一道試題的自洽性探討

陳華強 曹剛

摘 要：筆者從一道試題的解析引起的爭議出發(fā)，從定性判斷和定量分析兩個角度進行了推證，進而探討該試題不自洽的根源。

關(guān)鍵詞：自洽性；定性判斷；定量分析

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）12-0055-3

1 問題提出

筆者所在學(xué)校高三年級最近一次理科綜合考試中有一道選擇題，在試題講評結(jié)束后引發(fā)了關(guān)于試題自洽性的爭議。試題如下：

如圖1所示，滑塊A、小球B由繞過輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連，A放在固定的足夠長的斜面上，斜面的傾角α=30°，B、C 兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上。先用手控制住滑塊A，并使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知A的質(zhì)量為M，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，A與斜面間的動摩擦因數(shù)μ= ，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好離開地面，設(shè)A沿斜面下滑的最大速度為vm。下列說法正確的是（ ）

圖1 題目示意圖

A.M=6.4m

B.A、B速度最大時彈簧處于原長狀態(tài)

C.A到達最低點時C速度大小為7.4vm

D.從釋放A到C恰好離開地面的過程中，滑塊A、小球B組成的系統(tǒng)機械能一直減小

解析 滑塊A速度最大時，加速度為零，故對A，根據(jù)牛頓第二定律：

Mgsin30°-μMgcos30°-T=0

此刻，小球B的加速度也為零，有T-mg-F=0

對小球C，有F-mg=0

聯(lián)立上述三式求解可得M=6.4m，故A選項正確。

顯然，A、B速度最大時彈力等于C球的重力，彈簧處于伸長狀態(tài)，故B選項錯誤。

當(dāng)滑塊A到最低點時，A、B速度均為零，設(shè)從速度最大到最低點經(jīng)歷的時間為t，由動量定理：

對A：Mgsin30°t-μMgcos30°t-IT=0-Mvm

對B、C整體：IT-2mgt=mvc-mvm

聯(lián)立兩式求解可得：vc=7.4vm，故C選項正確。

以A、B為一系統(tǒng)，從釋放滑塊A到小球C恰好離地的過程中，根據(jù)功能關(guān)系：

-μMg30°x+W =ΔE

可分析：在此過程中彈簧的彈力先做正功，后做負(fù)功，但任意時刻彈力都小于滑塊A所受的摩擦力，所以A、B系統(tǒng)在該過程中除重力之外的其他力一直做負(fù)功，機械能減小，故D選項正確。本題的正確答案為A、C、D選項。

上述解析看起來是完美的，幾乎欺騙了所有的老師和學(xué)生。就在筆者按照上述解析講評完試題后，有學(xué)生提出了質(zhì)疑，C選項可能有誤。經(jīng)過一番討論，筆者用反證法定性判斷和直接定量分析予以推證，過程如下。

2 反證法定性判斷

以小球C剛離地為初狀態(tài)，滑塊A到最低點為末狀態(tài)，該過程中，設(shè)x1為滑塊A的位移，而x2為小球C的位移，初狀態(tài)彈簧的伸長量Δl0= ，如圖2所示。

圖2 過程示意圖

以A、B、C為一個整體，根據(jù)動能定理：

Mgsin30°x1+W彈-μMgcos30°x1-mgx1-mgx2=

E -E

再根據(jù)彈力做功的特點：

W =- k（Δl +x -x ） - kΔl

其中μ= ，M= m

令Δx=x -x

代入解得：E -E =- kΔx2，即E

若試題中C選項成立，則有：

E = （M+m）v =3.7mv

E = m（7.4vm）2=27.38mv

有E >E

這顯然與上述推導(dǎo)矛盾，故C選項不成立。

3 定量分析

上述推證僅僅說明C選項是錯誤的，但錯誤的根源在哪里呢？我們作定量分析，進一步探討。

設(shè)繩上拉力為T，則對A、B、C分別由牛頓第二定律：

對A：Mgsin30°-μMgcos30°-T=M

對B：T-mg-k（Δl0+x1-x2）=m

對C：k（Δl0+x1-x2）-mg=m

代入Δl0= 及M=6.4m，上述方程簡化為：

對A：2mg-T=6.4m （1）

對B：T-2mg-k（x1-x2）=m （2）

對C：k（x1-x2）=m （3）

（1）式+（2）式可得：-k（x1-x2）=7.4m （4）

（4）式-7.4（3）式可得：

-8.4k（x1-x2）=7.4m （5）

稍作整理可得：

+ （x1-x2）=0（6）

其通解為（x1-x2）=Acos（wt+φ），其中w= ，A、φ為待定常數(shù)。

由初始條件：t=0時，x1-x2=0

（x1-x2）=vm

可推得： Acosφ=0，-Asinφ=vm

解得：x1-x2= sinwt（7）

將（7）式代入（4）式，有

7.4m =- v sin wt（8）

兩邊對t積分：7.4m = v cos wt+C，

C為待定常數(shù)。

由初始條件：t=0時， =v

解得：vA= = （cos wt+7.4）

其中w=

以小球C剛離地時為時間零點，所以最小速度vAmin= （-1+7.4）= vm>0，滑塊A的速度不會減小到0，故題設(shè)條件不成立。

行文至此，我們發(fā)現(xiàn)解析中通過動量定理求解出C選項是正確的，而反證法定性判斷C選項不成立，造成試題不自洽的原因是什么呢？從上述推證不難看出：滑塊A和小球B、C在運動過程應(yīng)該遵守動量定理，但它們還應(yīng)該遵守功能關(guān)系。換言之，命題人只是片面地利用某一種規(guī)律去設(shè)置了問題，而沒有考慮到問題應(yīng)該遵守的全面規(guī)律，這是試題命制過程中出現(xiàn)不自洽的最普遍的現(xiàn)象。

筆者和學(xué)生在定性判斷后，繼續(xù)進行了定量分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)C選項錯誤的根源在于命題人認(rèn)為滑塊A向下運動過程中有最低點，并以此作為設(shè)計C選項的基礎(chǔ)，而定量分析的結(jié)果表明滑塊A沿斜面下滑的最小速度不為零，根本不存在最低點，從而造成了本題的不自洽。通過和學(xué)生一起探討本問題的自洽性，激發(fā)了學(xué)生的批判精神，從而保持了對物理學(xué)科的熱情，期望每一個問題的出現(xiàn)都能成為教育的契機，在追求問題解決的過程中發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

參考文獻：

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（欄目編輯 羅琬華）