幾何直觀，助力問題解決

陳慶櫓

【摘 要】幾何直觀，可以助力問題解決。以“喝牛奶問題”為例，可以采取以下策略進(jìn)行相關(guān)教學(xué)探索：在反饋前測中，提升學(xué)生檢驗(yàn)反思的能力；在聚焦困難中，體會“畫圖”策略解決問題的優(yōu)越性；在變式練習(xí)中，借助直觀得出結(jié)果，借助直觀發(fā)現(xiàn)本質(zhì)；在陌生問題中，主動運(yùn)用“畫圖”策略解決將來問題。

【關(guān)鍵詞】問題解決；幾何直觀；檢驗(yàn)反思

【教學(xué)目標(biāo)】

1.借助圖形，理解[12]的[12]是[14]，并掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法解決問題。

2.在解決問題的過程中，體會“圖”在理解問題、分析問題、解決問題時(shí)的優(yōu)越性，培養(yǎng)幾何直觀的能力。

3.能根據(jù)問題信息，判斷結(jié)論的合理性，提升反思能力。

【教學(xué)過程】

一、呈現(xiàn)前測，反思結(jié)論合理性

師課件出示材料一：

前測問題：一杯純牛奶，小寶喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了。一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？

前測結(jié)果：

純牛奶 水

（1）[34]杯 [14]杯 21人

（2）[12]杯 [12]杯 9人

（3）1杯 [12]杯 3人

（4）[34]杯 [12]杯 2人

（5）[12]杯 [14]杯 2人

（6）1杯 [14]杯 1人

（7）1杯 1杯 1人

（8） 未作答 1人

師：請同學(xué)們相互討論交流，這些結(jié)果中不太合理的有哪些？并說說原因。

小結(jié)：在完成解決問題時(shí)，我們可以回過頭來，根據(jù)信息反思自己的結(jié)果是否正確。

【設(shè)計(jì)意圖】教師呈現(xiàn)前測，讓“回顧與反思”環(huán)節(jié)前置，引導(dǎo)學(xué)生在“這些結(jié)果中不太合理的有哪些”的思考中進(jìn)行自我檢查，自我思辨，努力培養(yǎng)學(xué)生檢驗(yàn)反思的意識和能力。

二、聚焦困難，分享解決策略

1.困難表達(dá)。

師：從同學(xué)們的解答情況看，這個問題還是有點(diǎn)難的。難在哪里？

生：難在第二次喝的是水和牛奶的混合物，不知道牛奶是多少，水是多少。

【設(shè)計(jì)意圖】教師組織學(xué)生互動交流的主要目的是進(jìn)一步暴露學(xué)生的思維障礙點(diǎn)，為下一步研究確定方向。

2.策略分享，感受幾何直觀的作用。

師：我們來看看同學(xué)們是如何解決這個困難的。

（1）語言表達(dá)

生：一杯純牛奶，先喝半杯，都是純牛奶。然后兌滿了熱水，就有一半牛奶一半熱水，他喝的時(shí)候是熱水加牛奶，不可能牛奶多一些，或者熱水多一些。喝的時(shí)候是一半一半，熱水一半，牛奶一半，那么就喝了一半熱水中的一半，剩下牛奶的一半。一共可以分成4份，第二次牛奶喝了1份，水喝了1份，就是[14]杯牛奶，[14]杯水。牛奶一共喝了[34]杯，水喝了[14]杯。

師：聽了這樣清楚的講解，明白的同學(xué)請舉手。（學(xué)生舉手者寥寥無幾）

（2）幾何直觀

師：同樣是將水和牛奶分開畫。雖然畫法不同，但所表達(dá)的意思是相同的。

3.回顧難點(diǎn)，小結(jié)方法。

用畫圖的方法幫助我們把“混合”這樣的生活問題，通過數(shù)學(xué)表達(dá)變得容易一些。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生解決該問題的表征方式不外乎語言描述、算式表達(dá)、幾何直觀。通過“語言表達(dá)”與“幾何直觀”對比，感受 “圖”更容易幫助理解抽象的數(shù)學(xué)問題。同時(shí)，不同的畫法，作用不同：畫法一——建立意識，幾何直觀首先表現(xiàn)為一種意識，即面對數(shù)學(xué)問題能想到用畫圖來幫助思考；畫法二、三——掌握方法，幾何直觀其次表現(xiàn)為掌握一定直觀方法，能畫出圖來。

三、變式練習(xí)，緊扣問題本質(zhì)

1.呈現(xiàn)變式，布置任務(wù)。

師呈現(xiàn)材料二：一杯純牛奶，小寶喝了半杯后，覺得有些涼，就兌了一些熱水。他又喝了一半，就出去玩了。小寶一共喝了多少杯純牛奶？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同，并表示不能解決問題，需要一個具體的數(shù)量，比如說，兌[14]杯、[16]杯、[25]杯······

布置任務(wù)：請同學(xué)們拿出練習(xí)紙，需要知道“一些”是多少的同學(xué)，在（ ）中填入需兌的水量，并解決問題。

2.嘗試解決，交流反饋。

學(xué)生根據(jù)“圖”發(fā)現(xiàn)，并猜想“不論加入多少水，純牛奶都喝了[34]杯”。再借助“圖”解釋無論水加多少，第二次喝一半的時(shí)候，喝掉的是水的一半，牛奶的一半。水的一半是多少不知道，但牛奶的一半就是[14]杯。[12+14=34]（杯）。（教師課件輔助演示）

3.環(huán)節(jié)小結(jié)。

圖可以更好地幫助我們聚焦問題的關(guān)鍵，不被無關(guān)的信息干擾。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)，學(xué)生主動嘗試運(yùn)用策略，在經(jīng)歷“借助直觀得出結(jié)果，借助直觀發(fā)現(xiàn)本質(zhì)”的過程中，再次體會“畫圖”策略在解決問題中的優(yōu)勢。

四、運(yùn)用策略，主動解決問題

1.師：同學(xué)們，這次小寶不兌水喝了，來看看他又是怎么喝的。

師出示材料三：

小寶第一次喝了這杯牛奶的[14]，第二次喝了剩下的一半，小寶一共喝了多少杯牛奶？

2.學(xué)生猜測結(jié)果——[34]杯，教師組織學(xué)生探究。

3.否認(rèn)[34]杯，聚焦“剩下的一半”。

師：同學(xué)們通過畫圖的方法，主要解決了“又喝了剩下的一半”這個問題，也就是“[34]杯的[12]是多少”。實(shí)際上，這個問題是我們六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容，但我們通過理解分?jǐn)?shù)的意義，采用“畫圖”的方法也是能夠解決的。

【設(shè)計(jì)意圖】隨著學(xué)習(xí)的推進(jìn)，學(xué)生對借助“幾何直觀”解決問題的優(yōu)勢的感受越來越深，“畫圖”的經(jīng)驗(yàn)積累也逐漸豐富。所以，對知識點(diǎn)的序列，“[34]杯的[12]是多少”雖未學(xué)習(xí)，但學(xué)生基于分?jǐn)?shù)的意義，通過畫圖的方法能將問題解決，凸顯的是方法策略的經(jīng)驗(yàn)積累。

五、課堂小結(jié)（略）

【教學(xué)反思】

思考一：如何發(fā)展“幾何直觀”能力？

教學(xué)策略：精心選材，多次感受。

本節(jié)課，每個材料都有各自承載的環(huán)節(jié)目標(biāo)，所有材料又共同承載本節(jié)課的課時(shí)目標(biāo)——感受“畫圖”策略的優(yōu)越性，發(fā)展“幾何直觀”能力。

材料一——方法共享。通過“語言表達(dá)”與“幾何直觀”對比，感受 “圖”更容易幫助理解抽象的數(shù)學(xué)問題。在不同的“畫圖”方法中，尋找共性，體會“畫圖”策略的優(yōu)勢。

材料二——嘗試運(yùn)用。對于干擾條件——“一些熱水”，學(xué)生采用假設(shè)法，嘗試運(yùn)用“畫圖”法，借助直觀，發(fā)現(xiàn)、解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)。

材料三——主動運(yùn)用?！癧34]杯的[12]是多少”?？此埔粋€“超綱”問題，通過策略滲透與方法習(xí)得，學(xué)生在遇到陌生問題時(shí)，能夠主動運(yùn)用習(xí)得的策略，成功解決。

當(dāng)然，方法的習(xí)得、能力的培養(yǎng)，不是一蹴而就的，是一個長期目標(biāo)，教師要在日常教學(xué)中，努力尋找捕捉“幾何直觀”能力培養(yǎng)的契機(jī)，提升學(xué)生解決問題的能力。

思考二：一節(jié)課中，解決問題各能力培養(yǎng)如何取舍？

教學(xué)策略：有取有舍，有主有次。

人教版教材將解決問題分為三個步驟——“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”，每個環(huán)節(jié)都有各自細(xì)化的能力，教學(xué)中，我們不能“胡子眉毛一把抓”，每節(jié)課要做到“有取有舍，有主有次”。比如，在本節(jié)課中，以“畫圖”策略為主，以“回顧與反思”為輔。解決問題的特殊策略中，重“畫圖”策略，回顧與反思中，重“結(jié)果是否合理正確”“不同問題的解決有什么共同的地方”?！坝腥∮猩?，有主有次”，學(xué)生的學(xué)習(xí)才會更有目標(biāo)性與方向性，才更利于解決問題各能力的有序發(fā)展。

（浙江省杭州采荷第一小學(xué)教育集團(tuán) 310000）endprint