠性分析方法[6]對優(yōu)化前后的盤體質量和最大等效應力進行可靠度計算，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后其可靠性更高，這表明本次優(yōu)化是合理可靠的。

1 盤體強度和靜剛度分析

1.1 盤體靜力學分析

某公司圓盤造球機整機結構如圖1所示，由于造球機盤體的質量過大，將嚴重影響其工作性能，所以對其進行輕量化設計是本文的主要任務。為了方便生成球團，圓盤造球機的盤體一般具有一定的傾斜角度，即35°～55°。當盤體的傾角最小時(即35°)盤體底面所受的壓力最大，此時可看作盤體工況最為惡劣的情況。本文通過有限元分析獲取盤體的靜剛度和強度，為后面的優(yōu)化設計提供可靠的依據(jù)。根據(jù)盤體的實際工作狀況和文獻[2]，得出造球機工作時礦粉分布狀態(tài)如圖2所示。

圖1 圓盤造球機整機結構圖

圖2 圓盤造球機工作時礦粉分布狀態(tài)

計算盤體所受三種載荷分別為：礦石粉對盤體的底面產生的正壓力N1=2755Pa；盤體的外壁所受的正壓力N2=1714.8Pa；盤體成球區(qū)礦石粉所產生的載荷N3=1734Pa，盤體的邊界條件情況如圖3a所示；設置盤體的材料為Q235A鋼(密度為7850kg/m3，彈性模量為206GPa，泊松比0.3)，劃分好網(wǎng)格后，在盤體軸孔處施加固定約束，經過ANSYSWorkbench有限元分析軟件，計算獲得的應力云圖和各方向的位移變形云圖如圖3、圖4所示。

圖3 盤體的邊界條件、應力云圖、總位移變形云圖

1.2 盤體強度和靜剛度校核

本文研究對象為圓盤造球機盤體，其結構材料為 Q235A鋼，其屈服極限σs為235MPa。根據(jù)所施加的載荷情況和研究對象所用材料的選取情況，取安全系數(shù)n=2。再根據(jù)塑性材料許用應力計算公式：

σ=σs/n

(1)

計算得[σ]= 117.5MPa，由于34.5<[σ]，所以強度校核表明盤體結構滿足強度條件。由圖3中盤體在x、y、z三個方向上的靜力變形值以及其所受外作用力大小，即可求出盤體在x、y、z三個方向上的靜剛度值，計算結果如表1所示，由于盤體在Y方向上所受外載荷最大，這使得盤體在Y方向上的變形量最大，且剛度最差。因此，在對盤體結構進行優(yōu)化時，應著重于提高其Y方向上的剛度值。

圖4 盤體在X、Y、Z三個方向上的位移變形量

X方向Y方向Z方向最大變形量(mm)0．0290110．652190．012889剛度值(N/mm)3．34×1044．167×1037．519×104

通過以上靜力學分析，得到盤體的應力云圖和位移變形云圖有關結果，說明當前建立的盤體模型在相應載荷下的應力和位移變化都較大程度地滿足了性能要求，說明盤體在設計時使用的材料有些浪費，可以對盤體結構進行一定的優(yōu)化，改變結構尺寸，在滿足性能要求的前提下，減輕盤體結構重量。

2 盤體結構的優(yōu)化設計

2.1 設計變量的選取

由于盤體尺寸參數(shù)對盤體結構質量和最大等效應力的貢獻不同，而且在結構設計中，為減輕結構的質量，往往會改變其強度和剛度。本文提出一種基于靈敏度[7]分析來指導盤體優(yōu)化設計的方法。靈敏度分析的數(shù)學意義為：對于函數(shù)，g=(x1,x2…xn)函數(shù)值g對變量xi變化的靈敏程度，即：

(2)

對于盤體結構參數(shù)的靈敏度分析，函數(shù)g可表示盤體結構的質量、最大等效應力等性能指標；變量xi為盤體的主要結構參數(shù)；靈敏度值S為結構參數(shù)變化對盤體性能指標的影響程度，然后對比較敏感的參數(shù)進行優(yōu)化設計，避免了對盤體輕量化設計的盲目性，提高了優(yōu)化效率。盤體的各個尺寸參數(shù)在盤體中的具體位置如圖5所示。

圖5 盤體尺寸位置簡圖

各待優(yōu)化參數(shù)對應的參數(shù)符號、初值、范圍如表2所示。

表2 選定尺寸的變化范圍

2.1.1 盤體最大等效應力對其結構參數(shù)的靈敏度分析

利用第1節(jié)中的有限元分析方法，以P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7為結構參數(shù)，分析得到盤體的質量與結構參數(shù)關系，如圖6所示。

圖6 盤體質量與結構參數(shù)關系

對圖6中的盤體質量與結構參數(shù)靈敏度曲線做二次函數(shù)擬合，所得到的盤體質量M，與各參數(shù)增量之間的函數(shù)關系為：

(3)

式中，ai，bi和ci，為擬合函數(shù)的系數(shù)；Δxi為各參數(shù)的增量。由式(2)對式(3)求導，計算得到盤體質量對各結構參數(shù)的靈敏度如下：

(4)

式中，Sσ為盤體質量對各參數(shù)的靈敏度，用矩陣形式可表示為：

Sm=LΔx+K

(5)

式中，Sm、L和K分別為式(5)中Sσ，2ai，bi的向量表示形式，對應的向量L，K分別為：

K=19.2540 8.7306 0.3136 2.0084 3.2416 0.7396 1.5390

將Δxi代入式(5)得盤體質量M對各結構參數(shù)的靈敏度矩陣為：

由上述靈敏度分析理論可知，盤體質量對各結構參數(shù)靈敏度的大小排序為：盤底板厚P1>盤外壁厚P2>條形肋板寬P5>條形肋板厚P4>圓肋板寬P7>圓肋板厚P6>軸孔厚P3。

2.1.2 盤體最大位移變形對其結構參數(shù)的靈敏度分析

盤體最大等效應力與各結構參數(shù)的靈敏度曲線如圖7所示。

圖7 盤體最大等效應力與結構參數(shù)關系

同理，可以計算出盤體最大等效應力對各結構參數(shù)的靈敏度矩陣為：

由此可知，盤體質量對各結構參數(shù)靈敏度的大小排序為：盤底板厚P1>條形肋板寬P5>條形肋板厚P4>圓肋板寬P7>圓肋板厚P6>盤外壁厚P2>軸孔厚P3。

綜合Sm和Sσ的靈敏度計算結果可以看出，軸孔厚P3和圓肋板厚P6參數(shù)的變化對盤體的質量和最大等效應力的影響很小，可以忽略不計，因此本文選取P1、P2、P4、P5、P7為本次優(yōu)化的設計變量。

2.2 響應面法優(yōu)化

響應面優(yōu)化方法是試驗設計與數(shù)理統(tǒng)計相結合的方法，用于處理多個變量對一系統(tǒng)或結構的影響問題，通過建立響應與參變量間的函數(shù)關系最終確定最優(yōu)解。本文基于響應面法的結構優(yōu)化方法首先確定目標函數(shù)和約束函數(shù)；然后通過試驗設計方法選定設計點，根據(jù)試驗設計點及其對應的目標函數(shù)值和約束函數(shù)值進行響應面擬合，建立目標函數(shù)和約束函數(shù)值關于設計變量的響應面模型，最后對模型進行求解，最終達到結構優(yōu)化的目的。

2.2.1 建立響應面模型

本文在ANSYS Workbench中采用中心復合實驗設計[8](CCD)生成100個初始試驗樣本點，并隨機抽取了20個測試樣本點。對于結構優(yōu)化問題，二階模型形式比較靈活，對真實響應近似程度較好，為簡化計算，采用不含交叉項的二次多項式構造響應面模型[9]。其中參數(shù)個數(shù)n為5，其一般公式如下：

(6)

式中，a0，bi，ci(i=1，2…，n)為2n+1個未知的待定系數(shù)。本文根據(jù)數(shù)值仿真結果，選用隨機抽取的20個樣本點，構造約束函數(shù)的二次多項式響應面擬合模型。得到最大應力S和質量M的表達式如下：

2.2.2 優(yōu)化建模與求解

根據(jù)擬合的二次多項式，以盤體結構質量最小為優(yōu)化目標，以盤體最大等效應力小于34.54MPa為約束條件，以x1，x2，x3，x4，x5為設計變量，建立如下優(yōu)化模型：

(7)

按照以上優(yōu)化模型，進行優(yōu)化求解，將各變量取整后得到最優(yōu)解如下：

x1=13，x2=9，x3=28，x4=26，x5=22

2.3 盤體優(yōu)化結果的驗證

為了對優(yōu)化后的盤體結構進行綜合評價，需對新設計的結構性能與原始結構進行對比?？紤]優(yōu)化前后的盤體整機性能，將從結構質量、最大應力、以及位移變形量進行綜合對比。將優(yōu)化后的模型導入ANSYS Workbench中進行靜力學計算，得到其最大等效應力為30.78MPa，最大總變形為0.594mm，總質量為421.17kg，盤體結構優(yōu)化前后結果對比如表3所示。由表3可看出，盤體結構經過優(yōu)化后，在最大等效應力減小了10.88%的同時，其質量減小了16.35%，這既保證了盤體強度又達到了盤體輕量化的目的，取得了很好的優(yōu)化效果。

表3 盤體結構優(yōu)化前后結果對比

優(yōu)化前后盤體靜剛度對比如表4所示。由表可知，優(yōu)化后的盤體結構在其薄弱方向上(Y方向)的剛度值得到了11.81%的提高，同時Z方向的剛度值也得到了改善。雖然X方向上的剛度值有減小，但考慮到其幅度變化較小，因此總的來說盤體的靜剛度得到了提升。

表4 盤體優(yōu)化前后靜剛度對比

3 盤體的可靠性分析

3.1 可靠性指標

可靠性指標是評價系統(tǒng)或產品可靠性的量化指標，常用評定可靠性的指標有可靠度、累積失效概率、失效率、平均壽命和可靠壽命等[10]?？煽慷仁强煽啃缘牧炕笜?，若可靠度不滿足設計要求，則須進行可靠性優(yōu)化設計，故可靠度優(yōu)化設計是以可靠性分析為基礎的。結構可靠性定義為滿足約束條件的概率，可靠度的計算公式為：

(8)

式中，fx(x)為隨機參數(shù)向量x=(x1,x2,…,xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；φ(x)>0為約束函數(shù)，表示結構的兩種狀態(tài)：

其中,φ(x)>0稱為極限狀態(tài)方程，表示結構處于臨界狀態(tài)或極限狀態(tài)。

3.2 盤體可靠度計算

盤體的可靠度可以定義為應力S小于許用應力σ且同時質量M小于允許質量M′的概率。取σ=117.5MPa，M′=550kg，假設應力、許用應力、質量和允許質量均服從正態(tài)分布，即：

(9)

當x>0且y>0時，盤體正常工作，其可靠度R可表示為：

(10)

式中，g(x，y)表示變量x和y的聯(lián)合分布密度函數(shù)，由于變量x和y均服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合密度函數(shù)為：

(11)

其中，ρ稱為相關系數(shù)，其定義為：

(12)

利用ANSYS Workbench中的六西格瑪設計準則，假設輸入的各結構參數(shù)均為服從正態(tài)分布的的變量。運用拉丁超立方體抽樣方法隨機抽取100個樣本，得到優(yōu)化前后盤體最大等效應力和質量的概率密度，結果如圖8所示?？芍P體最大等效應力和質量近似服從正態(tài)分布。優(yōu)化前最大等效應力的均值估計值μS0=36.243MPa，標準差估計值σS0=7.508MPa，優(yōu)化前盤體質量均值估計值μM0=503kg，標準差估計值σM0=45.1kg。

(a)優(yōu)化前最大等效應力分布圖 (b)優(yōu)化前盤體質量分布圖

(c)優(yōu)化后最大等效應力分布圖 (d)優(yōu)化后盤體質量分布圖圖8 盤體優(yōu)化前后六西格瑪分析結果

優(yōu)化后最大等效應力的均值估計值μS=31.046 MPa，標準差估計值σS=3.255 MPa，優(yōu)化后盤體質量均值估計值μM=402.94kg，標準差估計值σM=20.791kg。取盤體許用應力σ和許用質量M′的變異系數(shù)為0.2，即可認為σ是服從均值μσ=117.5MPa，標準差為σσ=23.5 MPa的正態(tài)分布，許用質量M′服從均值μM′=550kg，σM′=110kg的正態(tài)分布。相關系數(shù)ρ可由數(shù)值仿真結果由式(12)計算得出，其估計值ρ=-0.96。優(yōu)化前隨機變量(x0，y0)～N(81.25，47，24.672，118.882，-0.96)；優(yōu)化后隨機變量(x，y)～N(86.45，147.06，23.722，111.942，-0.96)。

通過式(10)可靠度計算公式，得出優(yōu)化前盤體的可靠度R0=0.9325，優(yōu)化后可靠度R=0.9876，可見，優(yōu)化后的盤體可靠度有所提高，說明此次盤體輕量化設計是合理、可靠的。

4 結論

本文在利用ANSYS Workbench對圓盤造球機進行靜力學分析的基礎上,提出用基于靈敏度分析和響應面方法的基礎上進行分析優(yōu)化,并對優(yōu)化前后進行可靠性計算，得到的主要結論如下：

(1)根據(jù)圓盤造球機靜力學分析，得到其最大等效應力為34.54MPa和最大位移變形為0.658 mm，薄弱方向的靜剛度為4.167×103，經校核表明盤體結構遠遠滿足性能要求，可以進行輕量化優(yōu)化設計。

(2)利用靈敏度分析的方法，計算盤體分析尺寸對其結構的最大等效應力和質量的影響程度，確定優(yōu)化尺寸參數(shù)，避免了對盤體優(yōu)化的盲目性；運用響應面法構造最大應力S和質量M的擬合模型，簡化了優(yōu)化計算的工作量，提高計算效率，優(yōu)化后表明：盤體最大等效應力降低10.88%，薄弱方向部位靜剛度提升10.56%，質量下降16.35%，達到了盤體輕量化和提升穩(wěn)定性的目的。

(3)建立了考慮應力和質量相關性的可靠性計算模型，運用六西格瑪設計準則，得到了優(yōu)化前后最大等效應力和質量的概率分布，得出了優(yōu)化前后盤體的可靠度，表明優(yōu)化后可靠度提高了7%，驗證了本文優(yōu)化方法的可行性。

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