何以避重就輕

曲婷

課本題1：已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+y4=0上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OP的最小值.

思路1 利用坐標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的方法解決有關(guān)問(wèn)題，這是解析幾何中很常見(jiàn)的方法，但是因?yàn)樽鴺?biāo)表示的需要，目標(biāo)函數(shù)的建立本身存在兩個(gè)變量，所以消元是必不可少的過(guò)程.其運(yùn)算量大小姑且不談，有時(shí)遇到一些復(fù)雜的函數(shù)，不便于消元，以致不便于通過(guò)函數(shù)的方法解決問(wèn)題，這將使得利用代數(shù)方法直接計(jì)算的思路難以奏效.

思路2 從題目中挖掘其幾何意義，再利用代數(shù)運(yùn)算的方法解題，便可大大降低運(yùn)算量，也可以避免思路1難以奏效的可能.這是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，其中，幾何特征的發(fā)掘是該方法的一個(gè)難點(diǎn).

課本題2：已知M（ 1，3），N（6，2），點(diǎn)P在x軸上，求使PM+PN最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

根據(jù)上面的分析，本題同樣可通過(guò)兩種思路來(lái)處理：

得到關(guān)于x的目標(biāo)函數(shù)，接下來(lái)怎么處理函數(shù)最值的問(wèn)題呢？?jī)蛇呁瑫r(shí)平方，還是有根號(hào)，再次兩邊平方，好像更加繁瑣了；即使利用以后將要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，還是相當(dāng)繁瑣的.上述思路，可以說(shuō)是理論上可行，實(shí)際操作有困難.

思路2 如圖1所示，根據(jù)題意，問(wèn)題就是求兩個(gè)線段之和的最小值，自然會(huì)考慮到兩點(diǎn)之間線段最短，如何把折線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)？如圖2所示，可以通過(guò)作點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，從而可以得到PM +PN=PM'+PN≥M'N，此時(shí)線段M'N與x軸的交點(diǎn)即為所求.并且求P點(diǎn)坐標(biāo)的方法也有兩個(gè)思路，一是求直線M'N的直線方程，再令y=0；二是利用M'P與PN的斜率相等建立方程.這實(shí)際上也是對(duì)代數(shù)方法和幾何方法的一種選擇.具體過(guò)程略，答案為（16/5，0）.

顯然，這個(gè)題目利用思路1解答很困難，利用思路2則可以很快地解決問(wèn)題.可見(jiàn)，充分利用幾何性質(zhì)解解析幾何問(wèn)題是很有必要的，其中數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，在其中起到很重要的作用.

3.學(xué)以致用

如何有效地通過(guò)幾何特征和幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而避免繁瑣的代數(shù)計(jì)算，達(dá)到高效解題的目的呢？下面，我們?cè)偻ㄟ^(guò)幾個(gè)例子，進(jìn)一步體會(huì)幾何性質(zhì)在解析幾何中的重要應(yīng)用.

例1 原點(diǎn)0到動(dòng)直線Z：（m+1）x+（m+2）y+2=O的最大距離為_(kāi)____ .

例2 設(shè)M是圓（x-5）²+（y-3）²=9上的點(diǎn)，N是直線3x+4y-2=0上的點(diǎn)，則MN的最小值是_____.

解析 從幾何特征上看，直線到網(wǎng)上的點(diǎn)的距離問(wèn)題，最終可以化歸為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，因此MN的最小值就可以通過(guò)圓心到直線的距離，再減去半徑來(lái)進(jìn)行求解.答案為2.

總之，解析幾何中與直線和圓有關(guān)的最值或者范圍問(wèn)題的求解，大多可以通過(guò)其幾何性質(zhì)建立函數(shù)或者不等式關(guān)系，從而減少化簡(jiǎn)和運(yùn)算的T作量.如果能夠很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，探索發(fā)現(xiàn)其具有代表性的幾何性質(zhì)，再舉一反三，融會(huì)貫通，類(lèi)似問(wèn)題便可迎刃而解，長(zhǎng)此以往，就可以達(dá)到“避重就輕”、高效解題的目的.endprint