陶瓷3D打印機結(jié)構(gòu)設計與運動學分析

丁承君，吳 畏，朱智輝

（河北工業(yè)大學 機械工程學院，天津 300401）

目前，市面上陶瓷3D打印機的噴頭結(jié)構(gòu)基本上采用活塞式擠出結(jié)構(gòu).周婧等[1-2]對活塞式擠出系統(tǒng)進行仿真分析與研究，利用流體分析軟件對擠出頭出口截面的流速和內(nèi)部壓力場進行數(shù)值模擬，對擠出頭內(nèi)部流道的幾何形狀進行設計，找出了4種不同內(nèi)部流道的壓力場和出口流速分布規(guī)律，但是該結(jié)構(gòu)形式不能夠滿足打印過程持續(xù)進料的剛性需求.張利敏[3]在并聯(lián)機構(gòu)剛體動力學模型基礎上，提出一種基于支鏈的動力學性能評價指標，該指標可以完整揭示機構(gòu)產(chǎn)生奇異位型的條件.梁香寧等[4]對Delta機構(gòu)進行分析，建立了基于動靜平臺之間的約束方程，分析了Delta機器人的工作空間，利用VC++和OPenGL開發(fā)了基于Windows平臺的機器人運動學可視化仿真軟件.趙杰等[5]運用空間幾何學及矢量代數(shù)的方法建立了三自由度并聯(lián)機器人的簡化運動學模型，求解運動學正解，回避了運動學多解取舍的問題，可直接獲得工作空間內(nèi)滿足運動學連續(xù)性的合理解.石志新等[6]應用方位特征集方法，綜合了一批滿足功能要求的并聯(lián)機構(gòu)，從中選取一種具有開發(fā)潛力的并聯(lián)機構(gòu)，結(jié)合實例給出了優(yōu)選機構(gòu)的位置正逆解方程.為實現(xiàn)較高速、較平穩(wěn)的打印，本文設計一款采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)、可持續(xù)進料的打印機，對整機機體進行位置正逆解、速度及加速度分析，利用ADAMS軟件進行算例仿真分析，驗證數(shù)學模型的正確性，保證打印噴頭運動過程的平穩(wěn).

1 陶瓷3D打印機結(jié)構(gòu)總述

本陶瓷3D打印機機體采用Delta結(jié)構(gòu)，如圖1所示.主動臂的驅(qū)動部分采用柔性帶和帶輪組成的兩級帶傳動，省去了傳動的減速器結(jié)構(gòu)，減輕了整機重量，而且價格便宜，傳動平穩(wěn)，有效減小了驅(qū)動過程中的振動.漿料由進料口通過氣壓壓入料筒，通過安裝在靜平臺上方的電機旋轉(zhuǎn)伸縮桿和與伸縮桿連接的螺桿的旋轉(zhuǎn)作用，將持續(xù)進入料筒的漿料不間斷地從噴頭內(nèi)擠出，從而實現(xiàn)持續(xù)供料、不間斷打印的目的[7].

圖1 打印機整機結(jié)構(gòu)Fig.1 Printer machine structure

2 打印機體位置反解

2.1 位置反解

由于中間伸縮桿不會影響噴頭的打印精度，在運動學分析時將其省去.打印機的3個主動臂與3個從動臂夠成3個支鏈，為方便研究，將其中1條主動臂和1條從動臂構(gòu)成的單支鏈結(jié)構(gòu)拆離出來分析，其示意圖如圖2所示[8-13].

圖2 單支鏈結(jié)構(gòu)Fig.2 Single branched chain structure

在靜平臺中心處建立靜坐標系O-XYZ，在動平臺中心處建立動坐標系O′-X′Y′Z′，一條主動臂與靜坐標系O-XYZ的X軸重合，Z軸垂直于靜平臺向上.其中：主動臂|AiBi|=L1；從動臂|BiCi|=L2；主動臂在靜坐標系中與 X 軸的夾角 αi（i=1，2，3）分別為 0°、120°、240°；主動臂的擺角為 θi（i=1，2，3）；靜平臺外接圓的半徑為R；動平臺外接圓的半徑為r.

在靜坐標系O-XYZ中有如下關系[14-16]：

式中：Ai=Rcos αi+L1cos θicos αi（i=1，2，3）；Bi=Rsin αi+L1cos θisinαi（i=1，2，3）；Ci=-L1sin θi（i=1，2，3）.

OCi（i=1，2，3）在動坐標系O′-X′Y′Z′中可表示為：

Ci（i=1，2，3）在靜坐標系O-XYZ中的坐標向量為：

則從動臂BiCi（i=1，2，3）在靜坐標系O-XYZ中的坐標為：

式中：Di=x+rcosαi-（Rcosαi+L1cos θicos αi）（i=1，2，3）；Ei=y+r sin αi-（R sin αi+L1cos θisin αi）（i=1，2，3）；Fi=z+L1sinθi（i=1，2，3）.

式中：Gi=x+rcosαi-（Rcosαi+L1cosθicosαi）（i=1，2，3）；Hi=y+r sin αi-（Rsinαi+L1cosθisinαi）（i=1，2，3）；Si=z+L1sinθi（i=1，2，3）.

將式（7）進行化簡得到：Iicos θi-Jisin θi-Ki=0

式中：Ii=2L1[（x+rcosαi-R cos αi）cos αi+（y+rcosαi-R sinαi）sinαi]；Ji=2L1z；Ki=（x+rcosαi-Rcosαi）2+（y+

根據(jù)倍角公式和打印機的裝配關系，位置反解為：

2.2 位置反解驗證

本文選取的機體尺寸參數(shù)為：R=205 mm，r=40 mm，L1=140 mm，L2=510 mm.位置反解就是給定動平臺1個位置，求得3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角的大小.現(xiàn)對動平臺中心施加螺旋曲線的驅(qū)動：

將式（9）帶入反解方程（8），可求得 3個轉(zhuǎn)角角度（rad）與時間（s）的關系，仿真時間設置為20 s，其3個轉(zhuǎn)角隨時間變化的關系曲線如圖3所示.

圖3 驅(qū)動角變化曲線Fig.3 Changing curve of driven angle

由圖3可知，在運動過程中3個轉(zhuǎn)角曲線平順光滑，沒有突兀點，故位置逆解方程正確.3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角能夠順暢地控制末端的軌跡，實現(xiàn)良好的打印效果，在打印過程中不會出現(xiàn)奇點，保證打印的精確性.

3 打印機體位置正解

3.1 位置正解方程

位置正解就是已知輸入的3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角的大小，求得動平臺中心的位置.該陶瓷打印機為典型的并聯(lián)機構(gòu)，相對于串聯(lián)機構(gòu)而言，并聯(lián)機構(gòu)的位置逆解較容易而正解較難.目前，通常有2種方法求得并聯(lián)機構(gòu)的正解：一種是數(shù)值法，另一種是幾何法.幾何法需復雜的幾何數(shù)學推導，正解不易求出，故采用數(shù)值法求解[17-18].

式中：

式（10）為1個含有3個未知數(shù)、3個方程的非線性方程組，使用Matlab采用最小二乘法，輸入3個主動臂的轉(zhuǎn)角值，即可求得動平臺中心的位置.

3.2 位置正解驗證

首先，設定末端的運動軌跡為如式（9）所示的螺旋曲線，按照已經(jīng)驗證的位置逆解方程求得3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角θi（i=1，2，3）與t時間的關系，將該關系式帶入正解方程（10），仿真時間設置為20 s，求得在位置正解方程下的末端位置x、y、z與時間t的曲線.若同樣為該螺旋線的話，位置正解即驗證正確.利用ADAMS軟件的ADAMS/Processor中的曲線處理工具得到末端位置位移（mm）與時間（s）的曲線，如圖4所示.

圖4 末端運動狀態(tài)Fig.4 State of terminal motion

由圖4可知，動平臺中心處X、Y、Z 3個方向的位移曲線均光順沒有突兀點，Z軸方向為豎直，其軌跡線為螺旋曲線，符合方程（9），故位置正解得到驗證.

4 速度、加速度分析

4.1 速度求解

對于 n 自由度機器人，關節(jié)變量 q=[q1，q2，…，qn]T，當關節(jié)變量為轉(zhuǎn)動關節(jié)時，qi=θi；當關節(jié)變量為移動關節(jié)時，qi=di；由Xn=Xn（q）可得：

式中：J（q）為（6× n）的偏導數(shù)矩陣，稱為 n自由度機器人速度雅克比矩陣.

在該打印機結(jié)構(gòu)中，關節(jié)變量為轉(zhuǎn)動關節(jié)，將式（11）對時間求導得：

同樣，取打印機3條支鏈中的1條進行分析，如圖 1（a）所示.

令 Si=BiCi，則 Si=OO′-（OAi+AiBi+CO′），在每條主動臂與靜平臺連接點Ai處建立坐標系{Ti}，{Ti}的X、Y、Z 3坐標軸的方向與固定坐標系X、Y、Z 3坐標軸的方向相同，則

故輸入3個驅(qū)動角速度θ˙i（i=1，2，3），通過式（17）即可求得動平臺末端的速度.

4.2 加速度求解

速度求解完后，加速度求解就變得十分簡單，對速度方程求導即可.

則輸入3個驅(qū)動角加速度θ¨i（i=1，2，3），通過式（20）即可求得動平臺末端的加速度.

4.3 速度、加速度算例驗證

在ADAMS中，對3個驅(qū)動角的旋轉(zhuǎn)運動副添加的速度驅(qū)動分別為加速度驅(qū)動為仿真時間設置為20s，速度與加速度驅(qū)動曲線如圖5所示.利用ADAMS/Processor中的曲線處理工具箱，求得末端的速度與加速度曲線，如圖6所示.由圖6可知，末端在X、Y、Z 3個方向上的最大速度分別為31、18、38 mm/s，最大加速度分別為30、45、45 mm/s2，其曲線均光順無突兀點，可見打印機噴頭末端的運動較為平穩(wěn)，能夠?qū)崿F(xiàn)較精確的打印效果.

圖5 速度、加速度驅(qū)動曲線Fig.5 Speed and acceleration curves of driven angle

圖6 末端速度、加速度曲線Fig.6 Speed and acceleration curves of terminal

5 結(jié) 語

本文基于Delta結(jié)構(gòu)設計了一款可實現(xiàn)持續(xù)進料、連續(xù)打印的陶瓷3D打印機，對陶瓷打印機的機體進行了運動學、速度和加速度分析，建立位置正逆解和速度、加速度方程，并結(jié)合具體參數(shù)進行算例仿真分析，驗證了運動學、速度和加速度數(shù)學模型的正確性.在本文設定的仿真條件下，打印終端在X、Y、Z 3個方向上的最大速度分別為 31、18、38 mm/s，在 X、Y、Z 3 個方向的最大加速度分別為30、45、45 mm/s2，并且在運動過程中速度、加速度沒有突變，實現(xiàn)了平穩(wěn)打印.

[1]周婧，段國林，盧林.陶瓷漿料微流擠壓成型關鍵問題研究[J].中國機械工程，2015，26（22）：3097-3101.ZHOU J，DUAN G L，LU L.The key problem research of ceramic slurry microflow extrusion[J].The Chinese Mechanical Engineering，2015，26（22）：3097-3101（in Chinese）.

[2]周婧，段國林，金星.義齒陶瓷漿料微流擠壓成型頭研究[J].機械設計，2016，33（2）：61-67.ZHOU J，DUAN G L，JIN X.The research of ceramic slurry microflow extrusion head[J].The Mechanical Design，2016，33（2）：61-67（in Chinese）.

[3]張利敏.基于動力學指標的Delta高速并聯(lián)機械手集成優(yōu)化設計方法研究[D].天津：天津大學，2011.ZHANG L M.Integrated optimization based on dynamic index of the Delta high-speed parallel manipulator design method research[D].Tianjin：Tianjin Universcity，2011（in Chinese）.

[4]梁香寧，牛志剛.三自由度Delta并聯(lián)機器人運動學分析及工作空間求解[J].太原理工大學學報，2008，39（1）：93-96.LIANG X N，NIU Z G.3-D of Delta parallel robot kinematics analysis and working space to solve[J].Journal of Taiyuan University of Technology，2008，39（1）：93-96（in Chinese）.

[5]趙杰，朱延河.Delta型并聯(lián)機器人運動學正解幾何法[J].哈爾濱工業(yè)大學學報，2003，35（1）：25-27.ZHAO J，ZHU Y H.Delta type parallel robot kinematics solution is geometric method[J].Journal of Harbin Institute of Technology University，2003，35（1）：25-27（in Chinese）.

[6]石志新，葉梅燕，毛志偉.5-5型并聯(lián)機器人位置正解的簡單算法[J].農(nóng)業(yè)機械學報，2016，47（3）：395-404.SHI Z X，YE M Y，MAO Z W.Simple algorithm of parallel robot position positive solutions[J].Journal of Agricultural Machinery，2016，47（3）：395-404（in Chinese）.

[7]丁承君，吳畏，朱智輝.陶瓷3D打印機噴頭結(jié)構(gòu)設計與仿真分析[J].天津工業(yè)大學學報，2017，36（4）：84-88.DING C J，WU W，ZHU Z H.Structure design and simulation analysis of ceramic 3D printer nozzle[J].Journal of Tianjin Polytechnic University，2017，36（4）：84-88（in Chinese）.

[8]WANG J S，LIU X J.Analysis of a novel cylindrical 3-DOF parallel robot[J].Robotics and Autonomous System，2003，42：31-46.

[9]楊延力，劉安心，羅玉峰.機器人機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設計[M].北京：科學出版社，2012.YANG Y L，LIU A X，LUO Y F.Robot Mechanism Topological Structure Design[M].Beijing：Science Press，2012（in Chinese）.

[10]李秦川.對稱少自由度并聯(lián)機器人型綜合理論及新機型綜合[D].秦皇島：燕山大學，2003.LI Q C.Symmetrical type less degrees of freedom parallel robot integrated theory and new models[D].Qinhuangdao：Yanshan University，2003（in Chinese）.

[11]趙鐵石，高英杰，楊鐵林.混合型四自由度并聯(lián)平臺機構(gòu)及其位置分析[J].光學精密工程，2009，8（1）：42-45.ZHAO T S，GAO Y J，YANG T L.Hybrid four DOF parallel platform mechanism and its location analysis [J].Optical Precision Engineering，2009，8（1）：42-45（in Chinese）.

[12]金瓊，楊延力，劉安心.基于單開鏈單元的三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機器人機構(gòu)型綜合及機構(gòu)分類[J].中國機械工程，2009，12（9）：1038-1043.JIN Q，YANG Y L，LIU A X.Based on single open chain unit of three translational one rotation parallel robot mechanism type comprehensive and classification[J].The Chinese Mechanical Engineering，2009，12（9）：1038-1043（in Chinese）.

[13]黃真，孔令福，方躍法.并聯(lián)機器人機構(gòu)學理論及控制[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.HUANG Z，KONG L F，F(xiàn)ANG Y F.Parallel Robot Mechanism Theory and Control[M].Beijing：Mechanical Industry Press，2007（in Chinese）.

[14]FENG G.Physical model of the solution space for 3-DOF parallel planar manipulations[J].Mechanisms and Machine Theory，2006，31（2）：161-171.

[15]CONTE J，SANTOLARIA J.Identification and kinematic calculation of laser tracker errors[J].Procedia Engineering，2013，63：379-387.

[16]LI J F，CHEN W H，LIU D Z.Inverse kinematic and dynamic analysis of a 3-DOF parallel mechanism[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2003（1）：54-58.

[17]MERLET J P.Parallel Robot[M].Netherlands：Springer，2006.

[18]HUANG T，LI M，ZHAO X M.Conceptual design and dimensional synthesis for a 3-DOF module of trivariant：A novel 5-DOF reconfigurable hybrid[J].IEEE Transactions on Robotics，2005，21（3）：449-456.