透過函數(shù)圖象 看清數(shù)列背景
——對一類數(shù)列題的解法探究

陳岳鵬

（浙江省杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)）

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識內(nèi)容，在歷年的高考解答題中都占有重要地位，近年來的浙江省高考數(shù)列在簡答題中的考查更以壓軸題形式出現(xiàn)，而且把數(shù)列與不等式結(jié)合起來，經(jīng)常出現(xiàn)證明數(shù)列單調(diào)性、有界性以及相關(guān)和式的收斂性問題，這就使得備考數(shù)列問題無所適從。而且，同函數(shù)等內(nèi)容一樣，學(xué)生“一講就會，一考就亂”，他們最大的困惑是：好的解題思路是從哪里來的？也就是說，在面對“山重水復(fù)疑無路”的困境時，如何找到“柳暗花明又一村”的途徑，是學(xué)生們最需解決的問題。

我們都知道數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)，那么處理數(shù)列與不等式問題理論上也可以利用函數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想。本文將通過幾個例子來說明一類數(shù)列題的解法。

一、預(yù)備知識

定義1：函數(shù)的不動點，在數(shù)學(xué)中是指被這個函數(shù)映射到其自身的一個點，即函數(shù)f（x）的取值過程中，如果有x0，使f（x）=x0，就稱x0為f（x）的一個不動點。對此定義，有兩方面的理解：

（1）代數(shù)意義：若方程f（x0）=x0有實數(shù)根x0，則f（x0）=x0有個不動點x0。

（2）幾何意義：若函數(shù)y=f（x）與y=x有交點（x0，y0），則稱x0為f（x）的一個不動點。

定義2：在不動點x0處，若＜1，則稱 x0為y=（fx）的吸引不動點；若在不動點x0處，若則稱x0為y=（fx）的排斥不動點。

定義3：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2均有成立，則稱函數(shù)（fx）在定義域D上滿足利普希茨條件。

定理1：若y=（fx）是定義在I上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，只有一個不動點x0，且為吸引不動點，初始值x1≠x2，遞推數(shù)列xn+1=f（xn），n∈N*，則（1）當(dāng)f在I上遞增時，則數(shù)列xn｛｝單調(diào)且收斂于x0；（2）當(dāng)f在I上遞減時，則數(shù)列xn｛｝的兩個子列的｛x2k-1｝和｛x2k｝一遞增一遞減，且收斂于x0。

二、解法探究

引例：2016屆溫州市高三第一次適應(yīng)性測試中第20題

如圖，已知曲線 C1（x＞0）及曲線 C2（x＞0），C1上的點P1的橫坐標(biāo)為a（10＜a1＜）．從 C1上的點P（nn∈N+）作直線平行于x軸，交曲線C2于點Qn，再從點Qn作直線平行于y軸，交曲線C1于點Pn+1。點Pn（n=1，2，3…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列｛an｝。

第20題圖

（Ⅰ）試求an+1與an之間的關(guān)系，并證明：a2n-1＜＜a2（nn∈N+）；

（Ⅱ）若a1=，求證n(∈N+）。

參考答案的解法：

（Ⅰ）由已知，P（na·n），從而有

因為Qn在上，所以有

由 a1＞0 及 an+1=，知 an＞0，

下證

所以an+1-=與an-異號。

因為 0＜a2n-1＜，所以 a2n+1＞a2n-1，

所以有a2n＞＞a2n-1＞a2n-3＞…＞a1

從而可知 an≥a1，故有：

對（1）的分析：不難求得an+1=，從而我們可以很容易的畫出y=x和y=的圖象，記它們的交點為A，原曲線C1與C2的交點為H，則可以解得H的橫坐標(biāo)為，它與點A的橫坐標(biāo)是一樣的，我們把稱為函數(shù)y=的不動點。因此從函數(shù)圖象中我們就可以看出 a2n-1＜＜a2（nn∈N+）這一結(jié)果，要證a2n-1＜＜a2（nn∈N+）只需要作差。

對（2）的分析：當(dāng)a1=時，a2=。

由an+1=得6an+1an=an+1，如圖，A（1a1，a2），A（2a2，a3），A3（a3，a4）…

筆者從這道題的解法中深受啟發(fā)，感受到處理數(shù)列與不等式問題可以利用函數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想，透過函數(shù)圖象，可以看清某些數(shù)列的背景，從而產(chǎn)生解決思路，這應(yīng)該就是專家們說“有圖就有真相”的道理。

我們常見數(shù)列的遞推式對應(yīng)的函數(shù)主要為以下幾個重要的初等函數(shù)：（1）f（x）=a+（3）f（x）=ax2+bx+c

下面逐一舉例說明：

（選自2015年浙江測試卷（理科）中第20題。）

已知數(shù)列an｛｝滿足

（Ⅱ）記Sn為數(shù)列的前 n 項和N*）證明：

析：解法基本與上面的引例一致。

事實上：由已知可得 an∈（0，1］，

所 以 2an+1＞1， 故

（2）因為 n≥2時，

但需要用作差法去證明這一結(jié)果。

然后就有：

已知數(shù)列an｛｝滿足

（II）若 a1=4記，數(shù)列｛bn｝的前n項和為Sn，求證：對第（2）題進行分析：畫出函數(shù)y=x與，記兩個圖象的交點為A，可以計算得點A的橫坐標(biāo)為2，即2是函數(shù)的不動點。從圖中可得數(shù)列an｛｝單調(diào)遞減且有界an∈（2，4］，事實上，由題意可得an＞0，an+1-2=（-4an+4）=因為 a1=4，所以 an＞2。

3.數(shù)列遞推式對應(yīng)函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c解法舉例（選自2015學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題理科第20題）

已知各項為正的數(shù)列an｛｝滿足

（I）證明：0＜an＜an+1＜1（n∈N*）；

（II）求證：a1+a2+…+an＞n-

析：（1）an｛｝是正項數(shù)列，畫出函數(shù)y=x與y=的圖象，記兩個圖象的交點為A，可以計算得點A的橫坐標(biāo)為1，即1是的不動點。從圖象中可以看出an｛｝是遞增數(shù)列，且an∈（0，1）。事實上，

因為 an＞0，an-1＜0，根據(jù)保號性得-1＜0，所以 0＜an+1＜1，

（2）只需要證明（a1-1）+（a2-1）+…+（an-1）

也等價于證明（1-a1）+（1-a2）+…+（1-an）

數(shù)列遞推式對應(yīng)函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c利用圖象能看清背景的稍微少一些，因為以二次出現(xiàn)的遞推式最后的和式基本都是經(jīng)過變形的。

三、歸納小結(jié)

通過以上例子分析可以看出，如果數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)圖象能夠分成y=x與y=f（x）畫出，并找到不動點，根據(jù)圖象去證明函數(shù)的單調(diào)性情況，有界情況，證明和式的收斂性就可以迎刃而解，所以對此類問題的解決步驟可以歸納如下：

總之，數(shù)列題作為壓軸題出現(xiàn)時，一定是有難度的。這就要求教師在幫助學(xué)生進行數(shù)列備考時，要在學(xué)生創(chuàng)新意識培養(yǎng)方面多花時間和精力，要讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識和基本方法的基礎(chǔ)上，有多次解題思路的分析與嘗試的經(jīng)歷，使他們具有在考場產(chǎn)生頓悟的能力。