轉(zhuǎn)子式機(jī)油泵的橢圓與類(lèi)橢圓齒廓修形方案分析

霍鵬光 龔金科 蔡 皓

1.湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，4100822.湖南省機(jī)油泵股份有限公司，衡東,421400

0 引言

機(jī)油泵內(nèi)外轉(zhuǎn)子在運(yùn)轉(zhuǎn)嚙合時(shí)，內(nèi)外轉(zhuǎn)子的齒廓線形不僅影響機(jī)油泵工作運(yùn)轉(zhuǎn)的嚙合平穩(wěn)性，而且對(duì)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的嚙合連續(xù)性有很大影響，進(jìn)而影響機(jī)油泵的整體性能，因此，進(jìn)行轉(zhuǎn)子式機(jī)油泵的齒廓線形的優(yōu)化設(shè)計(jì)顯得尤為重要。國(guó)內(nèi)學(xué)者宋如鋼等[1]對(duì)一種新型的內(nèi)嚙合圓弧擺線轉(zhuǎn)子泵進(jìn)行了研究，并改善了普通轉(zhuǎn)子泵的嚙合特性；黃將興等[2]對(duì)擺線齒廓嚙合界限點(diǎn)的二次包絡(luò)曲線進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)；毛永華等[3]提出了轉(zhuǎn)子泵各設(shè)計(jì)參數(shù)的確定原則，并分析了內(nèi)外轉(zhuǎn)子的相互關(guān)系；曾慶生等[4]對(duì)轉(zhuǎn)子式機(jī)油泵進(jìn)行了多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)。國(guó)外學(xué)者JUNG等[5-7]對(duì)機(jī)油泵的齒廓線形進(jìn)行了大量研究，提出了圓弧-橢圓復(fù)合擺線以及新型凸輪齒廓等；CHOI等[8]在內(nèi)外轉(zhuǎn)子的偏心研究中提出在內(nèi)擺線和外擺線之間插入一段圓弧曲線，用來(lái)控制內(nèi)轉(zhuǎn)子的尖端寬度以提高泵運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的流動(dòng)性；BAE等[9]采用理論公式預(yù)測(cè)算法對(duì)50萬(wàn)種轉(zhuǎn)子線型進(jìn)行了分析，采用自動(dòng)設(shè)計(jì)和多重計(jì)算程序確定了轉(zhuǎn)子線型設(shè)計(jì)參數(shù)的最佳取值范圍，提高了油泵燃油效率；INAGUMA[10]研究了外轉(zhuǎn)子摩擦力對(duì)內(nèi)嚙合齒輪泵摩擦力矩特性的影響，研究表明作用在外轉(zhuǎn)子圓周上的不平衡力引起油泵產(chǎn)生較大的扭矩，可通過(guò)在外轉(zhuǎn)子圓周上設(shè)置一個(gè)卸荷槽以減小不平衡力，通過(guò)計(jì)算出的壓力分布結(jié)果，可估計(jì)出外轉(zhuǎn)子與泵體之間的摩擦因數(shù)。

由于尺寸的限制，現(xiàn)有轉(zhuǎn)子線型很難滿足性能(特別是低速性能)的需求。為了增大轉(zhuǎn)子式機(jī)油泵在低速時(shí)的流量，本文研究了一種新型轉(zhuǎn)子線型方程及其相應(yīng)的修形方法，并在流量性能、液力矩與接觸力方面與原橢圓線型進(jìn)行了比較。

1 類(lèi)橢圓齒廓設(shè)計(jì)

類(lèi)橢圓外轉(zhuǎn)子的每半個(gè)齒的齒廓由一段類(lèi)橢圓弧、一段齒底圓弧以及與類(lèi)橢圓弧和齒底圓弧同時(shí)相切的圓弧倒角組成。類(lèi)橢圓弧的橢圓率隨齒廓角呈平方根遞增。內(nèi)轉(zhuǎn)子的每個(gè)齒的齒廓為外轉(zhuǎn)子類(lèi)橢圓段齒廓的共軛曲線，內(nèi)外轉(zhuǎn)子的每對(duì)齒在嚙合過(guò)程中均參與嚙合，且嚙合線封閉。圖1和圖2分別為類(lèi)橢圓齒廓設(shè)計(jì)和計(jì)算參數(shù)示意圖。

圖1 類(lèi)橢圓齒廓設(shè)計(jì)參數(shù)關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of the design parameters of similar elliptical tooth profile

圖2 類(lèi)橢圓外轉(zhuǎn)子理論齒廓計(jì)算參數(shù)示意圖Fig.2 Schematic diagram of calculation parameters of similar elliptical outer rotor theoretical tooth profile

1.1 確定外轉(zhuǎn)子類(lèi)橢圓理論齒廓

以具有相同基本設(shè)計(jì)參數(shù)的橢圓外轉(zhuǎn)子的一個(gè)齒廓中心OT為類(lèi)橢圓外轉(zhuǎn)子的齒廓中心，構(gòu)造其理論齒廓，在以外轉(zhuǎn)子中心O1為圓心，固連在外轉(zhuǎn)子上的直角坐標(biāo)系O1x1y1內(nèi)，類(lèi)橢圓外轉(zhuǎn)子的齒廓方程為

(1)

a0=b+(a-b)(π/2)-1/2α1/2

(2)

式中，a、b分別為原橢圓齒廓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)；R1為齒廓中心OT到外轉(zhuǎn)子中心O1的距離；α為過(guò)外轉(zhuǎn)子理論齒廓上任意點(diǎn)與齒廓中心OT的連線與y1軸的夾角；a0為與齒廓角α有關(guān)的系數(shù)，當(dāng)α從0→π/2時(shí)，a0從b按平方根增至a。

確定外轉(zhuǎn)子類(lèi)橢圓理論齒廓嚙合界限角與類(lèi)橢圓-圓弧倒角切點(diǎn)角，并由此構(gòu)造外轉(zhuǎn)子實(shí)際齒廓。外轉(zhuǎn)子理論齒廓上過(guò)任意點(diǎn)的切線與x1軸的夾角γ為

(3)

當(dāng)過(guò)類(lèi)橢圓外轉(zhuǎn)子齒廓上某點(diǎn)的法線與外轉(zhuǎn)子節(jié)圓的交點(diǎn)數(shù)目為1時(shí)，外轉(zhuǎn)子圓心到該線的距離等于外轉(zhuǎn)子節(jié)圓半徑，其表達(dá)式如下：

x1cosγ+y1sinγ=r1

(4)

式中，r1為外轉(zhuǎn)子節(jié)圓半徑。

聯(lián)立式(3)、式(4)，可求得齒廓角α，即為類(lèi)橢圓齒廓外轉(zhuǎn)子嚙合界限角αf。

坐標(biāo)系O1x1y1內(nèi)圓弧倒角與齒底圓的齒廓方程表達(dá)式分別如下：

(5)

(6)

式中，β為圓弧倒角任意點(diǎn)與圓弧倒角中心Oc的連線與x1負(fù)半軸之間的夾角;rd為圓弧倒角半徑;xOc、yOc為圓弧倒角中心點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；r1b為外轉(zhuǎn)子齒底圓半徑；θ為齒底圓上任意點(diǎn)與外轉(zhuǎn)子中心的連線與y1軸之間的夾角。

圓弧倒角段中兩個(gè)特殊的角度關(guān)系表達(dá)式分別如下：

βd=cot tanγd

(7)

βc=θc+π/2

(8)

式中，βd為與類(lèi)橢圓段相切的圓弧倒角起點(diǎn)與圓弧倒角中心的連線與x1軸之間的夾角;γd為過(guò)外轉(zhuǎn)子理論齒廓上對(duì)應(yīng)類(lèi)橢圓-圓弧倒角切點(diǎn)角αd的點(diǎn)的切線與x1軸的夾角;βc為與齒底圓弧相切的圓弧倒角終點(diǎn)與圓弧倒角中心的連線與x1軸的夾角;θc為與圓弧倒角段相切的齒底圓起點(diǎn)與外轉(zhuǎn)子中心的連線與y1軸之間的夾角。

將式(7)代入式(3)和式(5)，求得xOc、yOc用αd表示的解析表達(dá)式。將得到的xOc、yOc以及式(8)代入式(5)、式(6)中，分別得到x1、y1用αd表示的θc。當(dāng)兩θc相等時(shí)，此時(shí)表達(dá)式即可求得內(nèi)類(lèi)橢圓-圓弧倒角切點(diǎn)角αd。比較αf與αd，僅當(dāng)αd≥αf時(shí)才能生成正確的齒廓，根據(jù)計(jì)算得到的αf與αd，進(jìn)而計(jì)算得到相應(yīng)的βd、βd與θc，由此生成外轉(zhuǎn)子的實(shí)際齒廓。

1.2 確定內(nèi)轉(zhuǎn)子類(lèi)橢圓理論齒廓

內(nèi)轉(zhuǎn)子齒廓為外轉(zhuǎn)子理論齒廓在0≤α≤αf范圍內(nèi)的共軛曲線。在以內(nèi)轉(zhuǎn)子中心O2為圓心，固連在內(nèi)轉(zhuǎn)子上的直角坐標(biāo)系O2x2y2內(nèi)，可得到內(nèi)轉(zhuǎn)子齒廓的相關(guān)表達(dá)式如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，φ1為過(guò)外轉(zhuǎn)子任意點(diǎn)上法線與外轉(zhuǎn)子節(jié)圓的交點(diǎn)與外轉(zhuǎn)子中心的連線與y1軸的夾角，同時(shí)也為外轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角;φ2為內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角;z1為外轉(zhuǎn)子齒數(shù);z2為內(nèi)轉(zhuǎn)子齒數(shù);ψ為φ1與γ之間的夾角;e為偏心距。

2 修形方案

不考慮公差時(shí)，現(xiàn)有Cummins6B泵外轉(zhuǎn)子齒底圓半徑Rb為64.38/2=32.19 mm。橢圓齒廓中心到外轉(zhuǎn)子中心距離為齒頂圓半徑與橢圓齒廓短半軸之和42.383/2+21.89/2=32.136 5 mm。內(nèi)轉(zhuǎn)子齒頂半徑為53.288/2=26.644 mm。按偏心距為5.529 mm計(jì)算，以外轉(zhuǎn)子圓心為原點(diǎn)，當(dāng)內(nèi)外轉(zhuǎn)子任意一對(duì)齒位于y軸位置時(shí)完全嚙合，則此時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)子齒頂縱坐標(biāo)為26.644+5.529=32.173 mm，其值大于此時(shí)外轉(zhuǎn)子齒底圓半徑縱坐標(biāo)32.136 5 mm，因此，即使考慮了公差，也有很大的幾率造成無(wú)法安裝。

現(xiàn)有的Cummins 6B泵內(nèi)轉(zhuǎn)子齒廓為橢圓弧，并非外轉(zhuǎn)子橢圓弧的共軛曲線。此設(shè)計(jì)的弊端在于由于旋轉(zhuǎn)時(shí)內(nèi)外轉(zhuǎn)子的非共軛性，機(jī)油泵運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)性降低，振動(dòng)增大?，F(xiàn)根據(jù)相關(guān)計(jì)算，得到外轉(zhuǎn)子齒廓橢圓段共軛曲線的內(nèi)轉(zhuǎn)子齒頂半徑約為26.720 5 mm，則外轉(zhuǎn)子齒底圓半徑Rb更改為26.720 5+5.529=32.249 5 mm，不影響轉(zhuǎn)子的正常嚙合。

由于線切割加工精度為0.02 mm，則預(yù)設(shè)定內(nèi)轉(zhuǎn)子最小修形量為0.02 mm。隨著轉(zhuǎn)角量的增大，間隙也增大。為了避免嚴(yán)重內(nèi)泄，目前研究的轉(zhuǎn)角量設(shè)為0.1°與0.2°。初步研究以下4種修形方案：①方案1(等距修形0.02 mm)；②方案2(等距修形0.04 mm)；③方案3(轉(zhuǎn)角修形0.1°+齒頂齒底等距修形0.02 mm)；④方案4(轉(zhuǎn)角修形0.2°+齒頂齒底等距修形0.04 mm)。

由于要求機(jī)油泵流量不能減小，根據(jù)以前相關(guān)研究結(jié)果，預(yù)研究外轉(zhuǎn)子理論齒廓線形為橢圓與類(lèi)橢圓，因欠缺包含詳細(xì)線形的現(xiàn)有轉(zhuǎn)子三維模型，本文未對(duì)現(xiàn)有產(chǎn)品線型進(jìn)行研究。圖3所示為橢圓齒廊與類(lèi)橢圓齒廊對(duì)比。

(a)橢圓 (b)類(lèi)橢圓圖3 橢圓齒廓與類(lèi)橢圓齒廓對(duì)比Fig.3 Comparison of elliptical tooth profile and elliptical tooth profile

(1)橢圓齒廓。內(nèi)轉(zhuǎn)子采用方案3修形后，共軛部分對(duì)應(yīng)內(nèi)轉(zhuǎn)子理論齒廓極角為24.181 72°～40.445 85°，連續(xù)旋轉(zhuǎn)角度為130.647 74°-13.089 63°≈117.56°>72°，滿足連續(xù)傳動(dòng)要求；內(nèi)轉(zhuǎn)子采用方案4修形后共軛部分對(duì)應(yīng)內(nèi)轉(zhuǎn)子理論齒廓極角為24.177 96°～40.446 89°，連續(xù)旋轉(zhuǎn)角度為130.659 14°-13.086 61°≈117.57°>72°，也滿足連續(xù)傳動(dòng)要求。具體修形量如圖4a所示。

(2)類(lèi)橢圓齒廓。內(nèi)轉(zhuǎn)子采用方案3修形后，共軛部分對(duì)應(yīng)內(nèi)轉(zhuǎn)子理論齒廓極角為21.728 73°～38.160 08°，連續(xù)旋轉(zhuǎn)角度為132.266°-10.931 05°≈121.33°>72°，滿足連續(xù)傳動(dòng)要求；內(nèi)轉(zhuǎn)子采用方案4修形后，共軛部分對(duì)應(yīng)內(nèi)轉(zhuǎn)子理論齒廓極角為21.725 16°～38.160 91°，連續(xù)旋轉(zhuǎn)角度為132.276 22°-10.928 13°≈121.35°>72°，也滿足連續(xù)傳動(dòng)要求。具體修形量如圖4b所示。

(a)橢圓

(b)類(lèi)橢圓圖4 齒廓修形方案Fig.4 Tooth profile modification scheme

3 流量性能分析

基于PUMPLINX專(zhuān)業(yè)泵閥軟件平臺(tái)進(jìn)行機(jī)油泵CFD仿真預(yù)測(cè)，PUMPLINX流體域二叉樹(shù)網(wǎng)格如圖5所示。采用PUMPLINX自帶的擺線內(nèi)齒輪泵的模型，設(shè)置模型參數(shù)見(jiàn)表1。添加湍流模型、空化模型以及流線，并進(jìn)行仿真預(yù)測(cè)。圖6為殘差收斂時(shí)流動(dòng)壓力云圖。

PUMPLINX模型參數(shù)內(nèi)齒輪數(shù)4外齒輪數(shù)5旋轉(zhuǎn)方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速(rad/min)750旋轉(zhuǎn)軸(m)(0,0,1)端面間隙(m)5×10-5間距內(nèi)徑(m)0.0079間距外徑(m)0.0357內(nèi)轉(zhuǎn)子中心(m)(0,0,0)外轉(zhuǎn)子中心(m)(0,-0.00552,0)間距層數(shù)5外轉(zhuǎn)子徑向間隙(m)1×10-6內(nèi)轉(zhuǎn)子徑向間隙(m)0機(jī)油密度(kg/m3)790動(dòng)力黏度(N·s/m2)0.00051入口壓力(Pa)91325出口壓力(Pa)401325工作溫度(K)373飽和壓力(Pa)400氣體質(zhì)量分?jǐn)?shù)9×10-5每轉(zhuǎn)一個(gè)內(nèi)齒迭代步數(shù)80

圖6 流動(dòng)壓力云圖Fig.6 Flow pressure cloud image

旋轉(zhuǎn)圈數(shù)為5圈，不考慮泄漏，不同方案得到的平均流量的仿真結(jié)果如表2所示。由表2可以看出：①具有較小間隙修形方案的轉(zhuǎn)子泵流量較大;②相同修形方案的前提條件下，類(lèi)橢圓齒廓轉(zhuǎn)子泵流量大于橢圓齒廓轉(zhuǎn)子;③等距修形方案的流量大于具有相同最小間隙的轉(zhuǎn)角修形+齒頂齒底等距修形方案4的流量，即方案1流量大于方案3流量，方案2流量大于方案4流量；當(dāng)轉(zhuǎn)角修形量為0.1°時(shí)，轉(zhuǎn)角量對(duì)流量的影響不明顯。

表2 平均流量仿真Tab.2 Average flow simulation L/min

圖7所示為流量穩(wěn)定后內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)第5圈瞬時(shí)的流量。

(a)橢圓

(b)類(lèi)橢圓圖7 瞬時(shí)流量Fig.7 Instantaneous flow

由表3可以推斷，在滿足流量性能的前提下，

表3 流量不均勻性

可從流量不均勻性考慮：①修形方式對(duì)橢圓齒廓與類(lèi)橢圓齒廓的影響各不相同。采用等距修形時(shí)，較大的修形量會(huì)改善橢圓齒廓流量的不均勻性(亦或仿真精度導(dǎo)致)；其余情況均表示較小的修形量會(huì)改善流量的不均勻性。②采用相同修形方式時(shí)，類(lèi)橢圓齒廓流量的均勻性優(yōu)于橢圓齒廓。

4 液力矩分析

不同方案流量穩(wěn)定后內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)第5圈時(shí)，內(nèi)轉(zhuǎn)子上的液力矩如圖8所示。與內(nèi)轉(zhuǎn)子液力矩相關(guān)的內(nèi)轉(zhuǎn)子平均液力功率如表4所示。

(a)橢圓

(b)類(lèi)橢圓圖8 內(nèi)轉(zhuǎn)子液力矩Fig.8 Inner rotor hydraulic torque

W

由圖8與表4可以看出：①內(nèi)轉(zhuǎn)子液力矩在內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)一直起阻礙作用；②方案4的內(nèi)轉(zhuǎn)子上的液力矩較平緩，其最大扭矩也較??；③不同修形方案對(duì)不同齒廓的影響均不相同，需用臺(tái)架實(shí)驗(yàn)進(jìn)行確定。總體而言，采用較大的修形量會(huì)稍微降低內(nèi)轉(zhuǎn)子上的液力矩。

(a)橢圓

(b)類(lèi)橢圓圖9 外轉(zhuǎn)子液力矩Fig.9 External rotor hydraulic torque

不同方案流量穩(wěn)定后內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)第5圈時(shí)，外轉(zhuǎn)子上的液力矩如圖9所示。由圖9可以看出：①外轉(zhuǎn)子上的液力矩大多數(shù)時(shí)候起阻礙作用，但有時(shí)會(huì)起到推動(dòng)外轉(zhuǎn)子的作用；②方案3、4的扭矩曲線較為平緩；③橢圓與類(lèi)橢圓齒廓數(shù)據(jù)相差不大，類(lèi)橢圓齒廓外轉(zhuǎn)子上的最大負(fù)液力矩大于橢圓齒廓。

5 多體動(dòng)力學(xué)分析

采用ADAMS模擬僅考慮內(nèi)外轉(zhuǎn)子嚙合時(shí)的多體動(dòng)力學(xué)，邊界條件為內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為750 r/min，加載上述內(nèi)容中已得到的內(nèi)外轉(zhuǎn)子上的扭矩，設(shè)置ADAMS仿真迭代步為10 000。

5.1 接觸力分析

圖10所示為得到不同齒廓內(nèi)轉(zhuǎn)子上的接觸力。由圖10a可以看出，橢圓齒廓采用方案1修形時(shí)，其接觸力峰值較大；方案2的前3個(gè)接觸力峰值較小，僅第四個(gè)峰值略高；方案3僅次于方案2；方案4的接觸力峰值差異較小。由圖10b可以

(a)橢圓

(b)類(lèi)橢圓圖10 不同齒廓內(nèi)轉(zhuǎn)子接觸力Fig.10 Contact force of rotor in different profile

看出，類(lèi)橢圓齒廓采用方案1修形時(shí)，峰值較低，且差異較?。环桨?的應(yīng)力峰值略高于方案1，分布亦較平均；方案3的前三個(gè)接觸力峰值小于方案1，僅第四個(gè)峰值略高；方案4的接觸力峰值最高，相互之間差異不大。

圖11所示為相同方案內(nèi)轉(zhuǎn)子上接觸力。由圖11可以看出，類(lèi)橢圓齒廓內(nèi)轉(zhuǎn)子接觸應(yīng)力小于橢圓齒廊的內(nèi)轉(zhuǎn)子接觸應(yīng)力，且峰值間差異較小。內(nèi)轉(zhuǎn)子軸心處扭矩主要受接觸力的影響，液力矩的影響幾乎可忽略，趨勢(shì)與圖10、圖11類(lèi)似，此處不做進(jìn)一步研究。

(a)方案1

(b)方案2

(c)方案3

(d)方案4圖11 相同方案內(nèi)轉(zhuǎn)子接觸力比較Fig.11 Comparison of rotor contact force in the same scheme

5.2 外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速分析

(a)橢圓

(b)類(lèi)橢圓圖12 不同齒廓外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比較Fig.12 Comparison of rotor speed with different profile

圖12所示為不同齒廓外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。由圖12可以看出：①隨著修形量的增加，外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的波動(dòng)加劇，由于方案1的修形量很小，其對(duì)外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速波動(dòng)的影響也較小；②采用轉(zhuǎn)角修形+等距修形的方案3與方案4，其在轉(zhuǎn)角修形處的轉(zhuǎn)速波動(dòng)與方案1接近。

6 結(jié)論

(1)采用相同修形方法時(shí)，類(lèi)橢圓齒廓轉(zhuǎn)子泵與橢圓齒廓轉(zhuǎn)子泵相比，流量較大、內(nèi)轉(zhuǎn)子上的液力矩與接觸力較小，轉(zhuǎn)速波動(dòng)相差不大，有利于提升流量性能與降低能耗。

(2)采用不同修形方法的結(jié)果表明，修形量較小時(shí)轉(zhuǎn)子泵流量較大，此時(shí)采用“轉(zhuǎn)角修形+等距修形”可適當(dāng)降低內(nèi)轉(zhuǎn)子接觸力與液力矩，同時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)速波動(dòng)影響不大。

(3)由于現(xiàn)有產(chǎn)品的內(nèi)轉(zhuǎn)子線形為橢圓而非外轉(zhuǎn)子橢圓線形的共軛曲線，建議在加工精度允許的情況下，優(yōu)先進(jìn)行采用方案1與方案3修形的橢圓齒廓與類(lèi)橢圓齒廓轉(zhuǎn)子泵臺(tái)架實(shí)驗(yàn)。

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