浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu)及其尺寸綜合的正-逆映射求交方法

范 武 林夢(mèng)杰 李延平 常 勇,2

1.集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院,廈門,3610212.集美大學(xué)工程訓(xùn)練中心,廈門,361021

0 引言

本文第四作者等[1]于2010年提出了浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)Ⅰ類、Ⅱ類綜合問題及其準(zhǔn)確描述，通過(guò)引入浮動(dòng)數(shù)軸、瞬時(shí)/整程區(qū)間套等概念，得到了解存在性、存在特征的一整套解析公式，解決了浮動(dòng)滾子推桿力鎖合盤形凸輪機(jī)構(gòu)的第Ⅱ類尺寸綜合問題，之后，考慮到形鎖合機(jī)構(gòu)綜合的復(fù)雜性和特殊性，于2012年引入往程/返程和向徑標(biāo)刻線等概念，揭示了形鎖合機(jī)構(gòu)在綜合路徑、方法步驟等方面的顯著差異，解決了浮動(dòng)滾子推桿形鎖合盤形凸輪機(jī)構(gòu)的第Ⅱ類尺寸綜合問題[2]。在文獻(xiàn)[1-2]研究成果的基礎(chǔ)上，又通過(guò)引入浮動(dòng)坐標(biāo)系、瞬時(shí)/整程選擇區(qū)域和最經(jīng)濟(jì)搜索帶域等概念，采用離散降維快速求解方法，解決了浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)的廣義第Ⅱ類尺寸綜合問題[3]。

與力鎖合凸輪機(jī)構(gòu)[4-6]相比,形鎖合凸輪機(jī)構(gòu)[7]具有運(yùn)動(dòng)精度高、抗沖擊能力強(qiáng)、壽命長(zhǎng)和適用于高速等優(yōu)點(diǎn)，在內(nèi)燃機(jī)、紡織、印刷、包裝和農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[8-9]。探索與拓展形鎖合凸輪機(jī)構(gòu)可能的構(gòu)型空間并解決尺寸綜合問題[8-9]，具有重要意義。

較之共軛、槽道凸輪機(jī)構(gòu)，等徑凸輪機(jī)構(gòu)求解困難，具有如下形態(tài)特征：主/副滾子中心C、C′和凸輪軸心O1三點(diǎn)共線，位于連桿方位線O1O2上。

能否跳脫和突破等徑凸輪機(jī)構(gòu)“三點(diǎn)共線”傳統(tǒng)限定條件，提出形鎖合機(jī)構(gòu)的新構(gòu)型？若能，在尺寸綜合方面可否獲得正面收益？針對(duì)上述問題，筆者開展了相關(guān)研究，并由此提出了等跨凸輪機(jī)構(gòu)的新構(gòu)型。

1 等跨凸輪機(jī)構(gòu)的形態(tài)特征及其尺寸綜合

問題的準(zhǔn)確描述

圖1 等跨凸輪機(jī)構(gòu)Fig.1 Equal-span cam mechanism

圖2 諸運(yùn)動(dòng)角、休止角的牽連關(guān)系Fig.2 The implicated relations between the angles of motion and repose

值得指出：上述①～③，亦是等跨凸輪機(jī)構(gòu)成立的充要條件。

往程中，凸輪主輪廓段作用于主滾子驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，凸輪副輪廓段接觸副滾子起鎖合作用。返程中，則反之。

浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu)尺寸綜合問題的準(zhǔn)確表述如下。

已知：機(jī)架、搖桿長(zhǎng)度l0、l5，搖桿往程始/終位置O20A、O2mA，初位角θ50，行程角βm，往程運(yùn)動(dòng)規(guī)律β=β(θ1)(θ1為凸輪轉(zhuǎn)角)，往程運(yùn)動(dòng)角Ф0，推程許用壓力角[α]，凸輪、搖塊和機(jī)架在O1點(diǎn)復(fù)合鉸接。

求解：整程滿足壓力角α≤[α]和條件①～③的C、C′解集，r0許用取值范圍(r0為凸輪基圓半徑)，最優(yōu)尺寸解等。

浮動(dòng)滾子推桿等徑凸輪機(jī)構(gòu)[2](圖3)滿足條件①～③，不過(guò)uC=-uC′=0。

圖3 等徑凸輪機(jī)構(gòu)Fig.3 Yoke radial cam mechanism

2 固定/浮動(dòng)坐標(biāo)系和解析公式

2.1 固定坐標(biāo)系和解析公式

建立固定坐標(biāo)系O1xy(圖1)。連桿2往程(返程)的時(shí)變長(zhǎng)度和類角速度

s2(r)=s2(r)(θ1)=(l02+l52+2l0l5cos(θ50-β(r)))1/2

(1)

θ2(r)=arctan(l5sin(θ50-β(r))/(l0+l5cos(θ50-β(r))))

(2)

dθ2(r)/dθ1=-l5(dβ(r)/dθ1)(l5+l0cos(θ50-β(r)))/

(3)

絕對(duì)瞬心P20(r)、相對(duì)瞬心P21(r)往程(返程)坐標(biāo)

(4)

(5)

式(5)中，“±”的“+”對(duì)應(yīng)同擺式機(jī)構(gòu)，“-”對(duì)應(yīng)異擺式機(jī)構(gòu)。

P20(r)、P21(r)至P10(O1)的距離

(6)

后文中，簡(jiǎn)記lP10P20(r)、lP10P21(r)為l20(r)和l21(r)。

2.2 浮動(dòng)坐標(biāo)系的概念

浮動(dòng)坐標(biāo)系(圖1)為固連于連桿平面Σ2、以O(shè)2為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系O2uv[3]。

2.3 往程/返程的前半?yún)^(qū)段、后半?yún)^(qū)段劃分[2]

往程：搖桿5的行程O20A→O2mA。前半?yún)^(qū)段O20A→O2bA；后半?yún)^(qū)段O2bA→O2mA。

返程：搖桿5的行程O2mA→O20A。前半?yún)^(qū)段O2mA→O2bA；后半?yún)^(qū)段O2bA→O20A。

O2bO1⊥O2bA，即

(7)

3 等跨凸輪機(jī)構(gòu)的特征牽連關(guān)系

3.1 主/副滾子間的分布規(guī)律特征

(8)

據(jù)式(8)和條件③，得

s20-vC=vC′-s2m

(9)

即

vC′=s20+s2m-vC

圖4 主/副滾子間的分布規(guī)律特征Fig.4 The distribution characteristics of main roller and auxiliary roller

C和C′的u向跨距、v向跨距分別為

(10)

據(jù)式(9)、式(10)得到：C(uC,vC)一旦選定，Lu、Lv和C′(uC′,vC′)隨之確定，皆為定值。

3.2 諸運(yùn)動(dòng)角、休止角的牽連關(guān)系

(11)

(12)

(13)

據(jù)式(12)得到：Ф0+Фs為定值，與C、C′位置選取無(wú)關(guān)。

搖桿位移規(guī)律：可自由任意選取范圍θ1∈[0, Ф0+Фs]；而余下θ1∈(Ф0+Фs, 360°]，須依據(jù)等跨機(jī)構(gòu)條件①～③確定。

(14)

式(12)和式(14)中，“+”、“-”分別對(duì)應(yīng)凸輪順時(shí)針、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)情況。

3.3 搖桿返程位移規(guī)律

圖5 搖桿返程位移規(guī)律Fig.5 Return displacement law of rocker

(15)

(16)

據(jù)余弦定理有

(17)

(18)

某時(shí)刻，凸輪轉(zhuǎn)過(guò)角度

θ1Δ=180°±(θ2-θ2t)

(19)

對(duì)應(yīng)凸輪角位移

(20)

搖桿返程角位移

(21)

4 主/副滾子中心C、C′的整程區(qū)域套

4.1 滿足α≤[α]條件的C的整程區(qū)域套

滿足α≤[α]條件的C的解集即整程區(qū)域套，它主要取決于往程。

4.1.1 滿足α≤[α]條件的C的往程區(qū)域套

(22)

通常地，返程區(qū)域套因不起作用而免予考慮，往程區(qū)域套即整程區(qū)域套。

4.1.2 實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域與等距離散化

據(jù)圖6a，ugmin、ugmax必出現(xiàn)在Γg(u,v)最左、最右端處，即

(23)

式中，η=1；前半?yún)^(qū)段ζ=1，后半?yún)^(qū)段ζ=-1。

通過(guò)一維搜索，可解得(ugmin)maxty、(ugmax)minty,其含義和求解方法見文獻(xiàn)[3]。

理論最經(jīng)濟(jì)搜索帶域

ug∈[(ugmin)maxty, (ugmax)minty]

(24)

等距離散化該最經(jīng)濟(jì)搜索帶域，得直線序列{ugj}。取間距

Δug=[(ugmax)minty-(ugmin)maxty]/(100q)

(25)

ugj=(ugmin)maxty+(j-1)Δug

(26)

j=1,2,…,100q+1

式中，q=1,2,…，據(jù)精度要求確定。

等距離散化θ1，間距

Δθ1=1/(10p-1) (rad)

(27)

θ1=θ1m=0°+(m-1)Δθ1

(28)

m=1,2,…,Ф0/Δθ1+1

式中，p=1,2,…，也據(jù)精度要求確定。

根據(jù){?Γg(θ1m)}，通過(guò)求交比較，得到實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域:

ug∈[(ugmin)maxry,(ugmax)minry]

(29)

(a)往程瞬時(shí)區(qū)域套Γg(u, v)生成原理

(b) 往程區(qū)域套生成原理圖6 主滾子中心C的區(qū)域套生成原理Fig.6 The generating principle of nested region of main roller C

分析{ugj}與{?Γg(θ1m)}的關(guān)系如下：

設(shè){ugj}與O1P21交于Oj點(diǎn)(圖7僅表述ugfmin0，則vC=s2-τC。

圖求解的解析公式建立Fig.7 Establishment of analytic formula for

對(duì)于關(guān)系(1)和(2)，分別有

(30)

(31)

下面分ugj≤0、ugj>0兩種情況討論。

(1)ugj≤0。

(32)

解得

τCs1g={(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]-

4(l20-ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(33)

τCs2g={(l20-l21)tan[α]-[(l20-l21)2tan2[α]-

4(l20-ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(34)

將式(1)、式(33)和式(34)代入式(30)，搜索解得

vCs1gflmax=(s2-τCs1g)flmax

vCs2gflmin=(s2-τCs2g)flmin

(35)

(36)

解得

τCs1g={(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]+

4(l20+ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(37)

τCi2g={-(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]+

4(l20+ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(38)

將式(1)、式(37)和式(38)代入式(31)，搜索解得

vCs1grmmax=(s2-τCs1g)rmmax

vCi2grmmin=(s2-τCi2g)rmmin

(2)ugj>0。

先令

l21(θ1)-ugj=0

(39)

(40)

(41)

解得

τCs1g={(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]+

4(l20-ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(42)

τCi2g={-(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]+

4(l20-ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(43)

將式(1)、式(42)和式(43)代入式(31)，搜索解得

vCs1gfmmax=(s2-τCs1g)fmmax

vCi2gfmmin=(s2-τCi2g)fmmin

vCs1gflmax=(s2-τCs1g)flmax

vCs2gflmin=(s2-τCs2g)flmin

vCs1grmmax=(s2-τCs1g)rmmax

vCi2grmmin=(s2-τCi2g)rmmin

(44)

解得

τCs1g={(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]-

4(l20+ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(45)

τCs2g={(l20+l21)tan[α]-[(l20+l21)2tan2[α]-

4(l20+ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(46)

將式(1)、式(45)和式(46)代入式(30)，搜索解得

vCs1grlmax=(s2-τCs1g)rlmax

vCs2grlmin=(s2-τCs2g)rlmin

據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，得到：

①ugj≤0時(shí)

(47)

②ugj>0時(shí)

(48)

4.2 滿足α≤[α]條件的C′的整程區(qū)域套

4.2.1 滿足α≤[α]條件的C′的返程區(qū)域套

(49)

通常，往程區(qū)域套不起作用，故返程區(qū)域套即整程區(qū)域套。

4.2.2 實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域

式(23)～式(27)中，將ug、(ugmin)maxty、(ugmax)minty替以u(píng)r、(urmin)maxty、(urmax)minty；式(23)取η=-1，將l20、l21替以l20r、l21r。其中:

θ1=θ1n=Ф0+Фs+(n-1)Δθ1

(50)

即可得到實(shí)際最經(jīng)濟(jì)搜索帶域

ur∈[(urmin)maxry, (urmax)minry]

(51)

(a)返程瞬時(shí)區(qū)域套Γr(u, v)生成原理

(b)返程區(qū)域套生成原理圖8 副滾子中心C′的區(qū)域套生成原理Fig.8 The generating principle of nested region of auxiliary roller C′

對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)和(2)，分別有

(52)

(53)

(1)urj≥0。

(2)urj<0。

令

l21r(θ1)-urj=0

(54)

據(jù)上述計(jì)算結(jié)果可得

①urj≥0時(shí)

(55)

②urj<0時(shí)

(56)

5 滿足α≤[α]和等跨條件①～③的C、C′的整程區(qū)域套以及凸輪基圓半徑r0取值范圍的確定

本節(jié)討論凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滿足α≤[α]和等跨條件①～③的C、C′的整程區(qū)域套。凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的情況與順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)類似，不再詳述。

5.1 主/副滾子中心C、C′的歸并搜索帶域

如圖9所示，據(jù)式(29)和式(51)進(jìn)行歸并求交，得到滿足α≤[α]和等跨條件①～③的C、C′的歸并搜索帶域。

圖9 C、C′歸并搜索帶域的確定Fig.9 Determination of merger search belt-area of C and C′

主滾子中心C的歸并搜索帶域

uC∈[(umin)max, (umax)min]

(57)

(58)

副滾子中心C′的歸并搜索帶域

uC′∈[-(umax)min, -(umin)max]

(59)

5.2 主/副滾子中心C、C′的整程區(qū)間套

(60)

圖10 C、C′整程區(qū)間套的確定Fig.10 determination of merger whole choice area of C and C′

通過(guò)求交，得到u=urj=uC′(=-uC)時(shí)副滾子中心C′的歸并整程區(qū)間套

(61)

(62)

(63)

則

(64)

即為u=ugj=uC時(shí)主滾子中心C的歸并整程區(qū)間套。

上述式(61)和式(64)的獲取，體現(xiàn)了一個(gè)正-逆映射求交的迭代求解過(guò)程，這也是本文的核心內(nèi)容。

5.3 主/副滾子中心C、C′的歸并整程區(qū)域套

據(jù)式(57)、式(59)和式(61)、式(64)，遍歷搜索{ugj}和{urj}，解得C、C′的歸并整程區(qū)域套Γ*(u,v)和?！?(u,v)，以及C、C′的歸并整程區(qū)域套邊界?Γ*(u,v)、?Γ′*(u,v),如圖11所示。

圖11 整程區(qū)域套Γ*(u, v)、?！?(u, v)的形態(tài)分布Fig.11 Morphological distribution of merger whole choice area of Γ*(u,v)、?！?(u,v)

圖11中的Γ*(u,v)和?！?(u,v)，可采用開發(fā)的ESCMFY可視化程序，結(jié)合例題已知條件，在計(jì)算機(jī)上快速求解得到。

5.4 凸輪基圓半徑r0取值范圍的確定

引入O2uv到O1xy的坐標(biāo)變換

(65)

C在?Γ*(u,v)上時(shí)，凸輪基圓半徑

(66)

一維搜索解得所有邊界點(diǎn)(xCj,yCj)，計(jì)算得到凸輪最小、最大基圓半徑：

(67)

r0的取值范圍為

(68)

6 機(jī)構(gòu)綜合示例

對(duì)于浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu)，已知l0=140 mm，l5=50 mm，θ50=140°，βm=80°，往程選取擺線規(guī)律，Ф0=150°，[α]=40°，凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。求解：

(1)取uC=uC′=0，即等徑凸輪機(jī)構(gòu)，限定C、C′居于連桿方位線O1O2上，對(duì)應(yīng)的求解量為r0min|0、C**|0和C′**|0；

(3)比較討論(1)、(2)的求解結(jié)果。

(1)令uC=uC′=0，即等徑凸輪機(jī)構(gòu)，據(jù)式(64)解得vC|0∈[29.8963, 43.7701]mm、r0|0∈[62.8853,76.7591]mm，即r0min|0=62.8853 mm。對(duì)應(yīng)有，C**|0(0, 43.7701)mm和C′**|0(0, 233.4725)mm。

7 結(jié)論

(1)提出浮動(dòng)滾子推桿等跨凸輪機(jī)構(gòu)新構(gòu)型，給出尺寸綜合問題的準(zhǔn)確描述；提出其形態(tài)特征與條件，揭示與等徑凸輪機(jī)構(gòu)的聯(lián)系與差異。

(2)討論解決了主/副滾子分布規(guī)律特征，運(yùn)動(dòng)角、休止角的牽連關(guān)系，搖桿返程位移規(guī)律等。

(3)通過(guò)主/副滾子中心歸并搜索帶域和歸并整程區(qū)域套的正-逆映射求交的求解過(guò)程，揭示等跨凸輪機(jī)構(gòu)復(fù)雜、獨(dú)到的異質(zhì)性研究?jī)?nèi)涵。

(4)通過(guò)對(duì)比等跨、等徑凸輪機(jī)構(gòu)的尺寸綜合結(jié)果，充分論證了等跨凸輪機(jī)構(gòu)的引入具有重要的機(jī)構(gòu)學(xué)理論意義和工程實(shí)際價(jià)值。

[1] 常勇, 楊富富. 作平面運(yùn)動(dòng)滾子從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)的第Ⅱ類機(jī)構(gòu)綜合問題[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2010,46(21):35-41. CHANG Yong, YANG Fufu. Second Mechanism Synthesis Task of Disc Cam Mechanisms with Roller Follower Moving in Planar General Motion[J]. Journal of Mechanical Engineering,2010,46(21):35-41.

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