方程與不等式的“雙劍合璧”

初中階段，我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計(jì)這三大部分.其中代數(shù)又分為數(shù)、式、方程、不等式和函數(shù)這五個(gè)部分.那么，這五個(gè)部分之間又是什么關(guān)系呢？是不是彼此獨(dú)立，互不相干呢？下面我們就來談?wù)劮匠毯筒坏仁街g的關(guān)系.

我們先從它們的定義入手：方程是含有未知數(shù)的等式，而等式是用等號(hào)連接的式子；那自然，不等式就是用不等號(hào)連接的式子.

根據(jù)定義，我們覺得方程和不等式簡直是水火不相容：你是等式，我是不等式，我是對(duì)你的否定.這是典型的“對(duì)著干”??！

我們看一個(gè)例題，或許能改變一些看法.

例1 解方程和不等式：

（1）[x+93]=[x+22]+1；

（2）[x+93]>[x+22]+1.

分別解兩個(gè)式子，然后觀察解答過程和所得結(jié)果，你一定會(huì)恍然大悟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這些步驟完全一致.最后結(jié)果的數(shù)值是6，也完全一樣！不同的是，系數(shù)化為1時(shí)不等式需要考慮不等號(hào)的方向，而解方程不用；最后結(jié)果x=6和x<6也只是連接的符號(hào)不同罷了.

看來，方程和不等式是有關(guān)系的！

仔細(xì)觀察“=”和“<”，我們能夠直觀地發(fā)現(xiàn)，原來不等號(hào)就是等號(hào)的向一邊傾斜的變形；我們?cè)購臄?shù)軸這個(gè)角度來看x=6和x<6的關(guān)系：

原來方程只是不等式的“邊界”??！換言之，不等式是“方程+方向”的組合體.

當(dāng)方程與不等式“雙劍合璧”時(shí)，它們產(chǎn)生的威力就不可小覷.

一、解一元二次不等式

相信我們都能熟練解決一元一次不等式，但是一元二次不等式能不能玩得轉(zhuǎn)呢？

例2 解不等式：x2≥9.

【分析】解不等式的時(shí)候，可以將不等式看成是方程，解得方程的解，也就是得到了不等式的“邊界”，然后再根據(jù)題意，選取不同的區(qū)間就可以了.

本題解方程x2=9可得x1=3，x2=-3，再將數(shù)軸上以-3和3表示的點(diǎn)為“邊界”，可得x≤-3、

-3

二、求取值范圍問題

近幾年中考，我們經(jīng)常遇到求參數(shù)取值范圍的問題.解答這些題型時(shí)，如果能夠?qū)⒉坏仁絾栴}轉(zhuǎn)化為方程問題，往往會(huì)有出奇制勝的效果.

例3 如圖1，拋物線y=ax2與四條直線x=1、x=2、y=1、y=2圍成的正方形ABCD有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 .

【分析】本題的題型是求參數(shù)的取值范圍，即答案是關(guān)于a的不等式.考慮到不等式的“邊界”是方程，因此只需要考查兩個(gè)極端情形：拋物線的開口變大時(shí)，有公共點(diǎn)和沒有公共點(diǎn)的“邊界”是點(diǎn)B（2，1）；當(dāng)拋物線的開口變小時(shí)，有公共點(diǎn)和沒有公共點(diǎn)的“邊界”是點(diǎn)D（1，2）.分別代入拋物線的解析式可得a1=[14]，a2=2，考慮到題目只關(guān)注有公共點(diǎn)，因此本題的答案是[14]≤a≤2.

例4 直線y=x+1與y=-2x+a的交點(diǎn)在第二象限，則a的取值范圍是 .

【分析】結(jié)合函數(shù)圖像可以發(fā)現(xiàn)，直線y=x+1為定直線，而y=-2x+a為平行直線束，設(shè)直線y=x+1分別交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，1），則交點(diǎn)在第二象限的“邊界”為直線y=-2x+a經(jīng)過點(diǎn)A、B，將兩個(gè)坐標(biāo)分別代入得：a1=-2，a2=1，最后根據(jù)函數(shù)的圖像判斷不等號(hào)的方向，最終得到答案為-2

本題若運(yùn)用常規(guī)解法則較為煩瑣：先解含參方程組，用a的代數(shù)式表示交點(diǎn)，然后再根據(jù)點(diǎn)在第二象限列出不等式組，最后解不等式組.因此，巧用方程和不等式的關(guān)系可以簡化解題過程.

例5 如圖2，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D（3，0）和點(diǎn)E（0，4），動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)M（5，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長度每秒的速度沿x軸向左做勻速運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)C為圓心、[12t]個(gè)單位長度為半徑作⊙C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍.

【分析】在⊙C的運(yùn)動(dòng)過程中，與射線DE的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)，因此，若要求t的取值范圍，只要解決圓剛剛接觸到射線的“邊界”位置和圓即將脫離射線的另一個(gè)“邊界”（如圖3中⊙C1、⊙C2）即可，分別解得t1=[43]，t2=[163]，因此，本題的答案是：[43]≤t≤[163].

三、分類討論問題

分類討論問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在歷年中考試題中多以壓軸題出現(xiàn)，對(duì)考生的能力要求較高，具有較強(qiáng)的選拔性.在分類討論問題的各個(gè)難點(diǎn)中，最關(guān)鍵的是如何分類，確保不遺漏、不重復(fù).

利用方程和不等式的關(guān)系，借助數(shù)軸可以很好地解決這一難點(diǎn).

例6 化簡：[x+2]+[x-4].

【分析】化簡含絕對(duì)值的式子，需要去掉絕對(duì)值，因此對(duì)絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的符號(hào)需要進(jìn)行討論.但是討論x+2>0、x+2<0、x-4>0、x-4<0等情況較復(fù)雜，可以觀察不等式的“邊界”，即方程x+2=0、x-4=0的值，得x=-2和x=4，在數(shù)軸上以表示-2和4的點(diǎn)為“邊界”，“截?cái)唷睌?shù)軸為三段：

即可得分類討論的三個(gè)范圍：x≤-2，-24.

我們從方程和不等式的關(guān)系入手，發(fā)現(xiàn)橫向打通知識(shí)之后可以帶來解題的新思路、新方法.如果按這個(gè)思路，將方程、不等式、函數(shù)進(jìn)行橫向打通，又會(huì)有什么美妙的結(jié)論和方法呢？

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪第一中學(xué)）