數(shù)列的求通項與求和

廣東省佛山市第一中學(528000)吳欣婷 吳統(tǒng)勝

廣東省江門市開平市開僑中學(529300)楊雅文

本文舉例說明了遞推數(shù)列中求通項、求和的幾種常用基本方法,對數(shù)列求和中涉及的常見放縮方法進行進行了較詳細的探究、歸類和總結(jié),并得到了一些易于操作的一般性的放縮策略和方法.

一.常見遞推關(guān)系求通項思路歸納

形式1累加(乘)法形如an?an?1=f(n)或其中f(n)可累加,g(n)可累乘;

形式2待定系數(shù)法形如an=pan?1+q(n∈N?,n≥2)(p,q為常數(shù),且p?=1)的遞推式,可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為an+λ=p(an?1+λ),即轉(zhuǎn)化為公比為p的等比數(shù)列求通項;也可用不動點法求通項(若方程x=px+q的根為α,則數(shù)列{an?α}是公比為p的等比數(shù)列);

形式5 形如an+1=pan+qan?1(n∈N?,n≥2)的遞推式,(教材《必修5》P69第6題)

方法1可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為an+Aan?1=B(an?1+Aan?2)(n∈N?,n≥3),即數(shù)列{an+Aan?1}是等比數(shù)列(注意該項是新數(shù)列第n?1項),再用形式4中的方法求解;

方法2(不動點法)如果x1,x2是遞推關(guān)系an=pan?1+qan?2(n∈N?,n≥3)的特征方程x2=px+q的兩個實數(shù)解,則有:

(1)當x1?=x2時,

(2)當x1=x2時,

這里α1、α2、β1、β2都是由初值a1,a2決定的常數(shù).

形式6 形如的遞推式,可兩邊先取對數(shù),得轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{ lgan}求an.

形式7 形如適當變形得kan=(kan?1)2,兩邊取對數(shù),得lg(kan)=2lg(kan?1),從而可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{ lg(kan)}求an.

二、求和方法

1.公式法直接利用等差、等比數(shù)列求和公式求和或利用常見求和公式求和:

2.裂項法

3.錯位相減法若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,則數(shù)列{anbn}前n項和可用錯位相減法求得.

4.分組求和法將通項拆成兩項或多項,轉(zhuǎn)化為公式法、裂項法、錯位相減法等重新分組求和.

5.倒序相加法若數(shù)列中與首末兩項等距的兩項和總相等,可用倒序相加法求和.如等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)用的就是倒序相加法.

6.并項求和法若通項an有正有負,可采用并項求和法.凡是具有周期性質(zhì)或類似于周期性質(zhì)的數(shù)列求和均可采用并項求和法.

三.例題講解

例1 求滿足條件的數(shù)列{an}的通項公式:

①+3×②得:

an+1+3bn+1=9(an+3bn),an=4·9n?3·2n,bn=8·9n+2n;或由①②消去bn,bn+1整理得:an+2=11an+1?18an,由形式5即可求得;

例2 (2010年全國理科第17題)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1?an=3·22n?1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)令bn=nan,求數(shù)列的前n項和Sn.

解析(1)解法一(累加法)由已知,當n≥2時,an+1=[(an+1?an)+(an?an?1)+···+(a2?a1)]+a1=3(22n?1+22n?3+···+2)+2=22(n+1)?1.又a1=2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=22n?1.

解法二利用形式4(ii)直接轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項

(2)(錯位相減法)由bn=nan=n·22n?1知,Sn=1·2+2·23+3·25+···+n·22n?1①,從而22·Sn=1·23+2·25+3·27+···+n·22n+1②.①-②得(1?22)·Sn=2+23+25+···+22n?1?n·22n+1,所以

點評規(guī)律總結(jié),解題關(guān)鍵在于和式兩邊同時乘以等比數(shù)列公比,兩式錯位相減即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.一般地,若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,則數(shù)列{anbn}前n項和Sn表達式必為Sn=(An+B)·qn?B,其中q為等比數(shù)列{bn}公比,故可由a1,a2的值求出待定系數(shù)A、B即可快速準確求出的表達式,此結(jié)論可大大提高錯位相減法計算結(jié)果的準確性.

例3 (2010年全國理科第17題改編)已知數(shù)列{an}的前n和Sn=(n2+n)3n.

(I)求{an}的通項公式;(II)證明:

點評對通項進行了適當放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和化簡得證不等式.

例4 (2014年全國II理科第17題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

解析(1)略;.

例5 (2012年廣東理科第21題)設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn,滿足2Sn=an+1?2n+1+1(n∈N?),且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1)求a1的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式;

點評放縮的目的是為化簡求和,以上兩例題證法一都是先放縮為等比數(shù)列,再求和化簡.證法二是分離出非負數(shù)項進行放縮,放縮為等比數(shù)列求和化簡,此放縮方法可操作性強,可實現(xiàn)精準放縮,是通性通法!

可快速轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列化簡求和.2013年江西第17題也是此類題型.

常見放縮技巧主要有如下幾種:

5.若0＜q＜1,則有

例6 (2014廣東文科第19題)設(shè)各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n和為Sn,且Sn滿足

(1)求a1的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)證明:對一切正整數(shù)n,有

點評本例是裂項相消法,將通項裂成結(jié)構(gòu)特征相同的前后兩項的差的形式,前后項中的部分式子相互抵消,從而可化簡求和得證.

點評本例是先裂項求和再放縮證明不等式.由于放縮法靈活多變,技巧性要求高,所謂“放大一點則太大,縮小一點則太小”,讓學生解題時很茫然.突破的關(guān)鍵是讓學生弄清放縮法的思路和目標是怎么來的,熟練掌握各種數(shù)列放縮的方法和技巧.

點評本例題采用的是分離出非負數(shù)項進行放縮,放縮為等比數(shù)列求和化簡,此放縮方法可操作性強,可實現(xiàn)精準放縮,是通性通法,應(yīng)引導(dǎo)學生理解和掌握該放縮方法!

四.反饋練習

1.(2009全國II第19題改編)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(I)設(shè)bn=an+1?2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;

(II)求數(shù)列{an}的通項公式;

(III)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an?2;數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn+2,n∈N?.

(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

(II)記cn=anbn,n∈N?.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

3.(2008江西文科第19題)等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=3,前n項和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.

(1)求an與bn;

4.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足

(1)求a2的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)是否存在正整數(shù)k,使ak,S2k?1,a4k成等比數(shù)列?若存在,求k的值;若不存在,請說明理由.

5.(2009湖北文科第19題)已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3·a6=55,a2+a7=16.

(I)求數(shù)列{an}的通項公式;

(II)若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式:(n為正整數(shù)),求{bn}的前n項和Sn.

6.(2015全國)Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an＞0,

(I)求{an}的通項公式;