高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)第一站
——集合

北京市延慶區(qū)教育科學(xué)研究中心 牛旭明

集合作為高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容中的預(yù)備知識安排在起始課階段，是函數(shù)概念的基礎(chǔ)。集合作為一個不定義的抽象的數(shù)學(xué)概念，其實際背景是學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)和生活實踐中已經(jīng)具有的思考一類研究對象的觀念和經(jīng)驗，高中進(jìn)一步的學(xué)習(xí)只是將這一既有的觀念形式化、規(guī)范化，并用數(shù)學(xué)符號語言予以表征，特別是在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生對數(shù)與形的概念及相應(yīng)的集合已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，已經(jīng)初步具備了一般性思考數(shù)學(xué)問題的能力，在此基礎(chǔ)上給出集合概念及其符號表示不僅易于為學(xué)生所接受，而且經(jīng)過一定量的訓(xùn)練可以使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上熟練地使用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流。需要特別指出的是，高中數(shù)學(xué)課程僅把集合作為一種數(shù)學(xué)語言來學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)被看做是最基本的要求，用集合語言能更簡潔、更準(zhǔn)確地表達(dá)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，集合作為最基礎(chǔ)最通用的數(shù)學(xué)語言將貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。

作為高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的第一站，在集合教學(xué)中應(yīng)當(dāng)更加關(guān)注的是在集合知識的教學(xué)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育. 首先，在集合的表示法中，列舉法和描述法作為數(shù)學(xué)表達(dá)的兩種基本形式，既相互對立，又相輔相成，用列舉法表示集合可以得到對集合中元素個性特點的直接的、清晰的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步抽象概括出集合中元素的特征性質(zhì)；用描述法表示集合可更加突顯集合中元素的公共屬性，也可通過列舉其中的特殊元素從而對集合中元素的公共屬性有更加具體的認(rèn)識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 當(dāng)然，集合知識所承載的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)絕不僅限于數(shù)學(xué)抽象，元素與集合間的屬于關(guān)系的實質(zhì)是個體與整體間的關(guān)系，其本質(zhì)是基于概念基礎(chǔ)上的判斷，是推理的初級階段；而兩個集合間的包含關(guān)系的判斷與證明則是基于概念基礎(chǔ)上的兩類事物間邏輯關(guān)系的判斷與推理，是邏輯思維的基本內(nèi)容；在集合概念及包含關(guān)系基礎(chǔ)上進(jìn)一步建立的集合的交、并、補運算作為數(shù)學(xué)運算的新內(nèi)容、新形式，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，也蘊含著邏輯推理的基本成分，既是學(xué)生既往邏輯思維的抽象表達(dá)，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)邏輯思維的基礎(chǔ)和前提；維恩圖是對集合概念的最形象的表示，可以直觀地描述集合問題，建立集合問題的幾何模型，借助于維恩圖可以直觀清晰地把握事物間邏輯關(guān)系，探索解決問題的思路，體現(xiàn)直觀想象的核心素養(yǎng)。

應(yīng)用集合知識解決數(shù)學(xué)問題，首先要準(zhǔn)確理解集合語言的含義，通過數(shù)學(xué)抽象認(rèn)識一般的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，通過邏輯推理推斷或推證事物間的邏輯聯(lián)系，通過分類或分步把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，通過數(shù)學(xué)運算或圖形直觀求得問題的解，數(shù)學(xué)問題的解決不僅能夠起到鞏固知識的效果，而且能夠提高學(xué)生分析和解決問題的能力，使學(xué)生勤于思考、勇于探究、善于反思，做到邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、表達(dá)清晰、思考有條理，促進(jìn)思維能力和品質(zhì)的提升，現(xiàn)舉例如下：

例1. 證明集合運算的性質(zhì)：若則反之也成立。

證明：對于集合A中的任意的一個元素x，

∵

∴

反之，

∴A與B的公共元素組成的集合等于集合A,

∴

說明：此性質(zhì)的證明不應(yīng)停留在學(xué)生的感覺層面，僅憑維恩圖給出直觀說明是不夠的，利用圖形可直觀感知事物的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，是邏輯思維的前提，但維恩圖不能代替從概念出發(fā)的嚴(yán)格的邏輯推理過程及相應(yīng)的思維訓(xùn)練，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生回到子集和交集概念的層面來分析思考，探尋解決問題的思路，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，培育理性精神。

例2. 已知集合求x.

證明：∵

① 若此時題設(shè)成立，

② 若則x=0，或x=1，

當(dāng)x=0時，題設(shè)成立，

而當(dāng)x=1時，與集合中元素的互異性相矛盾，

綜上可知：或x=0.

說明：教師不應(yīng)只關(guān)注結(jié)論是否正確，更應(yīng)關(guān)注解題思路，特別是在用集合語言表達(dá)解題過程時要做到邏輯清晰、準(zhǔn)確簡潔。

例3.設(shè)是矩形}，是菱形}，求

解：設(shè)則

∵∴x是菱形，即x是四條邊相等的平行四邊形，

∴x是四個內(nèi)角都等于直角且四邊都相等的平行四邊形，

∴x是正方形，

∴是正方形}.

說明：此題是在既往概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，從集合中元素的特征性質(zhì)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理得出兩個集合交集的運算結(jié)果，并用符號語言予以表達(dá)，體現(xiàn)嚴(yán)格的邏輯推理過程，還需指出的是，邏輯表達(dá)中的“且、或、非”在日常交流中早已為學(xué)生所熟悉，應(yīng)大膽使用，無需回避。

例4.已知集合

（1）若求a的取值范圍；（2）若求a的取值范圍。

分析：集合B中的字母a相對于代表元素x來說是一個未給定數(shù)值的常數(shù)，它的值有多種可能性，當(dāng)a的值確定時，集合B中的元素也隨之確定；特別地，當(dāng)a=0時，此時，成立，而不成立，可推廣到時的所有情況；當(dāng)a=3時，此時，成立，而不成立，可推廣到時的所有情況；當(dāng)時，此時均不成立，可推廣到時的所有情況。

解：當(dāng)時，成立，不成立；當(dāng)時，成立，不成立；當(dāng)時，均不成立。

∴（1）若a的取值范圍是（2）若a的取值范圍是

說明：此題的難點在于對集合中參數(shù)a的性質(zhì)a及x與的關(guān)系的認(rèn)識，要使學(xué)生認(rèn)識到a相對于代表元素x來說是一個未給定數(shù)值的常數(shù)，它的值有多種可能性，而a的值一經(jīng)確定后，集合B中的元素隨之確定. 為克服抽象性帶來的學(xué)習(xí)困難，應(yīng)當(dāng)借助于特例來理解數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生從選取a的特殊值出發(fā)，代入后利用數(shù)軸直觀判斷題設(shè)條件是否成立，進(jìn)而推廣到一般情形，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，可以簡捷準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，通過集合知識的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握必要的基本知識，理解集合語言的意義，會用集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，為今后進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。同時，在集合知識的教學(xué)中，要注重學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)的培育，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的意識，要結(jié)合特定的教學(xué)任務(wù)，思考相應(yīng)素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點、生長點，研究其融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的具體方式及載體，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育貫穿于教學(xué)活動的全過程。