淺析中值定理中的構(gòu)造輔助函數(shù)法

郭秀榮

摘 要：微分中值定理反映了導數(shù)與函數(shù)的關系，建立了導數(shù)的局部性與函數(shù)整體性的聯(lián)系，利用微分中值定理可以證明有關的等式或者不等式，有著非常重要的價值。本文利用構(gòu)造輔助函數(shù)法給出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的另一種證明方法。

關鍵詞：羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 構(gòu)造輔助函數(shù)法

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）08（c）-0157-02

微分中值定理反映了導數(shù)的局部性與函數(shù)整體性的關系，有著非常重要的應用價值。高等數(shù)學中介紹了3個微分中值定理，分別是：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。本文首先回顧拉格朗日中值定理和柯西中值定理，給出利用構(gòu)造輔助函數(shù)證明這兩個中值定理的另一種證明方法，然后將其應用于等式的證明中。

首先我們利用構(gòu)造輔助函數(shù)法證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1 構(gòu)造輔助函數(shù)法證明拉格朗日中值定理

定理1：拉格朗日中值定理

若函數(shù)滿足下列條件：

（1）f（）∈C[a、b]；

（2）f（）∈D[a、b]。

則至少Eξ∈（a、b），使得f'（ξ）=。

證明：令=k （1）

則只需證明f'（ξ）=k。由（1）變形得：f（b）-kb=f（a）-ka

構(gòu)造輔助函數(shù)：F（）=f（）-k，顯然F（b）=F（a） （2）

由f（）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，可得，

F（）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導。 （3）

因此，由（2）和（3）知F（）滿足羅爾中值定理條件，所以，至少Eξ∈（a、b），使得f'（ξ）=0，即f'（ξ）=k。

2 構(gòu)造輔助函數(shù)法證明柯西中值定理

定理2：柯西中值定理

設函數(shù)G（），g（）滿足下列條件：

（1）G（），g（）∈C[a，b]；

（2）G（），g（）∈D（a，b）且g'（）≠0，∈（a，b）。

則至少Eξ∈（a，b），使得

證明：令，=k （4）

則只需證明=k，即證明Eξ∈（a，b），使得G'（ξ）-kg'（ξ）=0。

由（4）變形得：G（b）-kg（b）=G（a）-kg（a） （5）

構(gòu)造輔助函數(shù)，令H（）=G（）-kg（），則由（5）知：

H（b）=H（a） （6）

又因為G（），g（）∈C[a，b]，G（），g（）∈D（a，b）

所以G（）∈C[a，b]，G（）∈（a，b）. （7）

由（6）和（7）知H（）滿足羅爾中值定理條件，所以至少Eξ∈（a，b）使得H'（ξ）=0，即：G'-kg'（ξ）=0，即=K。

3 構(gòu)造輔助函數(shù)法應用舉例

構(gòu)造輔助函數(shù)法的思想：從要證明的等式入手，只需令常數(shù)部分為k，然后將其整理成兩端對稱相等的形式，從而構(gòu)造出輔助函數(shù)，只需證明其滿足羅爾中值定理，即可借助羅爾中值定理證明出等式成立。

例：若g（）在[a，b]上可導，ab>0，試證Eξ，（a<ξ

證明：令=k （8）

只需證明g（ξ）-ξg'（ξ）=k，由（8）整理得=k，

即：

令H（）=，則有H（b）=H（a） （9）

又因g（）在[a，b]為上可導，所以H（）在[a，b]上可導 （10）

根據(jù)（9）（10）可知，滿足羅爾中值定理，因此Eξ，（a<ξ

4 結(jié)語

本文首先利用輔助函數(shù)給出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的另一種證明方法，我們稱之為構(gòu)造輔助函數(shù)法，然后將這種方法應用于等式的證明，并給出了構(gòu)造輔助函數(shù)法的思想和步驟。實際上，構(gòu)造輔助函數(shù)法不僅可以借助于羅爾中值定理證明等式，也可以利用構(gòu)造輔助函數(shù)法結(jié)合拉格朗日中值定理、單調(diào)性以及曲線的凹凸性等應用于不等式的證明中。

參考文獻

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