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    n個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的待定參數(shù)法*

    2018-03-05 05:50:57周?chē)?guó)全
    物理通報(bào) 2018年3期
    關(guān)鍵詞:恒等式振幅公式

    周?chē)?guó)全 祁 寧

    (武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院物理系 湖北 武漢 430072)

    1 前言

    一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的問(wèn)題,便涉及簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成[1,2].兩個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問(wèn)題,現(xiàn)行教科書(shū)一般都采用旋轉(zhuǎn)矢量疊加法(亦即參考圓方法)或復(fù)向量法[1~6],這兩種方法比較直觀(guān)和簡(jiǎn)便;而對(duì)于多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,旋轉(zhuǎn)矢量合成法雖然原則上可行,但計(jì)算過(guò)程較為繁復(fù),甚至不可行.本文提出了一套待定參數(shù)法,可十分簡(jiǎn)便地推導(dǎo)出多個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振幅及初相位的計(jì)算公式.鑒于現(xiàn)行教科書(shū)和文獻(xiàn)對(duì)于簡(jiǎn)諧振子合成運(yùn)動(dòng)的待定參數(shù)法甚少提及[1~6],本文特作介紹.

    2 待定參數(shù)法的應(yīng)用的一般原則

    在科學(xué)研究過(guò)程中,當(dāng)我們對(duì)一組觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)按照其固有的變化規(guī)律進(jìn)行某種曲線(xiàn)擬合時(shí),如回歸分析中的最小二乘法,采用的就是待定參數(shù)法.在數(shù)理科學(xué)中,我們常常將某些函數(shù)按照其標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行合成或分解,前者如數(shù)學(xué)中周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)分解,基于初值或邊值條件的微分(偏微分)方程的定解問(wèn)題,有理分式的部分分式化分解;后者如量子力學(xué)中原子基態(tài)波函數(shù)的里茲變分法[7]、粒子物理中共振態(tài)對(duì)于布萊特-維格納曲線(xiàn)的參數(shù)擬合等都可應(yīng)用待定參數(shù)法加以解決[8],本文關(guān)于n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成公式的推導(dǎo),也是待定參數(shù)法的一個(gè)很好的應(yīng)用范例.

    當(dāng)我們按照具有m個(gè)獨(dú)立的自變量的標(biāo)準(zhǔn)形式的函數(shù)F(t1,t2,…,tm),將n個(gè)已知的函數(shù)fi(t1,t2,…,tm), (i=1,2,…,n), 進(jìn)行合成運(yùn)算時(shí),應(yīng)具有如下所述的恒等式

    F(t1,t2,…,tm;c1,c2,…,cl)

    (1)

    式中ci(i=1,2,…,l),是l個(gè)待定的常參量,而ti(i=1,2,…,m),是m個(gè)獨(dú)立的自變量.這種合成運(yùn)算之所以能運(yùn)用待定參數(shù)法,其根據(jù)是,式(1)對(duì)變量ti的任意取值均成立,即它是一恒等式.因此我們可在函數(shù)F及fi(i=1,2,…,n)的定義域內(nèi)對(duì)ti任意取值,從而可得關(guān)于ci的若干獨(dú)立的方程,它應(yīng)有且僅有l(wèi)個(gè)獨(dú)立的參數(shù)方程,由此求出的ci值應(yīng)使式 (1) 成為恒等式.這就是應(yīng)用待定參數(shù)法的一般原則,但基于一個(gè)前題——必須首先證明標(biāo)準(zhǔn)形式的存在性,以保證合成公式的合理性.下面運(yùn)用待定參數(shù)法推導(dǎo)n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成公式,并以此為例,闡述待定參數(shù)法的應(yīng)用原則與技巧.

    3 n個(gè)同頻率同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成公式

    假設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了n個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng),其中第i個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)xi(t)的方程為

    xi(t)=Aicos(ωt+φi),(i=1,2,…,n)

    (2)

    其中Ai與φi分別是第i個(gè)諧振的振幅及初相位,ω是圓頻率.下面運(yùn)用待定參數(shù)法探求其合成振動(dòng)的振幅及初相位公式.

    首先,我們必須證明合成振動(dòng)

    仍然可寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式

    x(t)=cos(ωt+φ)

    即它仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng).這個(gè)結(jié)論可用高中生能理解的數(shù)學(xué)歸納法加以證明,先證明兩個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成結(jié)果仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)

    x(t)=Acos(ωt+φ0)≡
    A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)≡

    (A1cosφ1+A2cosφ2)cosωt-
    (A1sinφ1+A2sinφ2)sinωt=

    acosωt-bsinωt=A(2)cos(ωt+φ(2))

    其中

    a=A1cosφ1+A2cosφ2

    b=A1sinφ1+A2sinφ2

    因而

    (3)

    (4)

    再用數(shù)學(xué)歸納法可很容易地推廣到n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成的結(jié)果,它仍然是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)(證明過(guò)程從略), 但運(yùn)用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程證明這一結(jié)論更為簡(jiǎn)潔,(高中競(jìng)賽學(xué)生能夠理解), 這是因?yàn)橛?/p>

    (5)

    兩邊對(duì)t求二階導(dǎo)數(shù)可得

    (6)

    仍然滿(mǎn)足一般簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程,因此合成振動(dòng)x(t)必然也是一簡(jiǎn)諧振動(dòng),也就是說(shuō)合成振動(dòng)x(t)也具有標(biāo)準(zhǔn)形式x(t)=Acos(ωt+φ0),其中A,φ0為待定的參數(shù).運(yùn)用待定參數(shù)法,在以下恒等式中

    x(t)=Acos(ωt+φ0)≡

    (7)

    令t=0,可得

    (8)

    (9)

    將(8)、(9)兩式平方相加,即得

    (10)

    由于

    AiAjcos(φi-φj)=

    (11)

    因此AiAjcos(φi-φj)對(duì)于i,j腳標(biāo)具有交換對(duì)稱(chēng)性.于是式(10)可如下表達(dá)

    (12)

    因此

    (13)

    (14)

    如下兩種特例情形值得討論:

    (1)當(dāng)n=2時(shí),由式(13)、(14)可自然地得到兩個(gè)同頻率、同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振幅與初相位公式

    (15)

    (16)

    正好與教材中用旋轉(zhuǎn)矢量法得到的結(jié)果[1,2].

    (2)當(dāng)n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)同時(shí)還具有相同的初相位,即φ1=φ2=…=φn時(shí),由(13)、(14)兩式可得合成振幅與初相位的正切分別為

    A1+A2+…+An

    (17)

    tanφ0=tanφi,(i=1,2,…,n)

    (18)

    不失一般性,可取φ0=φi,(i=1,2,…,n).

    4 結(jié)論

    綜合以上的論述可知,多個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問(wèn)題可運(yùn)用待定參數(shù)法十分簡(jiǎn)單地加以解決,其所得的合成振幅及位相公式——(13)、(14)兩式具有非常對(duì)稱(chēng)、簡(jiǎn)潔的特點(diǎn),便于記憶.待定參數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)還在于確定待定參數(shù)的方程或方程組具有靈活的選擇性,即可選擇某些特殊的自變量而使待定方程(組)具有盡可能簡(jiǎn)單的易于求解的形式.也正因?yàn)槿绱?,待定參?shù)法在許多科學(xué)研究過(guò)程中都得到了廣泛的應(yīng)用.

    1 馬文蔚,周雨青,解希順.物理學(xué).北京:高等教育出版社,2014.16~20

    2 沈黃晉,黃慧明,周?chē)?guó)全.大學(xué)物理學(xué).北京:高等教育出版社, 2017.152~157

    3 王志平.初探兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.物理通報(bào),2011(6):69~70

    4 康文秀.同頻率互相垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.物理與工程,2005,15(6):26~28

    5 陳大偉,斯小琴.Mathematica模擬簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.物理通報(bào),2017,36(4):111~114

    6 黃述熙,劉利輝.同向不同頻率不同振幅兩諧振動(dòng)合成的特點(diǎn).物理與工程,2002, 12(1):51~52

    7 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué).北京:科學(xué)出版社,1981.415~418

    8 章乃森.粒子物理學(xué)(上冊(cè)).北京:科學(xué)出版社,66~67

    9 王穎輝,侯建平.同方向同頻率諧振動(dòng)合成初相位的確定.物理與工程,2010, 20(3):14~16

    10 袁明廉.如何確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相.物理教學(xué),1985(6): 6~7

    11 領(lǐng)先.初相確定淺談.大學(xué)物理,1983,1(6):29~32

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