時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程振動(dòng)性的進(jìn)展

楊甲山

(梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，復(fù)雜系統(tǒng)仿真與智能計(jì)算實(shí)驗(yàn)室,廣西 梧州 543002)

敘述了時(shí)間測(cè)度鏈上的基本概念及動(dòng)力方程的基本理論以及動(dòng)力方程振動(dòng)性的最新進(jìn)展,闡述了作者研究所得的一些最新成果,給出了應(yīng)用實(shí)例,同時(shí)也提出了值得進(jìn)一步研究的領(lǐng)域.

振動(dòng)性; Emden-Fowler型動(dòng)力方程; 時(shí)間測(cè)度鏈; 變時(shí)滯

眾所周知，振動(dòng)(也稱振蕩)是自然界和機(jī)械工程等技術(shù)領(lǐng)域中最普遍、最常見(jiàn)的一種物理現(xiàn)象，它廣泛存在于物理學(xué)、生物種群動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制技術(shù)等學(xué)科中的機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電子電磁運(yùn)動(dòng)及原子運(yùn)動(dòng)等各種運(yùn)動(dòng)形式之中.無(wú)論在哪一種技術(shù)領(lǐng)域,還是在哪一種物理過(guò)程中,都會(huì)碰到各種形式、各種程度的振動(dòng)過(guò)程.從自然界到工業(yè)各領(lǐng)域,從日常生活到社會(huì)領(lǐng)域,振動(dòng)現(xiàn)象屢見(jiàn)不鮮.而振動(dòng)現(xiàn)象往往通過(guò)方程的振動(dòng)性表現(xiàn)出來(lái).因此振動(dòng)性是一種帶有普遍意義的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式,是系統(tǒng)最重要的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)之一.另一方面,在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的研究中,許多現(xiàn)象都可用泛函微分差分方程作為其數(shù)學(xué)模型,因此,對(duì)方程的定性理論(如振動(dòng)性、穩(wěn)定性、漸近性等)的研究不僅具有理論價(jià)值,而且具有實(shí)際意義.

既然時(shí)滯泛函差分方程是時(shí)滯泛函微分方程的離散形式，人們自然會(huì)問(wèn)：經(jīng)過(guò)差分化后的差分方程，其性質(zhì)與原來(lái)的微分方程是否相同呢？許多研究表明，微分方程的許多性質(zhì)經(jīng)差分化后是保留下來(lái)了，但是，也有許多研究表明，微分方程與其相應(yīng)的差分方程會(huì)有一些完全不同的性質(zhì). 例如，觀察單個(gè)種群的生態(tài)數(shù)學(xué)模型的Logistic方程

x′(t)=rx(t)[1-k-1x(t)]，r>0,k>0，

(1)

此方程的每一個(gè)解都是單調(diào)增加的. 但與其相應(yīng)的離散系統(tǒng)——差分方程

Δx(n+1)=ax(n)[1-x(n)]

(2)

相比就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=4時(shí)相應(yīng)的差分方程(2)有一個(gè)混沌解，這就有了本質(zhì)上的區(qū)別[1-2]. 另外，時(shí)滯泛函微分方程的振動(dòng)性與相應(yīng)的時(shí)滯泛函差分方程的振動(dòng)性也會(huì)具有完全不同的特性. 例如，二階常微分方程

x″(t)+a(t)f(x(t))=0

(3)

的某些振動(dòng)性質(zhì)與相應(yīng)的二階差分方程

Δ2x(n-1)+a(n)f(x(n))=0

(4)

的振動(dòng)性質(zhì)是不同的[3]. 另一方面，觀察差分算子

(5)

和微分算子

(6)

發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)構(gòu)又十分類(lèi)似. 這就啟發(fā)科研工作者們：能否定義一個(gè)更一般的算子，它可以包括這兩種特殊的算子呢？

德國(guó)學(xué)者StefanHilger[4]在其導(dǎo)師BerndAulbach指導(dǎo)下，于1990年首次提出了時(shí)間測(cè)度鏈(timescales,也稱時(shí)間尺度、時(shí)標(biāo)、時(shí)間軸、時(shí)間模等)的概念，并由此創(chuàng)建了時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力系統(tǒng)(dynamicequationsontimescales)的理論. 之后, 這一新領(lǐng)域內(nèi)有關(guān)問(wèn)題(特別是時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的振動(dòng)與非振動(dòng)性、漸近性及穩(wěn)定性等定性理論問(wèn)題)的研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的極大興趣, 并發(fā)表了許多研究論文及專著[2-78].如Agarwal等[5-7]、Peterson等[8]、Sahiner[9]等給出了時(shí)間測(cè)度鏈上微積分的基本理論及時(shí)間測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程的諸多研究成果. 時(shí)間測(cè)度鏈T是實(shí)數(shù)域上的任意閉子集，當(dāng)時(shí)間測(cè)度鏈T等于實(shí)數(shù)集或整數(shù)集時(shí)，時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的理論則分別表示微分方程和差分方程的經(jīng)典理論. 時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的新理論不僅在生物種群動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、伺服力學(xué)、物理學(xué)(特別是量子理論及核物理等)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自動(dòng)控制技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中有非常重要的應(yīng)用，而且還能解決許多不同領(lǐng)域里微分方程或差分方程不能解決的實(shí)際問(wèn)題. 如Thomas和Peterson用時(shí)間測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程彌合了西尼羅河病毒傳播的連續(xù)方面和離散方面之間的空隙[7-9].諸如物種種群的動(dòng)態(tài)模型在季節(jié)上是離散的(并且遵循不同步長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)模型差分方法或者經(jīng)常被連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所仿效). 例如，在冬季當(dāng)它們的卵處于孵化或休眠狀態(tài)時(shí)，生物種群消失了，然而在接下來(lái)的新的季節(jié)里，孵化會(huì)產(chǎn)生不重復(fù)的種群[10]. 動(dòng)力方程的新理論不僅在時(shí)間測(cè)度鏈上統(tǒng)一了微分方程和差分方程的有關(guān)理論，而且隨著時(shí)間測(cè)度鏈的不同，將動(dòng)力方程推廣到了微分方程與差分方程之間. 在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的實(shí)踐中, 許多有實(shí)際意義的時(shí)間測(cè)度鏈?zhǔn)谴嬖诘? 例如，當(dāng)T=qN0={qt:t∈N0,q>1}時(shí)，這種情形的動(dòng)力方程稱為q-差分方程，這類(lèi)方程在量子理論方面有重要的應(yīng)用. 再例如當(dāng)T=hN，T=N2={t2:t∈N}和時(shí)，它們可以應(yīng)用于異于微分方程和差分方程的動(dòng)力方程. 因此，時(shí)間測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程的振動(dòng)理論、漸近理論等問(wèn)題是微分方程學(xué)科的重要組成部分，它為解決自動(dòng)控制技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)(特別是核物理、量子理論方面等)、生物種群動(dòng)力學(xué)、伺服力學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題提供了數(shù)學(xué)理論依據(jù)和科學(xué)基礎(chǔ). 所以,時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的振動(dòng)與非振動(dòng)等理論的研究既有重要的理論意義，更有廣泛的應(yīng)用前景.

論文將簡(jiǎn)單介紹動(dòng)力方程振動(dòng)性的一些最近的進(jìn)展、作者的一些最新研究成果以及值得關(guān)注的領(lǐng)域.

1 一些基本概念

下面簡(jiǎn)單介紹一下有關(guān)時(shí)間測(cè)度鏈的一些基本概念及基本理論[5,8].

所謂時(shí)間測(cè)度鏈T, 就是實(shí)數(shù)域上的任意閉子集, 它仍然具有由誘導(dǎo)的拓?fù)湟约爸械捻樞蜿P(guān)系. 在時(shí)間測(cè)度鏈T上,記σ(t):=inf{s∈T:s>t}，ρ(t):=sup{s∈T:s0，則稱點(diǎn)t是右離散的(right-scattered)；如果μ(t)=0，則稱點(diǎn)t是右稠密的(right-dense)；如果ρ(t)

(7)

如果函數(shù)f在點(diǎn)t處連續(xù),而點(diǎn)t是右稠密的,則其Δ-導(dǎo)數(shù)定義為

(8)

于是, 函數(shù)f(t)的Δ-導(dǎo)數(shù)fΔ、前跳算子σ與前跳距離μ之間有如下關(guān)系

fσ=f+μfΔ,

(9)

其中:fσ=f°σ.

在時(shí)間測(cè)度鏈T上,兩個(gè)函數(shù)的積及商的求導(dǎo)法則分別為

(fg)Δ(t)=fΔ(t)g(t)+f(σ(t))gΔ(t)=f(t)gΔ(t)+fΔ(t)g(σ(t)),

(10)

(11)

其中:ggσ≠0. 設(shè)a,b∈T,f為Δ-可微函數(shù), 則fΔ的柯西(Cauchy)積分公式為

(12)

類(lèi)似地,兩類(lèi)無(wú)窮限廣義積分分別定義為

(13)

在時(shí)間測(cè)度鏈T上,分部積分公式(the integration by parts formula)為

(14)

(15)

在時(shí)間測(cè)度鏈T上,n階動(dòng)力方程的一般形式為

f(t,x(t),xΔ(t),xΔ2(t),…,xΔn(t))=0,t∈T.

(16)

在方程(16)中一定含有xΔn(t)這一項(xiàng), 其中xΔ2(t),…,xΔn(t)分別稱為二階Δ-導(dǎo)數(shù)，…,n階Δ-導(dǎo)數(shù)，并統(tǒng)稱為高階Δ-導(dǎo)數(shù).

關(guān)于時(shí)間測(cè)度鏈上的更詳細(xì)的理論及時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的基本理論,可參見(jiàn)文[5]或[8].

2 二階動(dòng)力方程的振動(dòng)性進(jìn)展

動(dòng)力方程雖然是最近發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)方向，其歷史僅20余年, 但是, 由于它具有非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，并能解決一些用其他數(shù)學(xué)分支不能解決的問(wèn)題，其發(fā)展也就變得異常迅速. 特別是近年來(lái)，時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的振動(dòng)性的研究取得了豐碩成果[5-7,9-78], 且一階動(dòng)力方程的振動(dòng)性理論已漸趨完善. 考慮時(shí)間測(cè)度鏈上如下一類(lèi)非常廣泛的具有非線性中立項(xiàng)的二階非線性變時(shí)滯Emden-Fowler型阻尼動(dòng)力方程

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))+P(t)F(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T,

(17)

其中:y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t)))，φ1(u)=|u|λ-1u，φ2(u)=|u|β-1u，λ>0,β>0為實(shí)常數(shù)；T為任意時(shí)間測(cè)度鏈，函數(shù)A(t),B(t),b(t),P(t)∈Crd(T,R)，即A(t),B(t),b(t),P(t)均為定義在時(shí)間測(cè)度鏈T到實(shí)數(shù)域R上的實(shí)值rd-連續(xù)函數(shù)；τ(t),δ(t)均為定義在時(shí)間測(cè)度鏈T到T上的滯量函數(shù)；而函數(shù)g(u),F(u)∈C(R,R)，并且滿足ug(u)>0(u≠0),uF(u)>0(u≠0).并假設(shè)方程(17)中的有關(guān)函數(shù)滿足下列條件：

(H3)b(t)≥0;P(t)>0;A(t)>0且AΔ(t)≥0，并且-b/A∈R+.

方程(1)包含了大量的動(dòng)力方程: 線性的、非線性的、無(wú)阻尼的、有阻尼的、無(wú)中立項(xiàng)的、有中立項(xiàng)的、常時(shí)滯的及變時(shí)滯的等，而其簡(jiǎn)單的特殊類(lèi)型的動(dòng)力方程的振動(dòng)與非振動(dòng)性及漸近性等,已出現(xiàn)了很多好的研究成果[6-7,9-78]. 如文[6]研究了時(shí)間測(cè)度鏈T上二階時(shí)滯動(dòng)力方程

xΔΔ(t)+p(t)x(τ(t))=0,t∈T,

(18)

得到了方程(18)振動(dòng)的若干充分條件. 而文[9,11]則研究了時(shí)間測(cè)度鏈T上二階時(shí)滯動(dòng)力方程

[r(t)xΔ(t)]Δ+p(t)f(x(τ(t)))=0,t∈T

(19)

的振動(dòng)性,得到了方程(19)若干新的振動(dòng)準(zhǔn)則,推廣并改進(jìn)了文[6]中的有關(guān)結(jié)果.文[12]則研究了時(shí)間測(cè)度鏈T上一類(lèi)二階常時(shí)滯泛函動(dòng)力方程

{r(t)[(x(t)+p(t)x(t-τ))Δ]γ}Δ+f(t,x(t-δ))=0,t∈T,

(20)

得到了方程(20)振動(dòng)的一些充分條件.而文[13-15]則研究了時(shí)間測(cè)度鏈T上一類(lèi)二階變時(shí)滯的泛函動(dòng)力方程

{r(t)[(x(t)+p(t)x(τ(t)))Δ]γ}Δ+f(t,x(δ(t)))=0,t∈T.

(21)

利用廣義的黎卡提(Riccati)變換及不等式技巧,得到了方程(21)振動(dòng)的若干振動(dòng)準(zhǔn)則,推廣、改進(jìn)并豐富了已有的結(jié)果.

最近, 二階Emden-Fowler型動(dòng)力方程的振動(dòng)性也出現(xiàn)了大量的研究成果. 如當(dāng)T=R時(shí)的微分方程的情形,文[16-17]研究了二階擬線性的Emden-Fowler型微分方程

[r(t)|x′(t)|α-1x′(t)]′+q(t)|x(t)|α-1x(t)=0,t≥t0

(22)

的振動(dòng)性,給出了方程(22)若干振動(dòng)準(zhǔn)則. 文[18]則研究了一類(lèi)更廣泛的二階擬線性的Emden-Fowler型變時(shí)滯微分方程

[r(t)|z′(t)|α-1z′(t)]′+f(t,x(σ(t)))=0,t≥t0

(23)

的振動(dòng)性,得到了方程(23)振動(dòng)的若干新的充分條件,方程中α>0是常數(shù),函數(shù)z(t):=x(t)+p(t)x(τ(t))，f(t,x)sgnx≥q(t)|x|α(x≠0),q(t)>0且0≤p(t)≤p<1.

當(dāng)T為任意時(shí)間測(cè)度鏈時(shí),文[19]分別研究了2個(gè)Emden-Fowler型動(dòng)力方程

[r(t)xΔ(t)]Δ+p(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0,t∈T

(24)

和

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)xγ(t)=0,t≥t0,t∈T

(25)

的振動(dòng)性,并分別得到了上述2個(gè)方程(24)和(25)的一些振動(dòng)性定理.這里要求常數(shù)γ>0是2個(gè)正奇數(shù)之商,并且rΔ(t)≥0.顯然當(dāng)γ>0是任意實(shí)數(shù)或者條件rΔ(t)≥0不滿足，文[19]中的結(jié)果是不成立的.而文[20]研究了下列二階Emden-Fowler型變時(shí)滯動(dòng)力方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)xγ(τ(t))=0,t≥t0,t∈T

(26)

的振動(dòng)性,得到了方程(26)振動(dòng)的若干判別定理,推廣并改進(jìn)了文[19]的一些結(jié)論,但同樣γ>0是2個(gè)正奇數(shù)之商,且“σ(t)>t，ρ(t)

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+f(t,x(g(t)))=0,t≥t0,t∈T,

(27)

其中:函數(shù)|f(t,u)|≥q(t)|uγ|，得到了方程(27)若干振動(dòng)性定理.但文[21]也要求γ≥1是2個(gè)正奇數(shù)之商,當(dāng)γ是大于0的任意實(shí)數(shù)時(shí)其結(jié)果也是不成立的.緊接著,文[22]研究了一類(lèi)更一般的二階Emden-Fowler型變時(shí)滯動(dòng)力方程

[p(t)(yΔ(t))γ]Δ+f(t,x(δ(t))=0,t≥t0,t∈T

(28)

的振動(dòng)性,方程中y(t):=x(t)+r(t)x(τ(t))，|f(t,u)|≥q(t)|uγ|，q(t)>0，得到了方程(28)振動(dòng)的一些判別定理.但文[22]中同樣也要求“γ≥1且τ°δ=δ°τ”,顯然其結(jié)果當(dāng)0<γ<1時(shí)也不成立.受到以上研究的啟發(fā),文[23-24]考慮了方程

(29)

在此基礎(chǔ)上,文[25-27]研究了更一般的二階Emden-Fowler型變時(shí)滯動(dòng)力方程

{a(t)φ1([x(t)+p(t)g(x(τ(t)))]Δ)}Δ+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T.

(30)

上述方程中的函數(shù)φ1(u)=|u|α-1u，φ2(u)=|u|β-1u，而α>0和β>0均為實(shí)常數(shù).顯然這是Emden-Fowler型方程的更一般的情形,當(dāng)α=β或者α=β且p(t)=0時(shí)就可得到上述各種類(lèi)型的動(dòng)力方程.作者利用時(shí)間測(cè)度鏈上的有關(guān)理論和廣義Riccati變換技術(shù)及積分平均技巧,并借助時(shí)間測(cè)度鏈上的H?lder不等式,得到了方程(30)振動(dòng)的一系列新準(zhǔn)則, 其中一個(gè)最基本的結(jié)論為定理1.

定理1[25]如果存在一個(gè)正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)，使得對(duì)充分大的T≥t0及δ(t)>G(T):=δ0，有

(31)

其中

(32)

顯然,無(wú)論是α≥β還是α≤β，定理1都給出了方程(30)振動(dòng)的判別定理.由定理1及其證明思想就可得到方程(30)許多其他類(lèi)型的振動(dòng)準(zhǔn)則[25],這些結(jié)果改進(jìn)、推廣并豐富了現(xiàn)有的振動(dòng)性結(jié)論.其他Emden-Fowler型動(dòng)力方程的振動(dòng)性研究成果可參看文[28-31].

對(duì)于具有阻尼項(xiàng)的二階Emden-Fowler型動(dòng)力方程的振動(dòng)性問(wèn)題,文[32]率先研究了下列動(dòng)力方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)(xΔσ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0,t∈T,

(33)

在條件

(34)

成立下得到方程(33)的一些振動(dòng)準(zhǔn)則，推廣并改進(jìn)了已有的一些結(jié)果,其中

緊接著,文[33]研究了下列一類(lèi)具有阻尼項(xiàng)的二階擬線性動(dòng)力方程

(a(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t))Δ+b(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t)+p(t)|x(δ(t))|λ-1x(δ(t))=0,t∈T,

(35)

并得到方程(35)振動(dòng)的一系列判別準(zhǔn)則,結(jié)果之一為定理2.

定理2[33]假設(shè)

(36)

如果有一個(gè)正的可微函數(shù)φ:T→R，使得

(37)

則方程(35)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的.

這是文[33]的核心結(jié)果之一,也是方程(35)振動(dòng)性最基本的判定定理,由此定理及其證明的基本思想,就可引導(dǎo)出方程(35)振動(dòng)的一系列判定定理(如Kamenev型振動(dòng)準(zhǔn)則及Philos型振動(dòng)準(zhǔn)則等)[33-35].若條件(36)不成立,則有定理3.

定理3[33]假設(shè)

(38)

如果條件(37)成立, 并且

(39)

則在[t0,∞)T上方程(35)的每一個(gè)解x(t)或者振動(dòng)或者收斂于0.

定理4[10]假設(shè)條件(38)成立, 并且

(40)

但另一方面,對(duì)于下列二階Euler微分方程

(t2x′(t))′+q0x(t)=0.

(41)

以上面這些研究為契機(jī),文[40]再次討論了方程(33)的振動(dòng)性,得到了該方程的一個(gè)Philos型振動(dòng)準(zhǔn)則(由于此振動(dòng)準(zhǔn)則篇幅較長(zhǎng),故在此不作敘述),此振動(dòng)準(zhǔn)則雖然解決了二階Euler微分方程(41)振動(dòng)性的判別問(wèn)題,但卻要求γ≥1是2個(gè)正奇數(shù)之商,當(dāng)γ是大于0的任意實(shí)數(shù)時(shí)其結(jié)果是不成立的,文[41]的結(jié)果亦是如此.根據(jù)以上研究成果,作者在文[42]中討論了一類(lèi)非常廣泛的二階阻尼動(dòng)力方程(17)的振動(dòng)性,主要結(jié)果為定理5.

定理5[42]設(shè)0≤B(t)<1且

(42)

(43)

當(dāng)λ>β時(shí)，有

(44)

這是文[42]的核心定理之一,由此定理及其證明的思路就可推出方程(17)的各種振動(dòng)性定理(包括當(dāng)條件(43)或(44)不成立時(shí)的振動(dòng)準(zhǔn)則)[42]. 顯然,此定理解決了二階Emden-Fowler型動(dòng)力方程當(dāng)λ≠β時(shí)的振動(dòng)問(wèn)題.

如果條件(42)不成立,就有定理6.

(45)

如果存在函數(shù)φ∈C1(T,(0,∞))，使得當(dāng)λ≤β時(shí)(43)式成立,當(dāng)λ>β時(shí)(44)式成立,進(jìn)一步,若

(46)

其中

(47)

(48)

(49)

則方程(17)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的.

以上定理5、6對(duì)兩種情形的Euler微分方程(q0>0是常數(shù))

(50)

及方程(41)均能得到結(jié)果：當(dāng)q0>1/4時(shí)方程是振動(dòng)的.

其他類(lèi)型方程振動(dòng)的判別條件可參見(jiàn)文[44-47].當(dāng)中立項(xiàng)的系數(shù)函數(shù)B(t)不滿足條件0≤B(t)<1時(shí),由于研究較為困難,這種情形方程(17)的振動(dòng)性成果比較少,只有一些簡(jiǎn)單情形的振動(dòng)準(zhǔn)則[48-52].對(duì)方程(17),此時(shí)可引入一雙廣義的Riccati變換

(51)

及

(52)

通過(guò)對(duì)這一雙Riccati變換進(jìn)行仔細(xì)綜合分析、研究和推導(dǎo)運(yùn)算后，得到方程(17)振動(dòng)的一個(gè)充分條件，即定理7.

定理7[53]設(shè)條件(42)成立,0≤B(t)≤b0<+∞，如果存在函數(shù)φ∈C1(T,(0,∞))，使得

(53)

(54)

則方程(17)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的.

當(dāng)條件(42)不滿足而滿足(45)時(shí), 引入另一雙廣義的Riccati變換

(55)

(56)

通過(guò)對(duì)這一雙Riccati變換進(jìn)行仔細(xì)綜合分析、研究和推導(dǎo)運(yùn)算后，得到方程(17)振動(dòng)的一個(gè)充分條件，即定理8.

定理8[53]設(shè)條件(45)成立,0≤B(t)≤b0<+∞，如果存在函數(shù)φ∈C1(T,(0,∞))，使得(56)式與

(57)

同時(shí)函數(shù)

(58)

(59)

則方程(17)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的.

由定理7、8及其證明思想,就可引導(dǎo)出方程(17)當(dāng)0≤B(t)≤b0<+∞時(shí)振動(dòng)的一系列判定定理(如Kamenev型振動(dòng)準(zhǔn)則及Philos型振動(dòng)準(zhǔn)則等)[53].

同樣,定理7、8對(duì)兩種情形的Euler微分方程(50)及(41)均能得到結(jié)果:當(dāng)q0>1/4時(shí)方程是振動(dòng)的.

例1 考慮時(shí)間測(cè)度鏈T=[l,+∞)(l>1為常數(shù))上的動(dòng)力方程

(60)

其中：m=1,2,3,…，且

容易驗(yàn)證,定理5的所有條件都是滿足的,于是由定理5知,方程(60)是振動(dòng)的.

例2 考慮動(dòng)力方程

(61)

其中：p0>0是常數(shù). 可以驗(yàn)證,當(dāng)p0>1/2時(shí)定理6的所有條件都是滿足的,于是由定理6知,當(dāng)p0>1/2時(shí)方程(61)是振動(dòng)的.

例3 考慮動(dòng)力方程

(62)

3 其他動(dòng)力方程的振動(dòng)性進(jìn)展

到目前為止,關(guān)于時(shí)間測(cè)度鏈上具有正負(fù)系數(shù)的動(dòng)力方程振動(dòng)性的研究?jī)H有為數(shù)不多的幾篇論文[54-57].在時(shí)間測(cè)度鏈上中立型動(dòng)力方程中,當(dāng)中立項(xiàng)的系數(shù)函數(shù)B(t)≤0時(shí),其振動(dòng)性成果不多,僅當(dāng)-1

關(guān)于時(shí)間測(cè)度鏈上3階或4階動(dòng)力方程的振動(dòng)性,也出現(xiàn)了一定數(shù)量的研究論文[61-69],但總體成果卻不是很多,而關(guān)于n階動(dòng)力方程的振動(dòng)理論方面的論文就更少了[70-75].因此,從目前公開(kāi)的關(guān)于3階及3階以上的高階動(dòng)力方程的研究成果來(lái)看,其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)(如振動(dòng)與非振動(dòng)性、穩(wěn)定性、漸近性等)既不完善也不成熟, 因此這類(lèi)方程的定性理論也是值得挖掘的內(nèi)容之一.

關(guān)于時(shí)間測(cè)度鏈上二維動(dòng)力方程(即動(dòng)力方程組)的有關(guān)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究目前也不多見(jiàn)[76-78],如文[76]研究了下列二維動(dòng)力方程(t∈T)

(63)

建立了二維動(dòng)力方程(63)所有解振動(dòng)的一些充分條件.目前,有關(guān)這類(lèi)方程的定性理論的研究尚無(wú)多少進(jìn)展,因此這類(lèi)方程的定性理論也是值得探索的內(nèi)容之一.

綜上所述,時(shí)間測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程是一個(gè)較新的領(lǐng)域,也是有著廣泛應(yīng)用前景的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支,目前雖然出現(xiàn)一定數(shù)量的研究成果,并在一定程度上統(tǒng)一了相應(yīng)的微分方程和差分方程的有關(guān)結(jié)論,但其整體理論還處在剛剛開(kāi)始起步的萌芽階段,其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)如振動(dòng)理論、漸近理論及其應(yīng)用等問(wèn)題的研究,仍然在深入探索之中,研究?jī)?nèi)容廣泛且豐富,其理論和方法既不成熟也不完善,有待于進(jìn)一步探索和研究,有許多未知的領(lǐng)域有待數(shù)學(xué)工作者去開(kāi)拓,也有許多方法和問(wèn)題等待我們?nèi)ネ诰蚝徒鉀Q,這些是值得數(shù)學(xué)工作者及自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的有關(guān)研究工作者廣泛關(guān)注的.

[1] MAY R M. Simple mathematical models with very complicated dynamics[J]. Nature, 1976, 261 (10): 459-467.

[2] 張炳根. 測(cè)度鏈上微分方程的進(jìn)展[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2004, 34 (5): 907-912.

[3] ERBE L H, ZHANG B G. Oscillation of discrete analogues of delay equations[C]//In International Conference on Theory and Applications of Differential Equations， 1988: 21-25.

[4] HILGER S. Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Math, 1990, 18: 18-56.

[5] AGARWAL R P, BOHNER M, LI W T. Nonoscillation and oscillation: Theory for functional differential equations[M]. New York: Marcel Dekker, 2004.

[6] AGARWAL R P, BOHNER M, SAKER S H. Oscillation of second order delay dynamic equations[J]. Canadian Applied Mathematics Quarterly, 2005, 13 (1): 1-18.

[7] AGARWAL R P, BOHNER M, O′REGAN D, et al. Dynamic equations on time scales: a survey[J]. J Comput Appl Math, 2002, 141 (1/2): 1-26.

[8] BOHNER M, PETERSON A. Dynamic equations on time scales, an introduction with applications[M]. Boston : Birkhauser, 2001.

[9] SAHINER Y. Oscillation of second order delay differential equations on time scales[J]. Nonlinear Analysis, TMA, 2005, 63: 1073-1080.

[10] ZHANG Q X. Oscillation of second-order half-linear delay dynamic equations with damping on time scales[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2011, 235: 1180-1188.

[11] ERBE L, PETERSON A, SAKER S H. Oscillation criteria for second-order nonlinear delay dynamic equations[J]. J Math Anal Appl, 2007, 333: 505-522.

[12] SAKER S H. Oscillation of second-order nonlinear neutral delay dynamic equations on time scales[J]. J Comput Appl Math, 2006, 187: 123-141.

[13] WU H W, ZHUANG R K, MATHSEN R M. Oscillation criteria for second-order nonlinear neutral variable delay dynamic equations[J]. Appl Math Comput, 2006, 178: 321-331.

[14] SAHINER Y. Oscillation of second-order neutral delay and mixed-type dynamic equations on time scales[J]. Adv Diff Eq, 2006: 1-9.

[15] SAKER S H, AGARWAL R P, O’REGAN D. Oscillation results for second-order nonlinear neutral delay dynamic equations on time scales[J]. Applicable Analysis, 2007, 86: 1-17.

[16] DZURINA J, STAVROUAKIS I P. Oscillation criteria for second order delay differential equations[J]. Appl Math Comput, 2003, 14 (3): 445-453.

[17] SUN Y G, MENG F W. Note on the paper of dzurina and stavrouakis[J]. Appl Math Comput, 2006, 27 (4): 1634-1641.

[18] JIU G D. Oscillation behavior of second order nonlinear neutral differential equations with deviating arguments[J]. Comput Math Appl, 2010, 59 (4): 3710-3717.

[19] AGARWAL R P, BOHNER M, LI, ZHANG C. Oscillation criteria for second-order dynamic equations on time scales[J]. Applied Mathematics Letters, 2014, 31: 34-40.

[20] TANG S, GAO C, LI T. Oscillation theorems for second-order quasi-linear delay dynamic equations[J]. Bull Malays Math Sci Soc, 2013, 36 (4): 907-916.

[21] AGARWAL R P, ZHANG C, LI T. New Kamenev-type oscillation criteria for second-order nonlinear advanced dynamic equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 225: 822-828.

[22] LI T, SAKER S H. A note on oscillation criteria for second-order neutral dynamic equations on isolated time scales[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2014, 19: 4185-4188.

[23] 楊甲山. 時(shí)間軸上一類(lèi)二階動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)條件[J]. 中央民族大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2017, 26 (2): 20-28.

[24] 楊甲山, 莫協(xié)強(qiáng). 時(shí)間軸上一類(lèi)二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)振蕩的充分條件[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2014, 38 (5): 1-6.

[25] 楊甲山, 譚偉明, 蘇芳, 等. 時(shí)間模上二階非線性中立型時(shí)滯泛函動(dòng)態(tài)方程的振蕩性[J]. 南開(kāi)大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2015, 48 (3): 24-31.

[26] 于強(qiáng), 楊甲山. 時(shí)間測(cè)度鏈上一類(lèi)二階非線性中立型泛函動(dòng)態(tài)方程的振蕩性[J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2015, 51 (5): 12-17.

[27] 楊甲山, 方彬. 時(shí)間模上一類(lèi)二階非線性中立型泛函動(dòng)態(tài)方程的振蕩性[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)漢文版), 2016, 45 (5): 603-609.

[28] ANDERSON D R, SAKER S H. Interval oscillation criteria for forced Emden-Fowler functional dynamic equations with oscillatory potential[J]. Sci China Math, 2013, 56: 561-576.

[29] GüVENILIR A F, NIZIGIYIMANA F. Oscillation criteria for second-order quasi-linear delay dynamic equations on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2014, 2: 45-54.

[30] SHI Y, HAN Z, SUN Y. Oscillation criteria for a generalized Emden-Fowler dynamic equation on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2016, 2: 63-71.

[31] BOHNER M, HASSAN T S, LI T. Fite-Hille-Wintner-type oscillation criteria for second-order half-linear dynamic equations with deviating arguments[DB/OL]. [2017-01-03]. https: //doi. org/10. 1016/j. indag. 2017. 10. 006.

[32] ERBE L, HASSAN T S, PETERSON A. Oscillation criteria for nonlinear damped dynamic equations on time scales[J]. Appl Math Comput, 2008, 203: 343-357.

[33] 張全信, 高麗. 時(shí)間尺度上具阻尼項(xiàng)的二階半線性時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J]. 中國(guó)科學(xué): 數(shù)學(xué), 2010, 40 (7): 673-682.

[34] 張全信, 高麗, 劉守華. 時(shí)間尺度上具阻尼項(xiàng)的二階半線性時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)準(zhǔn)則 (II)[J]. 中國(guó)科學(xué): 數(shù)學(xué), 2011, 41 (10): 885-896.

[35] 張全信, 高麗, 劉守華. 時(shí)間尺度上具阻尼項(xiàng)的二階半線性時(shí)滯動(dòng)力方程振動(dòng)性的新結(jié)果[J]. 中國(guó)科學(xué): 數(shù)學(xué), 2013, 43 (8): 793-806.

[36] 孫一冰, 韓振來(lái), 孫書(shū)榮, 等. 時(shí)間尺度上一類(lèi)二階具阻尼項(xiàng)的半線性中立型時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 36 (3): 480-494.

[37] YANG J S, QIN X W, ZHANG X J. Oscillation criteria for certain second-order nonlinear neutral delay dynamic equations with damping on time scales[J]. Mathematica Applicata, 2015, 28 (2): 439-448.

[38] YANG J S, QIN X W. Oscillation criteria for certain second-order Emden-Fowler delay functional dynamic equations with damping on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2015, 2 (1): 97-113.

[39] 楊甲山, 方彬. 時(shí)間測(cè)度鏈上一類(lèi)二階非線性時(shí)滯阻尼動(dòng)力方程的振動(dòng)性分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 2017, 30 (1): 16-26.

[40] BOHNER M, LI T. Kamenev-type criteria for nonlinear damped dynamic equations[J]. Sci China Math, 2015, 58: 1445-1452.

[41] AGARWAL R P, BOHNER M, LI T. Oscillatory behavior of second-order half-linear damped dynamic equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 254: 408-418.

[42] 楊甲山. 時(shí)間測(cè)度鏈上一類(lèi)二階Emden-Fowler型動(dòng)態(tài)方程的振蕩性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 39 (3): 334-350.

[43] 楊甲山. 時(shí)間測(cè)度鏈上二階Emden-Fowler型動(dòng)態(tài)方程的振動(dòng)性[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào) (理學(xué)版), 2017, 55 (1)： 12-16.

[44] YANG J S. Oscillation of second-order nonlinear dynamic equation on time scales[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2013, 28 (2): 172-179.

[45] YANG J S, SU F. Oscillation criteria for certain second-order nonlinear dynamic equations with damping[J]. Mathematica Applicata, 2014, 27 (2): 392-404.

[46] 楊甲山. 時(shí)標(biāo)上一類(lèi)具阻尼項(xiàng)的二階動(dòng)態(tài)方程的振蕩性[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2014, 34 (6): 734-751.

[47] YANG J S, QIN X W, ZHANG X J. Oscillation criteria for certain second-order nonlinear neutral delay dynamic equations with damping on time scales[J]. Mathematica Applicata, 2015, 28 (2): 439-448.

[48] HAN Z, LI T, SUN S, et al. On the oscillation of second-order neutral delay dynamic equations on time scales[J]. African Diaspora Journal of Mathematics, 2010, 9 (1): 76-86.

[49] ZHANG C, AGARWAL R P, BOHNER M, et al. New oscillation results for second-order neutral delay dynamic equations[J]. Advances in Difference Equations, 2012, 4: 22-27.

[50] 楊甲山, 莫協(xié)強(qiáng). 時(shí)間模上一類(lèi)二階非線性動(dòng)態(tài)方程的振動(dòng)結(jié)果[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2015, 39 (1): 1-7.

[51] 楊甲山, 譚偉明, 覃學(xué)文, 等. 時(shí)間模上二階非線性阻尼動(dòng)力方程的振動(dòng)性分析[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào) (理學(xué)版), 2016, 43 (1): 64-70.

[52] 楊甲山, 張曉建. 時(shí)間模上一類(lèi)二階非線性動(dòng)態(tài)方程振蕩性的新結(jié)果[J]. 華東師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2017 (3): 54-63.

[53] 楊甲山, 李同興. 時(shí)間模上一類(lèi)二階阻尼Emden-Fowler型動(dòng)態(tài)方程的振蕩性[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2017, 37 (6): 993-1015.

[54] CHEN D X, QU P X, LAN Y H. Oscillation of second-order nonlinear dynamic equations with positive and negative coefficients[J]. Advances in Difference Equations, 2013, 3: 168-175.

[55] 楊甲山. 時(shí)間測(cè)度鏈上具正負(fù)系數(shù)的二階阻尼動(dòng)力方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2014, 34A (2): 393- 408.

[56] DENG X H, WANG Q R, AGARWAL R P. Oscillation and nonoscillation for second order neutral dynamic equations with positive and negative coefficients on time scales[J]. Advances in Difference Equations， 2014, 2: 1-7.

[57] DENG X H, WANG Q R, ZHOU Z. Oscillation criteria for second order neutral dynamic equations of Emden-Fowler type with positive and negative coefficients on time scales[J]. Sci China Math, 2017, 60: 113-132.

[58] 孫書(shū)榮, 韓振來(lái), 張承慧. 時(shí)間尺度上二階Emden-Fowler中立型時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2008, 42 (12): 2070-2073.

[59] SUN Y, HAN Z, LI T, et al. Oscillation criteria for second-order quasilinear neutral delay dynamic equations on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2010, 22： 51-63.

[60] BOHNER M, LI T. Oscillation of second-orderp-Laplace dynamic equations with a nonpositive neutral coefficient[J]. Applied Mathematics Letters, 2014, 37: 72-76.

[61] QIU Y C, ZADA A, QIN H, et al. Oscillation criteria for nonlinear third-order neutral dynamic equations with damping on time scales[J]. Journal of Function Spaces, 2017, 32： 80-89.

[62] LI T, ZHANG C. Properties of third-order half-linear dynamic equations with an unbounded neutral coefficient[J]. Advances in Difference Equations, 2013, 4: 33-41.

[63] YANG J S. Oscillation criteria for certain third-order variable delay functional dynamic equations on time scales[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing, 2013, 43 (1/2): 445-466.

[64] CANDAN T. Asymptotic properties of solutions of third-order nonlinear neutral dynamic equations[J]. Advances in Difference Equations, 2014, 1: 35-43.

[65] QIU Y C. Oscillation criteria of third-order nonlinear dynamic equations with nonpositive neutral coefficients on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2015, 2: 29-38.

[66] QIU Y C. On nonoscillatory solutions tending to zero of third-order nonlinear dynamic equations on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2016, 1: 10-18.

[67] QIUA Y C, ZADA A, TANGC S, et al. Existence of nonoscillatory solutions to nonlinear third-order neutral dynamic equations on time scales[J]. J Nonlinear Sci Appl, 2017, 10: 4352-4363.

[68] MOAAZ O, ELABBASY E M, BAZIGHIFAN O. On the asymptotic behavior of fourth-order functional differential equations[J]. Advances in Difference Equations, 2017, 2: 26-37.

[69] ZHANG C H, AGARWAL R P, BOHNER M, et al. Oscillation of fourth-order delay dynamic equations[J]. Sci China Math, 2015, 58: 143-160.

[70] WU X, SUN T, XI H, et al. Kamenev-type oscillation criteria for higher-order nonlinear dynamic equations on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2013, 2: 24-33.

[71] YANG J S. Oscillation fornth-order nonlinear neutral delay dynamic equations on time scales[J]. Mathematica Applicata, 2013, 26 (4): 816-827.

[72] SUN T, YU W, HE Q. New oscillation criteria for higher order delay dynamic equations on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2014, 4: 32-41.

[73] TAO C, SUN T, XI H. Existence of the nonoscillatory solutions of higher order neutral dynamic equations on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2015, 2: 27-35.

[74] TAO C, SUN T, HE Q. Nonoscillation for higher-order nonlinear delay dynamic equations on time scales[J]. Advances in Difference Equations, 2016, 1: 58-66.

[75] HASSAN T S. Asymptotics and oscillation of higher-order functional dynamic equations with Laplacian and deviating arguments[J]. Advances in Difference Equations, 2017, 2: 14-26.

[76] Xu Y, Xu Z. Oscillation criteria for two-dimensional dynamic systems on time scales[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 22: 59-69.

[77] XU Z T, XIE H H. Oscillation of certain two-dimensional dynamic system[J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2013, 30 (5): 756-760.

[78] YU J C, DENG L H. Oscillation criteria for two-dimensional dynamic systems with variable delay on time scales[J]. Mathematica Applicata, 2013, 26 (4): 839-845.