數(shù)學趣談—球面積公式的不同導出方法

馬曉悅

【摘要】 本文以古人利用求三角形面積導出圓面積公式，利用求梯形面積導出圓面積公式為引入，進一步將球面展開利用不同的方法導出球面積公式.

【關鍵詞】 三角形面積;梯形面積;圓面積;球面積

圓面積πr2，球面積4πr2，這些公式從何導出：

一、圓面積πr2如何導出

中國古代的數(shù)學家，用分割圓面積的方法導出了πr2.其過程是：將一個以2πr為周長的圓，通過圓心，以半徑r為腰，分割成n個微小的等腰三角形，利用三角形求面積的方法，得出微小的等腰三角形的面積，再乘原來分割的次數(shù)n，即得到圓的面積，其理由是：當圓周2πr的長度被分割的次數(shù)越多，則分割后的長度越短，當分割到其長度趨于0時，微小的等腰三角形中間的垂線，等于半徑r，這時? 2πr n ×r ÷2即為微小三角形的面積，再乘原來分割的次數(shù)，即為整個圓面積，這就是中國古人求圓面積的方法，其公式如下：

2πr n ×r ÷2×n= 2πr n × 1 2 r×n=2πr× 1 2 r=πr2.

以上是利用求三角形的面積的方法導出圓面積.也可以用求梯形面積的方法導出圓面積.如圖1所示.

設半徑為r，將圓周分為四等分，則圓周的長度為 2πr 4 ，梯形的上部分是圓心，其長度為0，底部分的長度為 2πr 4 ，計算公式為：

0+ 2πr 4? ÷2×r×4= 2πr 4 × 1 2 ×r×4=πr2.

如果把一個整圓分割一次，用求梯形面積的方法導出圓面積也是可行的：

設半徑為r，若圓為梯形，則圓心為上部分，其長度為0，底部分長度為2πr，其算式為：

（0+2πr）÷2×r=πr2.

我們的祖先，是用這個方法計算圓面積的，即用圓周長度的一半成以半徑求面積.

也可用積分法導出圓面積，用圓周的長度積分，其過程為：圓周長度為2πr，積分∫2πr=2π∫r=2π 1 2 r2=πr2

二、球面積4πr2如何導出

方法一：圓面積πr2可以用三角形面積和梯形面積的求法導出，還可以用積分和其他方法導出，球面積4πr2如何導出？因為它是球面，各處都是2πr，是曲線，找不到平面，不過從4πr2分析，也可以用四個πr2面積來求出.

用2πr× 1 2 r=πr2這個算式，可以寫成2r× 1 2 πr=πr2，它就變?yōu)?1 4 圓周的長度與直徑的乘積，也可以得出圓面積πr2（如圖2所示），這個公式把圓面積變?yōu)橐?r為底， 1 2 πr為邊的方形面積，圓變方.

用這個公式的變換，可以探索球面積的計算方法：我們把球四等分，先求 1 4 的球面積（如圖3所示），在這部分球面積上找一點為中心，從中心點往上，其圓周長度為 1 2 πr，往下也為 1 2 πr，從中心點的左到右也為 1 2 πr，球的半徑為r，就可以用2r× 1 2 πr=πr2，求出 1 4 的球面的面積，方法是以r為半徑，畫出球體的平面圓，而中間從左到右，都在平面圓以內，如果把 1 4 的球面，其上下突出于平面圓的部分分割開來，彌補球面中間不能覆蓋平面圓的部分，則 1 4 的球面就與平面圓面積相等，這樣 1 4 的球面積就可用平面圓的面積來計算，具體計算如下，先算 1 4 的球面的下半圓，將 1 4 的球面下端突出的部分，用r- 1 2 πr加到中間不能覆蓋平面圓的部分.

中間 1 4 球面的寬度為 1 2 πr，比平面圓的直徑2r短，如果用r+ 1 2 πr，則中間全覆蓋，但這部分是外加r后覆蓋的，應用 1 4 球面在下端突出的部分補償，于是下半 1 4 球面積的直徑= r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr ， 1 4 的球面積下半部分就完整了，其直徑為2r.

用數(shù)學推導可以證明：下半 1 4 球面突出平面圓的部分，其面積等于中間 1 4 球面未能覆蓋平面圓的部分面積，其值為0.2854r2， 1 4 球面積的上半部分也可用這觀念去分析，就是說 1 4 球面的面積，與r為半徑的平面圓的面積相等.

找到直徑2r，就可以引用2r× 1 2 πr的公式求 1 4 的球面積，其公式為：

1 2 πr×? r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr? = 1 2 πr×2r=πr2要得到整個球面積πr2×4=4πr2其總體表達式為：

4×? 1 2 πr×? r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr?? =4×

1 2 πr×2r=4πr2.

舉例：設r=3 cm，求以r為半徑的球面積：

4×? 1 2 π×3×? 3- 1 2 π×3 + 3+ 1 2 π×3

=4×4.7124×6

=113.0976 cm2.

用4πr2計算：

4×π×32=4×3.1416×9=113.0976 cm2.

方法二：直接用 1 4 球面積計算其面積，將面積分為上下兩部分，先算下面一部分，用等腰梯形面積和三角形面積相加如上圖，在平面圓以內看成是梯形面積，突出平面以下，看成是三角形的面積，如果兩者之和等于 1 2 πr2，就能算出整個 1 4 球面的面積為πr2.在平面圓內的梯形，其上邊為 1 2 πr，下邊為未知數(shù)，突出平面圓的三角形，其高為 1 2 πr-r，底邊為未知數(shù)，也就是球面突出于平面圓之處，球面兩邊連線的長度是多少？這個長度就是梯形的下邊，也是三角形的底邊，要先解決兩邊連線的長度，則梯形面積和三角形面積都可計算了.

我們用前面一致的三角形面積=0.2854r2，用這個數(shù)據(jù)反過來求三角形的底邊長度.

設三角形底邊長度為x，則：

1 2 πr-r ×x÷2=0.2854r2，

1 4 πrx- 1 2 rx=0.2854r2，rx? 1 4 π- 1 2? =0.2854r2，

rx0.2854=0.2854r2，

所以x=r，這就是梯形的下邊和三角形的底邊的長度均為r.現(xiàn)在推導 1 4 球面的面積：等腰梯形面積加上三角形面積

1 2 πr+r ÷2×r+? 1 2 πr-r ×r÷2

=? 1 4 πr+ r 2? ×r+? 1 2 πr-r × 1 2 r

= 1 4 πr2+ 1 2 r2+ 1 4 πr2- 1 2 r2

= 1 2 πr2，

即為 1 4 球面下半部分的面積， 1 4 球面的面積為2× 1 2 πr2=πr2，整個球面積：4×πr2=4πr2.

方法三：積分 1 4 球面的面積，將下端突出于平面圓的部分減去，即? 1 2 πr-r ，補償中間不能覆蓋平面圓的部分，同時，中間 1 4 球面，其寬度為 1 2 πr，小于平面圓的直徑2r，不能覆蓋平面圓，必須借外加r，即? 1 2 πr+r ，使之全覆蓋.

計算式為：? 1 2 πr-r +? 1 2 πr+r ，

積分∫?? 1 2 πr-r +? 1 2 πr+r

=∫ 1 2 πr-∫r+∫ 1 2 πr+∫r

= 1 2 π 1 2 r2- 1 2 r2+ 1 2 π 1 2 r2+ 1 2 r2

= 1 4 πr2+ 1 4 πr2

= 1 2 πr2，

即為 1 4 球面下半圓的面積，2× 1 2 πr2=πr2，即為 1 4 球面的面積，4πr2=球面積.