“數學規(guī)則”的課程主張與教學路徑

顧萬春

摘? 要：“數學規(guī)則”是數學的重要組成部分。“數學規(guī)則”的課程主張依循教師對課程的理解，包括課程目標、課程資源和課程實施。作為數學規(guī)則的教學，可以回溯本源、嚴密構建和多向連接，讓規(guī)則不斷生發(fā)、生成和融合。

關鍵詞：數學規(guī)則;課程主張;教學路徑

從根本上說，數學知識包括“客觀知識”和“主觀知識”?？陀^知識是人類“生命·實踐”智慧結晶，主觀知識是個體“生命·實踐”智慧結晶?？陀^知識包括數學概念、規(guī)則和思想方法等。數學規(guī)則包括法則、性質、定律、公式等。根據美國教育心理學家加涅學習層次分類，規(guī)則屬于高階學習。運用規(guī)則能發(fā)展學生思維，盤活學生想象，引領學生探索。

一、“數學規(guī)則”的課程主張

“數學規(guī)則”課程，主張依循教師對課程的理解和實踐，基于數學本體和學生生命發(fā)展等多重視域，努力追尋本源化、理性化、序列化的數學教學，追尋數學規(guī)則內在生成、自然生長、科學生發(fā)。

1. 課程目標：聚焦“數學規(guī)則”意義

“數學規(guī)則”是一種數學的規(guī)定，必須遵守。數學教學，就是要讓學生了解和認知各種規(guī)則。小學數學規(guī)則分布于各年級教材之中，如計數規(guī)則、計量規(guī)則、數的大小比較規(guī)則、讀寫數規(guī)則、四則運算規(guī)則等。通常情況下，由于教師總是認為規(guī)則是學生必須遵守的，因而對規(guī)則采用“告訴式”教學。比如，教學《用字母表示數》，對于數字和字母相乘的規(guī)則，教師總是直接出示規(guī)則，輕描淡寫。如此，學生在書寫時總是發(fā)生錯誤。其實，深究數字和字母相乘規(guī)則，就不難體驗到書寫的合理性。首先，因為數字是常量，而字母通常是變量，常量放在變量前;其次，這樣書寫避免了與字母冪的形式相混淆，如2a和a2，如a2就非常容易和a2相混淆。當教師在教學聚焦規(guī)則意義時，學生就能體會到數學規(guī)則的合理性，從而認同、理解、內化規(guī)則。

2. 課程資源：聚積“數學規(guī)則”源泉

盡管“數學規(guī)則”是規(guī)定的，但這種規(guī)定有著歷史源泉，有必然性。在數學史上，規(guī)則產生并不是隨心所欲的。作為教師，應當聚積規(guī)則源泉，讓學生充分體驗規(guī)則的合理、合情與合法（法度）。比如，教學“乘加和乘減混合運算”，教師要激發(fā)學生深度思考“為什么要先算乘除后算加減？”“不這樣計算行嗎？”教學中，一方面從生活中擷取素材，借助生活事例來讓學生感受、體驗計算規(guī)則的合理性;另一方面，從數學本源來梳理、發(fā)掘，啟發(fā)學生計算思維。要求學生計算“39+39+39+39”，一開始，由于數39的個數比較小，學生還從左往右依次計算，隨著算式變化，數39的個數越來越多，學生就自然將若干個39相加的和寫成乘法形式，并自覺計算乘法。從中，學生深刻理解了“先算乘除，后算加減”這一四則混合運算的黃金規(guī)則。

3. 課程實施：聚力“數學規(guī)則”質態(tài)

對于規(guī)則，我們首先要讓學生思考：規(guī)則是任意規(guī)定的，還是有道理的。只有讓學生體認到規(guī)則的合理性，學生才能從根本上對規(guī)則展開自主探究。聚力規(guī)則之理，是數學教學的應然追求。比如，“0”為什么不能作除數？許多教師恐怕都不能言說清楚。事實上，我們可以采用反證法，假如“0”可作除數，那么就不能保證商的唯一性。再如，我們?yōu)槭裁匆?guī)定“1既不是素數，也不是合數”？有教師從因數個數來解釋。事實上，規(guī)定“1既不是素數也不是合數”，并不是分類要求，而是要保證對一個合數分解質因數的唯一性。如果將“1”納入其中，每一個合數分解質因數的形式就不唯一了，可以寫任意多個1。只有引導學生聚力于規(guī)則質態(tài)，才能讓學生真正理解數學知識。這樣的數學教學才是“活的數學”教學。

二、“數學規(guī)則”的教學路徑

在加涅學習層次中，規(guī)則學習位居解決問題之下?？梢?，規(guī)則習得是規(guī)則運用的基礎。一方面，規(guī)則誕生是循序漸進的，另一方面規(guī)則之間又是交叉聯結的。一方面，要讓學生經歷規(guī)則形成過程;另一方面，要注意此規(guī)則與彼規(guī)則的內在關聯。規(guī)則教學應當有序化、結構化和嚴密化。

1. 回溯本源，指向規(guī)則的生發(fā)

規(guī)則在數學教材中的存在形態(tài)是豐富的，有顯性的、隱性的規(guī)則，有單一的、綜合的規(guī)則等。隱性規(guī)則，要讓學生多次感悟;重要規(guī)則，要多次滲透。有時，教師甚至要多次返回規(guī)則本源，尋求來自學生經驗的向導、生活的啟迪。

比如《乘法分配律》這一運算規(guī)則，盡管教師多次用字母表征，強化乘法分配律形式，但在計算時，學生老是將乘法分配律和結合律混淆。其實，學生在低年級就已經觸碰“乘法分配律”，比如兩位數乘兩位數的豎式計算，比如長方形的周長計算等。這些知識都蘊藏著“乘法分配律”規(guī)則種子。筆者在教學中引導學生回溯本源，將學生頭腦深處的內隱規(guī)則顯性化，緘默規(guī)則可視化。借助計算長方形周長，讓學生從圖形意義上進行詮釋;借助一道“兩位數乘兩位數”的豎式計算，讓學生從算理意義上加以詮釋，對豎式中每一步予以意義說明。如此，學生就能深刻理解乘法分配律的意義，而不僅僅是記住形式化的乘法分配律。當學生理解了規(guī)則意義，對規(guī)則形式也就能夠自主表征了。比如，有學生用圖形表征乘法分配律——“（△+☆）×○=△×○+☆×○”，有學生用文字表征——“兩個數的和乘一個數等于分別用這兩個數乘一個數，再求和”，有學生用符號表征——“（a+b）c=ac+bc”等。在回溯中，學生真正走進規(guī)則內部，感悟到規(guī)則真諦。

回溯規(guī)則源頭，規(guī)則就不再是冰冷、生硬的，而是自然、充滿溫情的。當學生走進規(guī)則源頭，就能形成一種對規(guī)則進行再創(chuàng)造的欲望、動力，就能用自己的方式去表征規(guī)則。盡管這種表征是膚淺的，甚至是幼稚的，但卻是學生對規(guī)則的個性化解讀。

2. 嚴密構建，指向規(guī)則的生成

在小學數學中，規(guī)則呈現通常有兩種方式：一種是先例證后規(guī)則，即先呈現個例，然后歸納規(guī)則;另一種是先規(guī)則后例證，即先呈現規(guī)則，然后進行例證，或先呈現大規(guī)則，然后演繹小規(guī)則。無論是哪一種規(guī)則教學，教師都必須引導學生嚴密構建。在規(guī)則建構中，學生要進行上位學習、下位學習和并列學習。要讓學生深度體驗規(guī)則形成過程，滲透思想方法，導引數學規(guī)則應用，在生成與應用中架設互通橋梁。

教學《奇數和偶數》（蘇教版五下），當學生理解了奇數就是單數、偶數就是雙數后，筆者要求學生用字母表示奇數和偶數。一開始，學生不知從何處下手，更有學生索性既用自然數n表示偶數，又用自然數n表示奇數，顯然學生沒有掌握用字母表示奇數和偶數的規(guī)則。筆者提示學生，用字母表示奇數就是用字母概括奇數和偶數的特征。學生思考，奇數和偶數的特征是什么呢？他們從奇偶數意義展開思考，即偶數是2的倍數，奇數不是2的倍數。但這樣的思考仍然是抽象的。為此，筆者讓學生用“一一列舉法”構建了兩個數字方陣，第一個方陣是自然數方陣，第二個方陣是偶數方陣，引導學生比較。學生發(fā)現，偶數方陣中每個位置上的數恰好是自然數方陣中相對應位置數的2倍。由此，學生在兩個方陣之間建構起“一一映射”的對應關系，也深刻理解了偶數意義。有學生感悟到，自然數是a，偶數就是2a，自然數是n，偶數就是2n。當學生深刻理解了用字母、符號表征偶數的規(guī)則后，奇數符號表征也就水到渠成了。

規(guī)則教學不是教師的灌輸，而是教師的啟發(fā)，是教師引導學生自主、嚴密建構。在上述教學中，從集合視角、映射視角，學生能深度理解用字母、符號表征奇數、偶數的規(guī)則。

3. 多向聯結，指向規(guī)則的融合

規(guī)則不是單一、靜態(tài)的，而是相互關聯、動態(tài)的。教師要引導學生進行規(guī)則聯結，讓上位規(guī)則統(tǒng)攝下位規(guī)則，建構高階規(guī)則。比如，“數”的學習就能啟示“式”的學習，它們之間的規(guī)則具有相似性;又如，整數數位順序、進率規(guī)則與小數數位順序、進率規(guī)則就是相統(tǒng)一的，教學中就要將規(guī)則融合起來，形成數位順序規(guī)則。引導學生發(fā)現規(guī)則邏輯意義，探尋規(guī)則聯系，讓新規(guī)則同化舊規(guī)則。

教學《兩、三位數加減法筆算》，學生建構了“從個位加起，滿十進一、退一當十”等規(guī)則。在后續(xù)學習“小數加減法”計算時，教師要將小數加減法和整數加減法的規(guī)則進行貫通，在學習“同分母分數相加減”“異分母分數相加減”等的計算法則時，同樣要將前面的規(guī)則進行融合，形成一個包攝力更大、內涵更深的隱性的規(guī)則，即“只有計數單位相同才能直接相加或相減”。有了這樣的規(guī)則融合，就能深化學生對算理的理解，為算法建構提供依據。

規(guī)則融合有兩個條件，一是新規(guī)則高于或平行于原規(guī)則;二是原規(guī)則中有相關內容可供新規(guī)則融合、概括、歸納。引導學生將規(guī)則進行融合，連成片、結成網，將規(guī)則整合成“規(guī)則共同體”。如此，實現規(guī)則表征相互轉換，形成規(guī)則結構、系統(tǒng)。

規(guī)則反映著事物規(guī)律，反映著數學規(guī)律。在小學數學中，規(guī)則有宏觀規(guī)則、中觀規(guī)則和微觀規(guī)則。依循規(guī)則，才能讓規(guī)則教學更科學、更藝術。這是一個不斷數學化的過程，也是一個充滿思辨的過程。在這個過程中，學生收獲的不僅是知識，更是一種研究數學的能力、一種建構創(chuàng)造的素養(yǎng)。