單軸壓縮下斷續(xù)節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型*

劉紅巖,李俊峰,裴小龍

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)工程技術(shù)學(xué)院,北京 100083;2.武警黃金部隊(duì)第四支隊(duì),遼寧 遼陽(yáng) 111000)

目前巖體工程如隧道、邊坡及地下廠房等在爆炸、地震等動(dòng)載下的力學(xué)響應(yīng)及破壞機(jī)理已引起了極大的關(guān)注。而巖體的強(qiáng)度、破壞模式及變形等力學(xué)特性主要受控于節(jié)理等天然缺陷[1-3]。由于節(jié)理發(fā)育規(guī)模一般遠(yuǎn)小于斷層，延伸長(zhǎng)度大多為數(shù)米，但是其數(shù)目眾多，因而無(wú)法一一考慮其對(duì)巖體力學(xué)性質(zhì)的弱化效應(yīng)。為此，20世紀(jì)80年代Kyoya等[4]最早提出了巖體損傷理論的概念，視節(jié)理為巖體的初始損傷，從而建立了節(jié)理巖體損傷模型。目前巖體損傷張量定義方法主要有2種。一種是Kawamoto等[5]和Swoboda等[6]提出的幾何損傷張量定義方法，他們采用節(jié)理密度、表面積、法向矢量等參數(shù)來(lái)定義損傷張量。但是該方法中僅考慮了節(jié)理的長(zhǎng)度和方位等幾何參數(shù)對(duì)巖體力學(xué)特性的影響，而未考慮節(jié)理摩擦角及黏聚力等強(qiáng)度參數(shù)的影響，認(rèn)為應(yīng)力無(wú)法在節(jié)理位置傳遞，因而該方法更適用于巖體拉伸破壞的模擬，而無(wú)法用于巖體壓縮力學(xué)特性的分析。這是因?yàn)樵谑軌簵l件下，節(jié)理面將產(chǎn)生壓縮閉合或剪切滑移，從而傳遞部分壓、剪應(yīng)力[7-8]。針對(duì)這一問(wèn)題，Li等[9]和Liu等[10]基于損傷及斷裂力學(xué)中的能量原理，提出了一個(gè)新的能夠同時(shí)考慮節(jié)理的幾何參數(shù)(如節(jié)理長(zhǎng)度、傾角、組數(shù)等)及強(qiáng)度參數(shù)(如節(jié)理摩擦角)的巖體損傷張量計(jì)算方法。相對(duì)于前述的幾何損傷理論而言，第2種方法減小了由于節(jié)理傳壓及傳剪系數(shù)的人為選取所帶來(lái)的誤差，因而具有較強(qiáng)的合理性[10-11]。

然而，盡管相對(duì)于幾何損傷理論而言，第2種方法已經(jīng)有了較大的發(fā)展，但是仍不夠完善。這主要是由于目前學(xué)術(shù)界為了更準(zhǔn)確地刻畫節(jié)理的物理力學(xué)性質(zhì)，提出了描述節(jié)理物理力學(xué)性質(zhì)的3類參數(shù)，即幾何參數(shù)、強(qiáng)度參數(shù)和變形參數(shù)(如法向和切向剛度)。而Prudencio等[12]通過(guò)對(duì)節(jié)理巖體的壓縮實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)巖體的力學(xué)特性同樣受節(jié)理變形參數(shù)的影響。而節(jié)理變形參數(shù)在目前的節(jié)理巖體損傷張量計(jì)算中均未得到很好地考慮，這顯然會(huì)導(dǎo)致一定的計(jì)算誤差。因此，本文中擬基于Li等[9]和Liu等[10]的研究方法，在現(xiàn)有的、能夠考慮節(jié)理幾何及強(qiáng)度的損傷張量計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，考慮節(jié)理變形參數(shù)的影響，最終在經(jīng)典巖石細(xì)觀動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型—Taylor-Chen-Kuszmaul (TCK)模型的基礎(chǔ)上，提出能夠考慮宏觀缺陷(如節(jié)理)與細(xì)觀缺陷(如微裂紋)耦合的斷續(xù)節(jié)理巖體單軸壓縮動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型，并采用相關(guān)算例研究節(jié)理幾何參數(shù)(如節(jié)理長(zhǎng)度)、強(qiáng)度參數(shù)(如節(jié)理摩擦角)和變形參數(shù)(如節(jié)理法向及切向剛度)對(duì)巖體單軸壓縮動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線的影響。

1 巖石動(dòng)態(tài)損傷TCK模型

1986年，Taylor等[13]提出了著名的巖石動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型，即TCK模型，其相應(yīng)的單軸動(dòng)態(tài)壓縮條件下軸向應(yīng)力σ與應(yīng)變?chǔ)诺年P(guān)系[14]為：

(1)

2 斷續(xù)節(jié)理巖體損傷本構(gòu)模型

2.1 單條斷續(xù)節(jié)理引起的巖體損傷張量

Li等[9]推導(dǎo)了當(dāng)巖體含有一條如圖1所示的傾角為α的斷續(xù)節(jié)理時(shí)，平面應(yīng)力條件下，由其引起的加載方向上的巖體損傷變量：

(2)

式中：KⅠ、KⅡ分別為節(jié)理尖端的Ⅰ、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子；V為試件體積；A為節(jié)理表面積；單個(gè)節(jié)理時(shí)，A=Ba(單邊節(jié)理)或2Ba(中心節(jié)理)；多個(gè)節(jié)理時(shí)，A=NBa(單邊節(jié)理)或2NBa(中心節(jié)理);N為節(jié)理個(gè)數(shù)，B為節(jié)理深度，a為節(jié)理半長(zhǎng)。

2.2 單條斷續(xù)節(jié)理的應(yīng)力強(qiáng)度因子

節(jié)理在壓縮荷載下往往會(huì)在已有節(jié)理尖端產(chǎn)生翼裂紋并近似沿外力方向擴(kuò)展[15-17]，如圖1所示。

對(duì)于完整巖石，在單軸壓縮下，傾角為α的斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：

(3)

(4)

而對(duì)于節(jié)理巖體，即當(dāng)在傾角為α的斜面上存在一條長(zhǎng)度為2a的斷續(xù)節(jié)理時(shí)，該面上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα將明顯受到節(jié)理力學(xué)性質(zhì)的影響，可表示為：

σα=(1-Cn)σcos2α

(5)

τα=(1-Ct)σsinαcosα

(6)

由于節(jié)理面黏聚力對(duì)試件強(qiáng)度影響較小，因此可忽略不計(jì)，同時(shí)若設(shè)節(jié)理摩擦角為φ，節(jié)理面摩擦系數(shù)為tanφ，那么在單軸壓縮下，由式(5)、(6)可得節(jié)理處的下滑力為：

(7)

根據(jù)Lee等[19]的研究，則可得：

(8)

式中：引入l*=0.27a，以保證l=0時(shí)，KI和KII不存在奇異；其余參數(shù)[15-17]如圖1所示。

對(duì)于節(jié)理未擴(kuò)展的初始狀態(tài)，即翼裂紋長(zhǎng)度l=0時(shí)，則有：

(9)

把式(9)代入式(2)即可得到由初始節(jié)理所引起的巖體損傷變量，進(jìn)而通過(guò)張量化處理即可得到相應(yīng)的損傷張量。可知由該方法求出的損傷張量同時(shí)考慮了節(jié)理的幾何參數(shù)(如節(jié)理長(zhǎng)度、傾角等)、強(qiáng)度參數(shù)(如節(jié)理摩擦角)和變形參數(shù)(如節(jié)理法向及切向剛度)，因此將更加符合實(shí)際情況。

2.3 單排及多排斷續(xù)平行節(jié)理的應(yīng)力強(qiáng)度因子

當(dāng)巖體含有如圖2所示的單排及多排斷續(xù)平行節(jié)理時(shí)(其中，b、d分別為相鄰兩節(jié)理中心距及排間距)，節(jié)理尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法已在相關(guān)文獻(xiàn)中有較多闡述[20-21]，這里不再重述。

2.4 含單組節(jié)理的巖體損傷變量

當(dāng)巖體含單組節(jié)理時(shí)，把式(5)～(6)、(9)及相應(yīng)的節(jié)理尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式代入式(2)，進(jìn)而通過(guò)求積分可得相應(yīng)的損傷變量。然而由于被積函數(shù)比較復(fù)雜，式(2)沒(méi)有相應(yīng)的解析解，因此這里采用Matlab軟件求其近似解。

2.5 損傷變量的張量化

由2.4節(jié)求得的損傷變量?jī)H是加載方向上的損傷值，為反映節(jié)理對(duì)巖體損傷的奇異性，必須對(duì)其進(jìn)行張量化處理。這里采用Chen等[22]提出的方法，即引入損傷張量：

(10)

式中：D0即為由式(2)求得的損傷值。

3 考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的斷續(xù)節(jié)理巖體單軸壓縮動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型

3.1 宏細(xì)觀缺陷耦合的損傷變量計(jì)算方法

這里引用Liu等[10]提出的宏細(xì)觀缺陷耦合損傷張量計(jì)算公式：

(11)

3.2 考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的斷續(xù)節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型

基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)損傷理論，把式(1)所示的完整巖石損傷變量ω(t)，用式(11)所示的宏細(xì)觀缺陷耦合損傷變量Ω12替換，即可得到相應(yīng)的單軸壓縮斷續(xù)節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)方程：

(12)

式中：E為完整巖石的彈性矩陣，其余參數(shù)同前。

4 算例分析

4.1 含單組斷續(xù)節(jié)理的巖體動(dòng)態(tài)力學(xué)特性

根據(jù)上述參數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯?1)采用本文中提出的模型所計(jì)算出的斷續(xù)節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線也包含了應(yīng)力線性上升段、極值點(diǎn)及應(yīng)力下降段等，很好地反映了巖體變形全過(guò)程；(2)斷續(xù)節(jié)理巖體的峰值強(qiáng)度及彈性模量分別為25.65 MPa和8.32 GPa，而相應(yīng)完整巖石的動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度及彈性模量則分別為32.7MPa和10.8GPa，前者分別約為后者的78.44%和77.04%，均低于完整巖石的峰值強(qiáng)度，即斷續(xù)節(jié)理會(huì)顯著削弱巖體的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度及剛度；(3)另外，采用同樣的算例，劉紅巖等[11]計(jì)算出的相應(yīng)巖體峰值強(qiáng)度及彈性模量分別為10.28 MPa和3.25 GPa，分別約為相應(yīng)完整巖石的動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度及彈性模的31.44%和30.09%，如圖4所示，即遠(yuǎn)小于本文計(jì)算結(jié)果。劉紅巖等[11]在計(jì)算由斷續(xù)節(jié)理對(duì)巖體造成的損傷時(shí)考慮了節(jié)理傾角的影響，認(rèn)為式(12)中的E應(yīng)為斷續(xù)節(jié)理巖體的彈性矩陣，進(jìn)而視巖體為巖塊與節(jié)理組成的復(fù)合體系來(lái)計(jì)算E，在此過(guò)程中，同時(shí)又引入了節(jié)理傾角對(duì)彈性模量的影響，因此可以認(rèn)為劉紅巖等[11]考慮了2次節(jié)理傾角對(duì)斷續(xù)巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線的影響，即重復(fù)計(jì)算了一次節(jié)理傾角對(duì)斷續(xù)巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線的影響，因此導(dǎo)致其計(jì)算出的巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)力偏小，因而計(jì)算結(jié)果不甚合理。而相比而言，在本文所提出的模型中，對(duì)節(jié)理的3類參數(shù)，即幾何參數(shù)、強(qiáng)度參數(shù)及變形參數(shù)等均只考慮了一次，不存在重復(fù)計(jì)算的問(wèn)題。

4.2 節(jié)理摩擦角對(duì)巖體動(dòng)力學(xué)特性的影響

計(jì)算模型如圖3所示，設(shè)節(jié)理摩擦角分別為0°、15°和30°，其余計(jì)算參數(shù)同4.1節(jié)，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。由圖5可知：(1)由巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線斜率所反映的動(dòng)態(tài)彈性模量是隨著節(jié)理摩擦角的增大而增大的，即3種不同節(jié)理摩擦角條件下的巖體動(dòng)態(tài)彈性模量分別為7.24、8.32和9.61 GPa；(2)當(dāng)節(jié)理摩擦角逐漸增大時(shí)，相應(yīng)試件的動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度也由22.34 MPa分別增大到25.65和29.42 MPa。這是因?yàn)樵嚰暧^損傷程度隨節(jié)理摩擦角的增大而降低，進(jìn)而導(dǎo)致試件強(qiáng)度提高，即節(jié)理摩擦角對(duì)試件的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性有較大影響。

4.3 節(jié)理法向及切向剛度對(duì)巖體動(dòng)力學(xué)特性的影響

計(jì)算模型仍為圖3所示，首先取節(jié)理法向剛度Kn分別為2、20和200 GPa/cm，其余計(jì)算參數(shù)同4.1節(jié)；其次取節(jié)理切向剛度Ks分別為0.8、8和80 GPa/cm，其余計(jì)算參數(shù)仍同4.1節(jié)，計(jì)算結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯觯?1)當(dāng)節(jié)理法向剛度由2 GPa/cm依次增大到20和200 GPa/cm時(shí)，即節(jié)理法向剛度依次增大到原來(lái)的10倍及100倍時(shí)，試件的峰值強(qiáng)度則由25.65 MPa依次降低到23.35和22.34 MPa，這說(shuō)明隨著節(jié)理法向剛度的增大，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度是降低的。這是因?yàn)樵谕瑯拥拇怪睉?yīng)力下，隨著節(jié)理法向剛度的增大，節(jié)理面上的法向應(yīng)力會(huì)相應(yīng)減小，進(jìn)而節(jié)理面上抵抗節(jié)理發(fā)生滑移的摩擦力就會(huì)減小，最終導(dǎo)致節(jié)理更易發(fā)生滑移破壞，進(jìn)而峰值強(qiáng)度降低。(2)當(dāng)節(jié)理切向剛度由0.8 GPa/cm依次增大到8和80 GPa/cm時(shí)，即節(jié)理切向剛度依次增大到原來(lái)的10倍及100倍時(shí)，試件的峰值強(qiáng)度則由25.65 MPa依次增大到31.82和32.32 MPa，這說(shuō)明節(jié)理切向剛度對(duì)試件的動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度有較大影響，且隨著節(jié)理切向剛度逐漸增大，節(jié)理切向剛度對(duì)巖體動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度的影響則逐漸趨于定值。(3)如前所述，由圖6(a)、(b)分別看出，隨著節(jié)理法向及切向剛度的增大，試件的動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度分別減小及增大。然而Prudencio等[12]研究發(fā)現(xiàn)隨著節(jié)理法向及切向剛度的增大，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度則是增大的。分析認(rèn)為對(duì)圖6(a)、(b)兩種工況，節(jié)理的法向及切向剛度的選取是任意的。而節(jié)理法向及切向剛度則首先是由Goodman等[23-24]提出用以描述法(切)向應(yīng)力與法(切)向位移之間的關(guān)系。Bandis等[25]發(fā)現(xiàn)節(jié)理的切向剛度遠(yuǎn)小于其法向剛度，并研究了Kn/Ks的值隨法向應(yīng)力的變化關(guān)系。這說(shuō)明二者應(yīng)該是按比例變化的。然而圖6(a)、(b)中所給出的結(jié)果卻并沒(méi)有考慮這一因素。為此，下面就研究二者按比例變化時(shí)巖體的動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線。取節(jié)理法向及切向剛度的初始值分別為2和0.8 GPa/cm，然后分別增大到10倍及100倍，結(jié)果如圖6(c)所示?？梢钥闯觯瑤r體的動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度則由26.65 MPa分別增大到30.36和32.64 MPa。這說(shuō)明隨著節(jié)理法向及切向剛度的增大，巖體動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度是增大的，這與Prudencio等[12]的研究成果則是一致的。(4)從應(yīng)力應(yīng)變曲線的斜率還可以看出，節(jié)理法向及切向剛度對(duì)試件的動(dòng)態(tài)彈性模量也均有一定的影響。總之，節(jié)理法向及切向剛度對(duì)試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度及彈性模量均有一定影響。

4.4 節(jié)理長(zhǎng)度對(duì)巖體動(dòng)力學(xué)特性的影響

計(jì)算模型如圖3所示，取節(jié)理長(zhǎng)度2a分別為10、20和30 mm，其余計(jì)算參數(shù)同4.1節(jié),計(jì)算結(jié)果如圖7所示。由圖7可知,當(dāng)2a由10 mm依次增大到20和30 mm時(shí)，試件峰值強(qiáng)度則由30.57 MPa依次降低到25.65和20.63 MPa，即分別減小為完整巖石峰值強(qiáng)度的93.49%、78.44%和63.09%，即隨節(jié)理長(zhǎng)度的增大，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度明顯下降。這是由于節(jié)理長(zhǎng)度的增大引起巖體損傷變量的增大及節(jié)理傳壓和傳剪系數(shù)的變化，進(jìn)而導(dǎo)致強(qiáng)度降低。同時(shí)巖體動(dòng)態(tài)彈性模量也隨節(jié)理長(zhǎng)度的增大而減小。

4.5 載荷應(yīng)變率對(duì)巖體動(dòng)力學(xué)特性的影響

計(jì)算模型如圖3所示，取載荷應(yīng)變率分別為100、200和300 s-1，其余計(jì)算參數(shù)同4.1節(jié)，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，當(dāng)載荷應(yīng)變率由100 s-1依次升高到200和300 s-1時(shí)，試件峰值強(qiáng)度則由25.65 MPa依次增大到31.65和35.71 MPa，即試件具有明顯的應(yīng)變率效應(yīng)。關(guān)于應(yīng)變率對(duì)巖體動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響機(jī)理已有較多闡述[11-26]。

5 結(jié) 論

(1)針對(duì)目前節(jié)理巖體宏觀損傷張量計(jì)算中僅考慮了節(jié)理幾何及強(qiáng)度參數(shù)的不足，根據(jù)前人的研究成果，提出了能夠同時(shí)考慮節(jié)理幾何參數(shù)(如節(jié)理長(zhǎng)度及傾角等)、強(qiáng)度參數(shù)(如節(jié)理摩擦角)及變形參數(shù)(如節(jié)理法向及切向剛度)的宏觀損傷張量計(jì)算方法，這將使得宏觀巖體損傷張量的計(jì)算更符合實(shí)際。

(2)基于完整巖石動(dòng)態(tài)TCK模型及宏細(xì)觀損傷耦合的觀點(diǎn)，建立了考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的非貫通節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)單軸壓縮損傷本構(gòu)模型。該模型中同時(shí)考慮了節(jié)理幾何、強(qiáng)度及變形參數(shù)對(duì)非貫通節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響。

(3)算例分析表明，節(jié)理的存在降低了巖體的動(dòng)態(tài)彈性模量，削弱了巖體的峰值強(qiáng)度。同時(shí)利用該模型討論了節(jié)理摩擦角、節(jié)理法向及切向剛度、節(jié)理長(zhǎng)度及應(yīng)變率等對(duì)巖體動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響，計(jì)算結(jié)果與已有研究成果吻合較好，說(shuō)明該模型是合理性的。

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