含信用等級(jí)遷移的可違約和可贖回公司債券的結(jié)構(gòu)化定價(jià)

(同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海200092)

1 引 言

伴隨著信用風(fēng)險(xiǎn)始作俑者的2007年次貸危機(jī)和歐債危機(jī)的相繼發(fā)生,及其引發(fā)的金融海嘯和隨后漫長(zhǎng)的全球市場(chǎng)低迷,金融產(chǎn)品信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估日益受到全球投資者的重視.信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估主流方法是用信用等級(jí)優(yōu)良來(lái)反映金融產(chǎn)品違約可能性大小,一般由信用評(píng)估機(jī)構(gòu)評(píng)定.它們針對(duì)受評(píng)對(duì)象實(shí)時(shí)的經(jīng)營(yíng)狀況,投資資本和行業(yè)環(huán)境等數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)研分析,給予受評(píng)對(duì)象關(guān)于自身信用的總體評(píng)價(jià).由于金融產(chǎn)品發(fā)行者和投資者信息的不對(duì)稱,投資者需要通過(guò)信用評(píng)級(jí)來(lái)把握投資的金融產(chǎn)品所含的信用風(fēng)險(xiǎn)大?。涣硪环矫娼鹑诋a(chǎn)品發(fā)行方也需要通過(guò)信用評(píng)級(jí)展現(xiàn)安全兌付其所發(fā)行的金融產(chǎn)品的能力.考慮到信用等級(jí)對(duì)含信用風(fēng)險(xiǎn)的金融產(chǎn)品定價(jià)的參考價(jià)值和影響力,將可能發(fā)生的信用等級(jí)遷移加入到信用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)之中無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都有了更加切實(shí)的意義.

國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)含信用風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)評(píng)估已經(jīng)做了大量的研究,主流方法是對(duì)違約這一隨機(jī)事件進(jìn)行建模,建模的方式主要有約化法(reduced form approach)和結(jié)構(gòu)化法(structure approach).在約化法中,違約被視作一個(gè)由外因決定的不可預(yù)測(cè)事件.由風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)進(jìn)行刻畫,通過(guò)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的分析建模,得出金融產(chǎn)品違約的概率.Jarrow等[1]和Duffe等[2]都通過(guò)約化法來(lái)研究金融產(chǎn)品違約問(wèn)題.結(jié)構(gòu)化法則以期權(quán)定價(jià)理論為基礎(chǔ),通過(guò)公司的結(jié)構(gòu)變量指標(biāo)如資本結(jié)構(gòu),資產(chǎn)價(jià)值和負(fù)債等的變動(dòng)過(guò)程來(lái)刻畫違約.隨著公司的運(yùn)營(yíng),當(dāng)公司資產(chǎn)價(jià)值低于預(yù)先設(shè)定的水平時(shí),公司在到期日無(wú)法兌現(xiàn)金融產(chǎn)品,即發(fā)生違約.Merton[3]首先將結(jié)構(gòu)化法運(yùn)用到公司金融產(chǎn)品定價(jià)上,但是模型設(shè)定違約只發(fā)生在金融產(chǎn)品到期日清償債務(wù)的時(shí)候.隨后,Cox等[4]及Longstaff等[5]將Merton模型拓展到了違約可在任何時(shí)刻發(fā)生.但都沒(méi)有考慮到信用變遷對(duì)金融產(chǎn)品定價(jià)的影響,因此Jarrow等[6]用Markov鏈模型刻畫了信用等級(jí)遷移,之后Arvanitis等[7]和Hurd等[8]對(duì)模型都作了各自的推廣.然而這些模型中信用等級(jí)遷移都假定只受外因影響,而實(shí)際上公司資產(chǎn)狀況是影響信用等級(jí)遷移的關(guān)鍵因素,所以運(yùn)用結(jié)構(gòu)化法通過(guò)公司資產(chǎn)的變換過(guò)程來(lái)刻畫信用等級(jí)遷移,從而反映公司的信用風(fēng)險(xiǎn)變化,這與實(shí)際更加貼切.過(guò)去的幾年中,文獻(xiàn)[9—11]首次在金融產(chǎn)品結(jié)構(gòu)化定價(jià)中用公司資產(chǎn)的變換過(guò)程來(lái)刻畫信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)做了相應(yīng)的理論證明和約化評(píng)估.文獻(xiàn)[12,13]解決了信用等級(jí)遷移邊界是自由邊界的情形.

然而目前對(duì)含信用等級(jí)遷移的債券研究工作還只局限于公司發(fā)行的零息票債券來(lái)刻畫公司負(fù)債狀況,可違約和可贖回債券[14,15]相比較而言風(fēng)險(xiǎn)性更小且更適用于實(shí)際.所以本文將推廣到可違約和可贖回債券,這將進(jìn)一步認(rèn)清信用等級(jí)變換風(fēng)險(xiǎn)在金融市場(chǎng)所產(chǎn)生的影響.可違約條款保證當(dāng)公司資產(chǎn)低至一定值時(shí),即時(shí)清算公司債券,截止投資人損失；提前償還條款保證當(dāng)公司資產(chǎn)高至一定值時(shí),及時(shí)償還公司債券,減少公司負(fù)債.基于此,本文中將對(duì)這一類債券的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行研究.用結(jié)構(gòu)化法對(duì)這債券進(jìn)行解析,設(shè)定公司信用等級(jí)遷移邊界,可違約和可贖回風(fēng)險(xiǎn)邊界,給出在信用等級(jí)遷移邊界光滑性條件和線性組合條件下債券的定價(jià)模型.用Feynman-Kac公式[16]推導(dǎo)在遷移邊界處耦合的拋物型偏微分方程組,并求得模型的顯式解和數(shù)值解,最后利用曲線圖展現(xiàn)兩種模型債券價(jià)格關(guān)于時(shí)間和公司資產(chǎn)的變化情況.通過(guò)數(shù)值圖形對(duì)比,兩組模型下債券價(jià)格一致且與其金融性質(zhì)相吻合.本文提供了含信用等級(jí)遷移的可違約和可贖回債券結(jié)構(gòu)化法定價(jià)問(wèn)題兩種模型及其相應(yīng)求解方法,并以此可解析地評(píng)估信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn).

2 含信用評(píng)級(jí)變換的債券定價(jià)模型

2.1 模型假設(shè)

假設(shè)1基本假定:假設(shè)市場(chǎng)完備,不存在套利,設(shè)定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r.

假設(shè)2公司債券:假設(shè)公司債務(wù)僅為一張面值為F,到期日為T的零息債券.若在到期日,公司的資產(chǎn)價(jià)值小于債券面值,則判定公司違約,即時(shí)清算公司資產(chǎn),將公司資產(chǎn)全部交付給債權(quán)人.不考慮額外的清算費(fèi)用及其他手續(xù)費(fèi).t時(shí)刻的公司資產(chǎn)價(jià)值記為St,且滿足如下運(yùn)動(dòng)過(guò)程

其中1A是事件A的示性函數(shù).σi,i=1,2分別是公司資產(chǎn)在高,低信用等級(jí)下的波動(dòng)率,且有σ1＜σ2.Wt為由完備帶流概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)生成的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).

假設(shè)3信用等級(jí)遷移:假設(shè)公司(除去違約外)只有兩個(gè)信用等級(jí):高信用等級(jí)和低信用等級(jí).設(shè)定信用等級(jí)遷移邊界為K,若公司資產(chǎn)下降到K以下,判定公司由高信用等級(jí)降為低信用等級(jí)；若公司資產(chǎn)上升到K以上,判定公司由低信用等級(jí)升為高信用等級(jí).且公司的信用等級(jí)遷移可多次重復(fù)發(fā)生.

記公司首次發(fā)生信用等級(jí)遷移的時(shí)刻為

其中τ1,2(τ2,1)對(duì)應(yīng)初始為低(高)信用等級(jí)第一次轉(zhuǎn)移到高(低)信用等級(jí)的時(shí)刻.

2.2 公司債券的現(xiàn)金流

考慮一份含信用等級(jí)遷移的可違約和可贖回的零息公司債券.可違約條款指設(shè)定公司債券違約邊界,記為常數(shù)D,0＜D＜K.當(dāng)公司資產(chǎn)下降到D時(shí),公司發(fā)生違約,此時(shí)清算公司債務(wù),將公司全部資產(chǎn)支付給債權(quán)人,公司債券的價(jià)值為D.公司債券發(fā)生違約的時(shí)刻定義為

可贖回條款指設(shè)定公司債券贖回邊界,記為常數(shù)C,C＞K.當(dāng)公司資產(chǎn)上升到C時(shí),公司贖回債券,此時(shí)支付債務(wù)面值F的現(xiàn)值以及一定的補(bǔ)貼,公司債券的價(jià)值為Fe-r(T-t)+α(T-t),α為補(bǔ)貼因子,t∈(0,T].公司債券贖回的時(shí)刻定義為

根據(jù)無(wú)套利原理,債券價(jià)值等于債券未來(lái)期望收益的貼現(xiàn).當(dāng)公司處于高信用等級(jí)時(shí),公司債券在未來(lái)有三種可能收益:第一種在到期日前發(fā)生信用等級(jí)遷移而變?yōu)榈托庞玫燃?jí)的公司債券；第二種在到期日前運(yùn)營(yíng)良好達(dá)到可贖回條款,提前贖回債券；第三種在到期日T獲得收益F.當(dāng)公司處于低信用等級(jí)等級(jí)時(shí),公司債券在未來(lái)也有三種可能收益:第一種在到期日前發(fā)生信用等級(jí)遷移而變?yōu)楦咝庞玫燃?jí)的公司債券；第二種在到期日前運(yùn)營(yíng)不佳觸發(fā)可違約條款,提前清算債券；第三種在到期日T獲得收益min{ST,F}.記V(S,t),U(S,t)分別為公司在時(shí)刻t時(shí)分別處于高,低信用等級(jí)下的債券價(jià)值.由此可推出下面耦合的現(xiàn)金流表達(dá)式.

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于高信用等級(jí)狀態(tài)下,即當(dāng)St≥K時(shí),

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于低信用等級(jí)狀態(tài)下,即當(dāng)St＜K時(shí),

在信用等級(jí)遷移的邊界K上,由無(wú)套利假設(shè)可得V(K,t)=U(K,t).

2.3 現(xiàn)金流導(dǎo)出的耦合偏微分方程組

命題若由式(5),式(6)定義的V(S,t),U(S,t)充分光滑,則它們是下列線性偏微分方程組終邊值問(wèn)題的解,即

命題的證明可參照文獻(xiàn)[17].

方程組(7)的解存在但并不是唯一的,原因在于當(dāng)S=K時(shí),邊界條件僅僅為V(K,t)=U(K,t).為求得定解,在信用等級(jí)遷移邊界上從兩個(gè)角度引入新的邊界條件,得到兩類定價(jià)模型.

2.3.1 模型(光滑性條件模型)

利用Δ—對(duì)沖給出一種邊界條件.通過(guò)持有Δ份額的公司資產(chǎn)和賣出一份公司債券來(lái)構(gòu)建一份無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合Πt,即Πt=ΔtSt-Φt,且滿足dΠt=rΠtdt,其中

信用等級(jí)遷移并不會(huì)使投資組合價(jià)值發(fā)生突變,即Πt在信用等級(jí)遷移邊界K處連續(xù).所以在邊界處有

把邊界條件(11)添加到原方程組(7)中得到模型I為

由偏微分方程理論可知,方程組(12)的解存在且唯一[17].

2.3.2 模型II(線性組合條件模型)

設(shè)W1(S,t),W2(S,t)為不考慮信用等級(jí)遷移,公司資產(chǎn)分別只在高,低信用等級(jí)狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)的擁有違約條款和贖回條款的債券價(jià)值,即

Wi(S,t)滿足方程

利用偏微分方程分離變量法,得解析解

當(dāng)σ1＜σ2,有W1(S,t)＞W(wǎng)2(S,t),即公司資產(chǎn)始終在高信用等級(jí)狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)的債券價(jià)格比在低信用等級(jí)狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)的債券價(jià)格高,這與是實(shí)際相符.考慮到在信用等級(jí)遷移邊界上,債券價(jià)值應(yīng)同時(shí)體現(xiàn)高,低信用等級(jí)區(qū)域各自的特點(diǎn).設(shè)定處于信用遷移邊界上的債券價(jià)值是W1(S,t),W2(S,t))的線性組合,且其值介于W1(S,t),W2(S,t))之間,則在信用等級(jí)遷移邊界上,添加如下由已知函數(shù)確定的偏微分方程第一邊值條件

即V(S,t),U(S,t)滿足偏微分方程組(7)以及邊值條件(16),推得模型II

3 模型求解與數(shù)值分析

3.1 模型I的求解

求解偏微分方程組(12).用隱式差分法求解數(shù)值解,先把偏微分方程變量的定義域進(jìn)行網(wǎng)格剖分.在各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上,將微商轉(zhuǎn)換成差商,使得偏微分方程離散化為差分格式.然后從初始值(終值)出發(fā),通過(guò)差分格式沿時(shí)間增加(減少)的方向,逐步求出微分方程的近似解.選擇如下合乎市場(chǎng)情況的參數(shù)F=1,K=1.2,σ1=0.2,σ2=0.4,r=0.03,α=0.01.選取K=1.2,即信用等級(jí)遷移邊界在公司資產(chǎn)價(jià)值為1.2的地方,這條邊界劃分了公司資產(chǎn)在邊界兩端所滿足的不同波動(dòng)率的方程.下圖顯示的結(jié)果表示不同時(shí)刻下債券價(jià)值關(guān)于公司資產(chǎn)的變換情況.

圖1 債券價(jià)值在不同發(fā)行時(shí)間下關(guān)于公司資產(chǎn)的曲線圖Fig.1 The change curve of bond price in relation to corporate value at different issued time

對(duì)圖1比較分析可得出如下結(jié)論:

1)三條曲線單調(diào)上升,反映公司資產(chǎn)越高,公司信譽(yù)越好,債券的價(jià)值也就越高.

2)公司資產(chǎn)越是靠近信用等級(jí)遷移邊界,債券價(jià)值就波動(dòng)越大；越是靠近違約邊界或贖回邊界,債券價(jià)值就波動(dòng)越小.且越是靠近債券到期日,效果越是明顯.

圖2顯示的結(jié)果表示高,低信用等級(jí)下公司資產(chǎn)不變的債券價(jià)值關(guān)于債券已發(fā)行時(shí)間的變換情況.

圖2 高,低信用等級(jí)下債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的曲線圖Fig.2 The change curve of bond price in relation to issued time with high and low credit rating

對(duì)圖2比較分析可得出如下結(jié)論:

1)隨著債券到期日的臨近,債券價(jià)值會(huì)逐漸增加.

2)公司資產(chǎn)不變的情況下債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的變化為凸函數(shù),說(shuō)明債券發(fā)行初期,債券價(jià)值的變化平穩(wěn),越是在債券到期日臨近的時(shí)候,債券價(jià)值變化越劇烈.

3)低信用等級(jí)的債券價(jià)值總比高信用等級(jí)的債券價(jià)值小,且變化幅度也比高信用等級(jí)狀態(tài)下的大.

3.2 模型II的求解

對(duì)偏微分方程組(17),可利用分離變量法求得如下解析解.

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于高信用等級(jí)狀態(tài)下,即當(dāng)S≥K時(shí),

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于低信用等級(jí)狀態(tài)下,即當(dāng)S＜K時(shí),

為了對(duì)比分析兩種模型,選取與模型I相同的模型參數(shù),代入到解析解中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,獲得模型II的數(shù)值圖形.圖3和圖4顯示的結(jié)果表示兩種模型債券價(jià)值在不同時(shí)刻下關(guān)于公司資產(chǎn)變換的對(duì)比情況.圖5和圖6顯示的結(jié)果表示兩種模型債券價(jià)值在不同信用等級(jí)下關(guān)于發(fā)行時(shí)間變換的對(duì)比情況.

對(duì)上述四幅圖比較分析可知,兩種模型得出的結(jié)果較為接近,誤差較小,說(shuō)明這兩個(gè)模型都可以用來(lái)解決問(wèn)題.模型I更接近實(shí)際,而模型II有解析解,所以可以用解析解去近似實(shí)際解.

4 結(jié)束語(yǔ)

用結(jié)構(gòu)化法研究了含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的可違約且可贖回的公司債券定價(jià)問(wèn)題.用結(jié)構(gòu)化框架刻畫信用等級(jí)遷移過(guò)程,同時(shí)考慮了可違約和可提前贖回條款,以更符合實(shí)際的公司債券情形.通過(guò)引入信用等級(jí)邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件和線性組合條件,建立了兩個(gè)模型,分別給出了其數(shù)值解和解析解.兩個(gè)模型各有優(yōu)點(diǎn),模型I更符合實(shí)際,而模型II有解析解.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,兩種模型的結(jié)果數(shù)值接近,趨勢(shì)一致,且與問(wèn)題本身的金融意義相吻合.

圖3 兩種模型債券價(jià)值在0.25T時(shí)刻下關(guān)于公司資產(chǎn)的曲線圖Fig.3 The change curves of bond price of two models in relation to corporate bond at 0.25T

圖4 兩種模型債券價(jià)值在0.75T時(shí)刻下關(guān)于公司資產(chǎn)的曲線圖Fig.4 The change curves of bond price of two models in relation to corporate bond at 0.75T

圖5 兩種模型債券價(jià)值在高信用等級(jí)下關(guān)于發(fā)行時(shí)間的曲線圖Fig.5 The change curves of bond price of two models in relation to issued time at a high credit rating

圖6 兩種模型債券價(jià)值在低信用等級(jí)下關(guān)于發(fā)行時(shí)間的曲線圖Fig.6 The change curves of bond price of two models in relation to corporate issued time at a low credit rating