一道流傳已久的習題的錯解及糾錯

江西省萍鄉(xiāng)市萍鄉(xiāng)中學(337055)賀江

原題過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D,求四邊形ABCD面積的最小值.

兩種解法,兩個截然不同的答案,孰對孰錯?而且我們在眾多解題軟件上和某些搜索網(wǎng)站上竟發(fā)現(xiàn)這兩種解法共存,并且在實際教學中,我們也發(fā)現(xiàn)有部分老師也區(qū)分不出這兩種解法的問題所在.

我們先來看一下橢圓的“離心角”,即參數(shù)方程x=acosφ,y=bsinφ中的參數(shù)φ.北師大版2014年第4版的選修2-1第66面清楚地提到了這個角,這個角并非橢圓上該點與橢圓中心的連線與x軸正方向的夾角!它不像圓中的圓心角一樣!

借助圓心角的概念,我們不妨借助圓中的圓心角設橢圓的“圓心角”概念,橢圓上任意一點與橢圓圓心的連線與x軸方向的夾角,這個夾角用θ表示,即圖中∠MOX.易得

意味著OA到OB的旋轉(zhuǎn)角本意是“圓心角”旋轉(zhuǎn)90°,而解法2中OA到OB的旋轉(zhuǎn)角用的是“離心角”旋轉(zhuǎn)90°,兩者是否一致呢?

只需驗證下OA與OB是否重合垂直.

原來解法2中的OA,OB一般情況下并非垂直!

結論解法1為正解,解法2為錯解.

下面我們改進一下解法2.

至此,問題已經(jīng)全部解決.