考慮導(dǎo)彈1階駕駛儀的近似最小加速度峰值導(dǎo)引律

郭琨， 楊樹興

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院， 北京 100081)

0 引言

隨著制導(dǎo)武器的快速發(fā)展以及現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)其性能要求的日益提高，攻擊角度約束在精確打擊任務(wù)中日益常見。然而，制導(dǎo)火箭彈和靜穩(wěn)定度較高的的導(dǎo)彈因末端恢復(fù)力矩過大，而使操縱能力嚴(yán)重受限，可用過載偏小[1]，難以在現(xiàn)有制導(dǎo)控制方法下兼顧落點(diǎn)和落角的高精度要求。因此，亟須研究如何在滿足大落角約束條件下，降低需用法向加速度(即法向加速度峰值)的制導(dǎo)控制方法。

最小化加速度峰值問題為一種最大值最小化問題。這類問題的研究集中于20世紀(jì)八九十年代，通常先將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)最優(yōu)控制問題[2-3]，并推導(dǎo)出最優(yōu)解的必要條件[4-7]，再用數(shù)值方法求解兩點(diǎn)或多點(diǎn)邊值問題[8-9]。然而這套方法因數(shù)值計(jì)算量龐大，而不便于彈上實(shí)時(shí)解算。文獻(xiàn)[10]針對(duì)最小化加速度峰值問題，基于非線性模型證明了當(dāng)不考慮系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)時(shí)，加速度峰值最小的導(dǎo)引律為解析的圓弧- 直線導(dǎo)引律(CLGL)。但是，當(dāng)系統(tǒng)存在慣性環(huán)節(jié)時(shí)，CLGL將產(chǎn)生終端誤差甚至失效，目前只能用數(shù)值方法，如近十年發(fā)展起來(lái)的高斯偽譜法[11]得到該問題的最優(yōu)解。

在帶落角約束的導(dǎo)引律研究領(lǐng)域中，最常見的方法為基于比例導(dǎo)引律[12-14]、基于最優(yōu)控制方法[15-20]、基于自適應(yīng)控制[21]、滑?？刂坪头床娇刂芠22-24]等方法設(shè)計(jì)導(dǎo)引律，這些方法雖然各有不同的優(yōu)勢(shì)，但在兼顧考慮系統(tǒng)慣性、非線性以及解的最優(yōu)性上，依然有難度。如基于最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)導(dǎo)引律時(shí)，為得到解析形式的解，通常要忽略自動(dòng)駕駛儀的慣性或采用線性化模型，而其他幾種方法并不具備最優(yōu)性。多項(xiàng)式導(dǎo)引律(PGL)[25]是在同時(shí)忽略自動(dòng)駕駛儀慣性和線性化模型的基礎(chǔ)上，得到解析形式的導(dǎo)引律，當(dāng)其作用于1階慣性系統(tǒng)時(shí)，控制指令會(huì)出現(xiàn)振蕩發(fā)散[26]。不過PGL有一個(gè)特性：在某些初始條件下，峰值加速度會(huì)出現(xiàn)在初始時(shí)刻，此性質(zhì)便于通過控制初始加速度值來(lái)控制全導(dǎo)引過程中的加速度幅值。

此外，還有基于某種幾何曲線設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律，而此類方法中又以圓弧類導(dǎo)引律為多見。文獻(xiàn)[27]為保證彈道在一定時(shí)間內(nèi)收斂到圓弧軌跡上，在增益為2的比例導(dǎo)引律基礎(chǔ)上加入了線性的角度偏差修正項(xiàng)，但此種方法容易在導(dǎo)引初始階段產(chǎn)生較大的過載。文獻(xiàn)[28]基于追蹤法和圓弧導(dǎo)引，設(shè)計(jì)了布撒器的組合導(dǎo)引律，通過根據(jù)布撒器的可用過載來(lái)設(shè)置追蹤法導(dǎo)引段的導(dǎo)引系數(shù)，以降低后面圓弧段的需用過載。文獻(xiàn)[29]在研究水下側(cè)向垂直攻擊問題時(shí)，為了增加導(dǎo)彈對(duì)動(dòng)力學(xué)滯后和目標(biāo)機(jī)動(dòng)的魯棒性，在圓弧加直線的導(dǎo)引策略中引入捕獲帶寬概念，若導(dǎo)彈初始不在捕獲帶寬中，則以最大加速度(可用過載)做反向圓弧機(jī)動(dòng)。文獻(xiàn)[30-31]針對(duì)帶終端角度約束的再入飛行器末制導(dǎo)問題，分別設(shè)計(jì)了二維和三維的圓軌跡制導(dǎo)律，通過定義兩個(gè)圓軌跡跟蹤誤差矢量(一個(gè)速度方向誤差，一個(gè)向心力誤差)，縮短了飛行軌跡，減小了速度損失。文獻(xiàn)[32]沿著標(biāo)稱的圓形彈道對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行線性化，進(jìn)而設(shè)計(jì)了二次型最優(yōu)導(dǎo)引律，仿真算例顯示，即使實(shí)際彈道偏離標(biāo)稱彈道較遠(yuǎn)也能實(shí)現(xiàn)較高的落角精度。以上研究均沒有主動(dòng)加入對(duì)系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)的補(bǔ)償，且文獻(xiàn)[28-29]需提前知道可用過載，文獻(xiàn)[28, 30, 31]均需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，提前調(diào)節(jié)出合適的導(dǎo)引系數(shù)。綜上所述，國(guó)內(nèi)外關(guān)于帶落角約束的導(dǎo)引律均未涉及最小化加速度峰值問題，而關(guān)于圓弧類導(dǎo)引律的研究較少考慮系統(tǒng)的慣性，在一定程度上限制了其在末端可用加速度受限彈藥上的應(yīng)用。

本文在CLGL的基礎(chǔ)上提出了一種同時(shí)考慮系統(tǒng)慣性和非線性的解析形式且加速度峰值近似最小的導(dǎo)引律。通過將CLGL的末段替換為一種改進(jìn)的帶1階慣性補(bǔ)償項(xiàng)的PGL(CPGL)，形成組合導(dǎo)引律(CL-CPGL)。通過切換點(diǎn)的設(shè)計(jì)，使CPGL部分既能修正終端位置和角度誤差，又能保證切換點(diǎn)后的加速度幅值不超過切換點(diǎn)處，從而實(shí)現(xiàn)了CL-CPGL的有效性及近似最優(yōu)性。

1 問題描述和研究回顧

1.1 問題描述

已知導(dǎo)彈飛行末段的初始位置和速度方向，導(dǎo)引導(dǎo)彈以一定角度攻擊地面固定目標(biāo)，使得彈道上的最大法向加速度最小，幾何關(guān)系如圖1所示。X0(x0,y0)和Xf(xf,yf)分別為導(dǎo)彈初始位置和終點(diǎn)位置，下標(biāo)0和f分別表示初始和終端時(shí)刻；vM為導(dǎo)彈速度矢量，an為導(dǎo)彈法向加速度矢量(包含重力加速度)；規(guī)定坐標(biāo)軸Oy與終點(diǎn)速度約束vM(tf)反方向平行；θ和σ分別為速度矢量、彈目視線與Oy軸的夾角(逆時(shí)針方向?yàn)檎?≤θ0<π，0≤σ0<π/2，θf(wàn)=σf=0)。假設(shè)彈道只向一側(cè)彎曲即an(t)≤0 m/s2，且導(dǎo)彈速度恒定，則該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

式中：θ0、θf(wàn)、x0、xf、y0、yf為固定常數(shù)；u為控制指令；τ為1階慣性常數(shù)。

圖1 平面幾何關(guān)系圖Fig.1 Planar engagement geometry

1.2 CLGL簡(jiǎn)介

對(duì)無(wú)慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)，控制指令u(t)=an(t)，問題(1)式可通過引入1個(gè)輔助狀態(tài)xa=const>0(下標(biāo)a表示輔助變量)和1個(gè)路徑約束-xa(t)≤an(t)≤0將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為Mayer型：J=xa(tf). 記協(xié)態(tài)為λ=[λθ,λx,λy,λa]T，則哈密爾頓函數(shù)為

(2)

系統(tǒng)正則方程為

(3)

(4)

橫截條件為

(5)

由極大值原理有

(6)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，以上必要條件可推導(dǎo)出無(wú)慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)的解析最優(yōu)解u*(t)，其所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)彈道根據(jù)初始角度關(guān)系，有以下3種情況(見圖2)：當(dāng)θ0>2σ0時(shí)為圓弧- 直線(CL型)；當(dāng)θ0=2σ0時(shí)為圓弧(C型)；當(dāng)θ0<2σ0時(shí)為直線- 圓弧(LC型)。綜合各圓弧和直線導(dǎo)引段上的角度關(guān)系，可得到無(wú)慣性系統(tǒng)加速度峰值最小的導(dǎo)引律，記為CLGL：

(7)

圖2 無(wú)慣性系統(tǒng)3種初始幾何關(guān)系下加速度峰值最小的彈道Fig.2 Minimax acceleration trajectories of lag-free systems under three initial geometry conditions

而實(shí)際的導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀存在動(dòng)力學(xué)滯后，通常用1階慣性環(huán)節(jié)來(lái)近似，即

(8)

此時(shí)，加速度峰值最小問題不存在解析解，在轉(zhuǎn)化為常規(guī)最優(yōu)控制問題后可用數(shù)值優(yōu)化方法求解，但不便于彈上實(shí)時(shí)解算。因此，本文嘗試推導(dǎo)一種近似最優(yōu)的解析解。

2 1階慣性環(huán)節(jié)對(duì)CLGL導(dǎo)引的影響

本節(jié)將分析1階慣性環(huán)節(jié)對(duì)CLGL導(dǎo)引的影響，為后續(xù)導(dǎo)引律改進(jìn)及證明提供依據(jù)。

2.1 圓弧段的收斂性

在圓弧段上，控制指令為

(9)

令aΔ(t)?uCL(t)-an(t)，則

(10)

式中：方括號(hào)項(xiàng)的符號(hào)決定了aΔ(t)收斂與否。當(dāng)θ0比σ0足夠大，且an(t)向uCL(t)收斂時(shí)，方括號(hào)項(xiàng)為負(fù)，記為

(11)

式中：c為一個(gè)正常數(shù)。因此(10)式的解滿足：

|aΔ(t)|<|aΔ(0)|e-ct，

(12)

即aΔ(t)按指數(shù)收斂至0. 可見，可通過圓弧段自身的收斂能力消除圓弧段初始時(shí)an(t)與uCL(t)的誤差。這一性質(zhì)將為后續(xù)CL-CPGL的設(shè)計(jì)提供一個(gè)假設(shè)依據(jù)。

2.2 慣性環(huán)節(jié)對(duì)彈道的影響

2.2.1 控制指令增大

(9)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(13)

2.2.2 彈道結(jié)構(gòu)改變

在1階慣性環(huán)節(jié)的影響下，C型和LC型最優(yōu)軌跡分別演化為CL型和直線- 圓弧- 直線(LCL型)軌跡。為避免繁瑣的求導(dǎo)，此處借助幾何關(guān)系來(lái)證明。

先定義兩個(gè)圓弧，如圖3所示：C*(t)為當(dāng)前最優(yōu)彈道上的圓弧，其半徑r*(t)為

(14)

(15)

式中：d為彈目距離。結(jié)合(9)式、(14)式和(15)式可得到一對(duì)等價(jià)關(guān)系：

R(t)>r*(t)?θ(t)>2σ(t).

(16)

圖3 圓弧導(dǎo)引段上C*(t)和變化示意圖Fig.3 Changes in C*(t) and (t) on the circular arc guidance phase

3 CL-CPGL設(shè)計(jì)

基于第2節(jié)的分析，本節(jié)將對(duì)CLGL尾部的直線導(dǎo)引段進(jìn)行改進(jìn)，使其既能修正終點(diǎn)位置和角度誤差，又能保持CLGL前段已經(jīng)出現(xiàn)的最大加速度值，即改進(jìn)段不增大加速度峰值。

PGL是針對(duì)線性無(wú)慣性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種落角約束導(dǎo)引律，具有加速度峰值出現(xiàn)在初始時(shí)刻的良好特性，但文獻(xiàn)[13]關(guān)于此性質(zhì)的證明僅限于初始幾何關(guān)系為情況A(見圖4)，而本文的初始情況為情況B，因此需要重新證明此性質(zhì)。另外須對(duì)PGL進(jìn)行慣性補(bǔ)償，以消除其作用于1階慣性系統(tǒng)時(shí)所產(chǎn)生的振蕩發(fā)散現(xiàn)象。

圖4 文獻(xiàn)[13]與本文分別對(duì)應(yīng)的初始幾何關(guān)系圖Fig.4 Schematic diagram of two initial homing conditions in Ref.[13] and the present paper

基于以上分析，本節(jié)將CLGL尾部的直線導(dǎo)引段替換為CPGL導(dǎo)引段，形成CL-CPGL，并對(duì)其特性進(jìn)行證明。

CLGL和CPGL分別是在非線性模型和線性模型下推導(dǎo)的，但由于CL-CPGL在切換時(shí)刻角度較小，自動(dòng)滿足CPGL的線性假設(shè)需求，所以CL-CPGL不受初始小角度的限制。

3.1 CL-CPGL表達(dá)式

切換條件為

(17)

式中：θ(t)≥2σ(t)表示在圓弧導(dǎo)引段上。組合導(dǎo)引律的表達(dá)式為

(18)

式中：

(19)

(20)

(21)

tg為剩余時(shí)間，tg=tf-t，tf的估算方法見文獻(xiàn)[13]，m和n為導(dǎo)引常數(shù)，n>m≥0.

3.2 CL-CPGL的有效性證明

3.2.1 切換點(diǎn)的存在性

定理1CL-CPGL必以CPGL結(jié)束，即切換條件一定會(huì)滿足。

證明1根據(jù)2.1節(jié)的分析，可認(rèn)為an(t)在圓弧段上收斂足夠快，在切換條件(17)式滿足時(shí)，an(t)已收斂，即an(t)=uCL(t)，所以(17)式可以重寫為

(22)

1)證明條件(22)式能夠成立等價(jià)于存在時(shí)間ts，使得

(23)

記rσθ?σ(ts)/θ(ts)，將(20)式和sin (θ(ts))≈θ(ts)代入(22)式，化簡(jiǎn)后可得

rσθ[rσθ(m+2)(n+2)-(m+n+3)]=0,

(24)

此一元二次方程的兩個(gè)根為

(25)

(26)

θ(t)的1階導(dǎo)數(shù)為

(27)

將(26)式和(27)式代入(21)式可得

(28)

另一方面，

(29)

②分析λ1的取值范圍。根據(jù)(23)式可知，λ1與m和n都負(fù)相關(guān)，其中當(dāng)m=0且n=1時(shí)，λ1取到最大值1/6；當(dāng)m→∞且n→∞時(shí)，λ1取到最小值0. 所以λ1的取值在區(qū)間(0,1/6]上。

綜合σ(t)/θ(t)和λ1的取值范圍，當(dāng)θ0≤2σ0時(shí)，σ(t)/θ(t)在圓弧段上從1/2單調(diào)遞減到0，覆蓋區(qū)間(0,1/6]，所以一定存在某個(gè)時(shí)刻ts，使σ(t)/θ(t)=λ1；當(dāng)θ0>2σ0時(shí)，σ(t)/θ(t)從σ0/θ0單調(diào)遞減到0，若θ0/σ0<6，σ(t)/θ(t)的變化范圍可覆蓋區(qū)間(0,1/6]，若θ0/σ0≥6，則可以通過設(shè)置較大的m和n使λ1≤σ0/θ0，從而使ts存在。

綜上，CL-CPGL能夠保證切換點(diǎn)存在，以CPGL結(jié)束導(dǎo)引。證畢。

3.2.2 CPGL導(dǎo)引段的有效性

定理2CPGL導(dǎo)引段滿足終端約束且不增加加速度峰值。

證明2為方便描述，先定義兩個(gè)系統(tǒng)：系統(tǒng)Ⅰ為以切換點(diǎn)為起點(diǎn)的無(wú)慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)，系統(tǒng)Ⅱ?yàn)橐郧袚Q點(diǎn)為起點(diǎn)的1階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)，即這兩個(gè)系統(tǒng)都滿足：

(30)

則CPGL的有效性可通過先證明PGL的有效性，再證明CPGL對(duì)系統(tǒng)Ⅰ的作用等效于PGL對(duì)系統(tǒng)Ⅱ的作用而得到。

1)用PGL導(dǎo)引系統(tǒng)Ⅰ，加速度峰值出現(xiàn)在初始時(shí)刻。

將文獻(xiàn)[13]中系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的兩個(gè)狀態(tài)變量替換為

(31)

則uPGL(t)的閉合形式為

(32)

式中：

(33)

(34)

將(34)式代入(33)式可得

(35)

(36)

將(35)式代入(36)式可得

(37)

結(jié)合λ1的取值可得

(38)

(39)

而對(duì)于無(wú)慣性系統(tǒng)，an(t)=uPGL(t)，可得

(40)

因此用PGL導(dǎo)引系統(tǒng)Ⅰ時(shí)，加速度峰值出現(xiàn)在初始時(shí)刻。

2)系統(tǒng)Ⅱ在CPGL導(dǎo)引下產(chǎn)生的加速度an2(t)與系統(tǒng)Ⅰ在PGL導(dǎo)引下產(chǎn)生的加速度an1(t)相等。

在初始時(shí)刻，

an2(0)=an1(0)=uPGL(0)，

(41)

an2(t)對(duì)于時(shí)間的1階導(dǎo)數(shù)為

(42)

an1(t)=an2(t),t≥0.

(43)

因此，若從組合導(dǎo)引律切換點(diǎn)起執(zhí)行CPGL控制指令，可使1階慣性系統(tǒng)的表現(xiàn)等同于PGL作用下無(wú)慣性系統(tǒng)的表現(xiàn)，從而滿足終端約束，且保證加速度最大值出現(xiàn)在切換點(diǎn)。證畢。

綜合定理1和定理2可知，CL-CPGL會(huì)在圓弧導(dǎo)引結(jié)束前將切換至CPGL導(dǎo)引，且在切換點(diǎn)處已取得加速度峰值，并滿足終點(diǎn)位置、角度約束。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 CLGL對(duì)1階慣性系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

對(duì)3種典型的初始情況進(jìn)行仿真，驗(yàn)證1階慣性系統(tǒng)下CLGL的導(dǎo)引效果，各變量取值如表1所示，仿真結(jié)果如圖5和表2所示。從圖5(b)可見，加速度和控制指令可以在有限的一小段時(shí)間內(nèi)收斂；收斂過程中，控制指令會(huì)稍微增大；3種情況都以一段零控制指令結(jié)束導(dǎo)引，其中θ0=72°的直線導(dǎo)引段最長(zhǎng)，導(dǎo)致表2中θ0=72°時(shí)的角度誤差和位置誤差最大。以上現(xiàn)象驗(yàn)證了第2節(jié)的推斷，并說(shuō)明CLGL導(dǎo)引律對(duì)1階慣性系統(tǒng)的不佳表現(xiàn)主要由末尾的直線導(dǎo)引段造成。

表1 初始條件1

圖5 CLGL對(duì)1階慣性系統(tǒng)的仿真結(jié)果Fig.5 Simulated results of CLGL for first-order lag system

表2 CLGL終端誤差

4.2 組合導(dǎo)引律CL-CPGL對(duì)1階慣性系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

圖6 CL-CPGL對(duì)θ0=2.4σ0的仿真結(jié)果Fig.6 Simulated results of CL-CPGL for θ0=2.4σ0

初始條件仍如表1所示，初始加速度為0，導(dǎo)引常數(shù)取m=1、n=2. 圖6～圖8展示了3種初始情況即θ0為2.4σ0、2σ0、1.6σ0下的導(dǎo)引結(jié)果。從圖6(b)、7(b)和8(b)中可以看出，在圓弧段收斂后，uPGL會(huì)兩次穿越加速度曲線；當(dāng)uPGL從下往上穿越時(shí)，uCL-CPGL有一個(gè)跳躍切換。切換點(diǎn)之后，加速度絕對(duì)值不再超過此處取值。此外，an(t)在末尾會(huì)有一小段時(shí)間大于0，此時(shí)彈道往反方向彎曲，如圖6(a)、7(a)和8(a)所示。由此可見，CPGL在局部犧牲了單側(cè)彎曲特性來(lái)保證加速度峰值出現(xiàn)在它的起點(diǎn)，即CL-CPGL的切換點(diǎn)；同時(shí)CL-CPGL可以滿足1階慣性系統(tǒng)的終點(diǎn)位置和角度約束。

圖7 CL-CPGL對(duì)θ0=2σ0的仿真結(jié)果Fig.7 Simulated results of CL-CPGL for θ0=2σ0

圖8 CL-CPGL對(duì)θ0=1.6σ0的仿真結(jié)果Fig.8 Simulated results of CL-CPGL for θ0=1.6σ0

4.3 組合導(dǎo)引律CL-CPGL與數(shù)值最優(yōu)解的比較

為了檢驗(yàn)CL-CPGL的優(yōu)化效果，將其與1階慣性系統(tǒng)的最優(yōu)數(shù)值解進(jìn)行比較。借助高斯偽譜法的軟件包GPOPS計(jì)算出兩種約束下的最優(yōu)解：一種為單側(cè)彎曲約束(u(t)≤0,an(t)≤0)下的解；另一種為雙側(cè)彎曲(控制指令和加速度的上界分別取CL-CPGL對(duì)應(yīng)的值)約束下的解。 從圖9可以看出，CL-CPGL的加速度峰值與GPOPS雙側(cè)彎曲約束下計(jì)算結(jié)果很接近，優(yōu)于GPOPS單側(cè)彎曲約束下計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了CL-CPGL的近最優(yōu)性。

圖9 CL-CPGL和GPOPS數(shù)值解的比較Fig.9 Comparison of the numerical solutions by CL-CPGL and GPOPS

4.4 組合導(dǎo)引律末段CPGL對(duì)1階慣性系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證定理2中CL-CPGL的性質(zhì)，本節(jié)選取4.2節(jié)中θ0=2.4σ0情況下的切換點(diǎn)作為初始點(diǎn)(見表3)，對(duì)CPGL和PGL進(jìn)行比較以驗(yàn)證它們分別作用于1階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)與無(wú)慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)時(shí)的等效性；另外分別改變初始角度θ0和導(dǎo)引律常數(shù)m、n，以進(jìn)一步驗(yàn)證CPGL的加速度峰值出現(xiàn)在切換點(diǎn)的特性。

表3 初始條件2

4.4.1 PGL和CPGL的比較

從圖10可以看出，CPGL作用于1階慣性系統(tǒng)與PGL作用于理想系統(tǒng)產(chǎn)生的加速度(藍(lán)實(shí)線和紅圈)重合，最大幅值出現(xiàn)在初始時(shí)刻。而PGL作用于1階慣性系統(tǒng)產(chǎn)生的加速度曲線(綠實(shí)線)會(huì)振蕩，且在終點(diǎn)處發(fā)散。

圖10 CPGL和PGL的比較Fig.10 Comparisons of CPGL and PGL

4.4.2 CPGL的在不同切換角度和導(dǎo)引常數(shù)下的仿真

導(dǎo)彈初始位置、速度和時(shí)間常數(shù)由表3確定后，其他值可由θ0、m和n確定：由(20)式和(23)式可算出σ(ts)/θ(ts)，進(jìn)而得到σ0和xf，再根據(jù)(22)式算出an(0). 此處未考慮其他獨(dú)立變量vM和y0的影響是因?yàn)樗鼈儍H會(huì)讓加速度曲線橫向或縱向伸縮，并不影響加速度峰值出現(xiàn)的位置。

圖11展示了在m=1、n=2時(shí)，即使θ0增大到90°，加速度峰值依然出現(xiàn)在初始時(shí)刻。因此，雖然“組合導(dǎo)引律加速度峰值出現(xiàn)在切換點(diǎn)”是在小角度假設(shè)下推導(dǎo)的，但在大角度下依然成立。

圖11 不同導(dǎo)引常數(shù)下CPGL對(duì)1階慣性系統(tǒng)的加速度曲線Fig.11 Acceleration profiles of CPGL for first-order lag system under different guidance gains

圖12展示了在θ0=5°時(shí)，不同m、n取值下的加速度曲線。可以看出，m、n取值越大，加速度曲線越彎曲，加速度峰值也越容易出現(xiàn)在初始時(shí)刻。

圖12 不同速度角下CPGL對(duì)1階慣性系統(tǒng)的加速度曲線Fig.12 Accelerations of CPGL for first-order lag system at different initial velocity angles

5 結(jié)論

本文首先分析了駕駛儀1階慣性滯后對(duì)加速度峰值最小導(dǎo)引律——CLGL導(dǎo)引效果的影響。在此基礎(chǔ)上，提出一種帶1階慣性補(bǔ)償能力解析形式的組合導(dǎo)引律，給出了其證明，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。主要結(jié)論如下：

1) 將無(wú)慣性系統(tǒng)假設(shè)下的CLGL用于1階慣性系統(tǒng)時(shí)，3種初始幾何條件下的彈道都變?yōu)橐灾本€導(dǎo)引段結(jié)束；圓弧段能在短時(shí)間內(nèi)收斂，其對(duì)加速度峰值增大的影響較小，可以忽略；而末尾的直線段不具備誤差補(bǔ)償能力，須對(duì)其改進(jìn)。

2) 組合導(dǎo)引律以CLGL開始，必會(huì)在某一時(shí)刻滿足切換條件，切換成1階CPGL，直到導(dǎo)引結(jié)束。

3) 通過合理設(shè)計(jì)切換點(diǎn)以及對(duì)PGL進(jìn)行慣性補(bǔ)償，充分利用了CLGL和PGL的優(yōu)點(diǎn)，使組合導(dǎo)引律既具備前者優(yōu)化加速度峰值的能力，又具備后者滿足落角約束、且保持加速度峰值不增大的能力。與數(shù)值最優(yōu)解的仿真比較驗(yàn)證了組合導(dǎo)引律的近最優(yōu)性。

4) 原有PGL“加速度峰值出現(xiàn)在初始時(shí)刻”所需的初始角度條件可擴(kuò)展到更廣的情況，滿足本文組合導(dǎo)引律的導(dǎo)引場(chǎng)景。對(duì)切換點(diǎn)之后改進(jìn)導(dǎo)引律的進(jìn)一步仿真顯示，即使增大切換角度或改變導(dǎo)引常數(shù)，改進(jìn)部分依然保持加速度最大值出現(xiàn)在切換時(shí)刻的特性。說(shuō)明考慮1階慣性環(huán)節(jié)的組合導(dǎo)引律同樣適用于大初始偏離角的情形。

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[1] 楊樹興. 陸軍多管火箭武器的發(fā)展與思考[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2016, 37(7):1299-1305.

YANG Shu-xing. Progress and key points for guidance of multiple launch rocket systems[J]. Acta Armamentarii, 2016, 37(7):1299-1305.(in Chinese)

[2] Warga J. Minimizing variational curves restricted to a preassigned set[J]. Transactions on the American Mathematical Society, 1964, 112(3):432-455.

[3] Miele A, Mohanty B P, Venkataraman P, et al. Numerical solution of minimax problems of optimal control, part 1[J]. Journal of Optimization Theory & Applications, 1982, 38(1):97-109.

[4] Powers W F. A Chebyshev minimax technique oriented to aerospace trajectory optimization problems[J]. AIAA Journal, 1972, 10(10): 1291-1296.

[5] Lu P, Vinh N X. Optimal control problems with maximum functional [J]. Journal of Guidance Control, and Dynamics, 1991, 14(6):1215-1223.

[6] Arutyunov A V, Silin D B, Zerkalov L G. Maximum principle and second-order conditions for minimax problems of optimal control[J]. Journal of Optimization Theory & Applications, 1992, 75(3):521-533.

[7] Bulirsch R, Montrone F, Pesch H J. Abort landing in the presence of windshear as a minimax optimal control problem. Part 1: necessary conditions[J]. Journal of Optimization Theory & Applications, 1991, 70(1):1-23.

[8] Oberle H J. Numerical treatment of minimax optimal control problems with application to reentry flight path problem[J]. Journal of the Astronautical Sciences, 1988, 36(1/2):159-178.

[9] Bulirsch R, Montrone F, Pesch H J. Abort landing in the presence of windshear as a minimax optimal control problem. Part 2: multiple shooting and homotopy[J]. Journal of Optimization Theory & Applications, 1991, 70(2):223-254.

[10] 郭琨, 楊樹興. 加速度峰值最小的落角約束導(dǎo)引律設(shè)計(jì)[J]. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù), 2017(6)：76-82.

GUO Kun, YANG Shu-xing. Minimax acceleration guidance law design with impact angle constraint[J]. Tactical Missile Technology, 2017(6):76-82. (in Chinese)

[11] Patterson M A, Rao A V. GPOPS-Ⅱ: a MATLAB software for solving multiple-phase optimal control problems using hp-adaptive Gaussian quadrature collocation methods and sparse nonlinear programming[J]. ACM Transactions on Mathematical Software, 2013, 39(3):1-41.

[12] Kim T H, Park B G, Tahk M J. Bias-shaping method for biased proportional navigation with terminal-angle constraint[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2013, 36(6):1810-1816.

[13] Tekin R, Erer K S. Switched-gain guidance for impact angle control under physical constraints[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, 38(2):205-216.

[14] Kim M, Grider K V. Terminal guidance for impact attitude angle constrained flight trajectories[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1973, 9(6):852-859.

[15] Song T L, Shin S J. Time-optimal impact angle control for vertical plane engagements[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1999, 35(2):738-742.

[16] 張春妍, 宋建梅, 侯博, 等. 帶落角和時(shí)間約束的網(wǎng)絡(luò)化導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2016, 37(3):431-438.

ZHANG Chun-yan, SONG Jian-mei, HOU Bo,et al. Cooperative guidance law with impact angle and impact time constraints for networked missiles[J]. Acta Armamentarii, 2016, 37(3):431-438.(in Chinese)

[17] 李強(qiáng), 盧寶剛, 王曉輝, 等. 一種導(dǎo)彈終端侵徹多約束最優(yōu)制導(dǎo)方法[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2016, 37(6):1131-1137.

LI Qiang, LU Bao-gang, WANG Xiao-hui,et al. A terminal multi-constraint optimal guidance law for missile[J]. Acta Armamentarii, 2016, 37(6):1131-1137.(in Chinese)

[18] Ryoo C K, Cho H, Tahk M J. Optimal guidance law with terminal impact angle constraint[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(4):724-732.

[19] Weiss M, Shima T. Optimal linear-quadratic missile guidance laws with penalty on command variability[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, 38(2):226-237.

[20] Ben-Asher J Z, Grinfeld N. Minimal-jerk missile guidance law[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, 38(8): 1520-1525.

[21] Lu P, Doman D, Schierman J. Adaptive terminal guidance for hypervelocity impact in specified direction[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29(2):269-278.

[22] Zhang Z, Li S, Luo S. Composite guidance laws based on sliding mode control with impact angle constraint and autopilot lag[J]. Transactions of the Institute of Measurement & Control, 2013, 35(6):764-776.

[23] Zhou D, Qu P, Sun S. A guidance law with terminal impact angle constraint accounting for missile autopilot[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2013, 135(5):1-10.

[24] Kumar S R, Rao S, Ghose D. Nonsingular terminal sliding mode guidance with impact angle constraints[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 37(4):1114-1130.

[25] Lee C H, Kim T H, Tahk M J, et al. Polynomial guidance laws considering terminal impact angle and acceleration constraints[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2013, 49(1):74-92.

[26] Lee Y I, Kim S H, Lee J I, et al. Analytic solutions of generalized impact-angle-control guidance law for first-order lag system[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2013, 36(1):96-112.

[27] Manchester I R, Savkin A V. Circular-navigation-guidance law for precision missile/target engagements[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29(2):314-320.

[28] 羅智林，劉藻珍，謝曉竹. 帶進(jìn)入角約束的組合導(dǎo)引律研究[J]. 兵工學(xué)報(bào). 2010, 31(1): 32-36.

LUO Zhi-lin, LIU Zao-zhen, XIE Xiao-zhu. Research on integrated guidance law with the entry angle constraint[J]. Acta Armamentarii, 2010, 31(1): 32-36. (in Chinese)

[29] Ratnoo A, Ghose, D. Kill-band-based lateral impact guidance without line-of-sight rate information[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2012, 35(6): 1740-1750.

[30] 胡錫精，黃雪梅. 具有落點(diǎn)和落角約束的圓軌跡制導(dǎo)律[J]. 宇航學(xué)報(bào),2012, 33(5): 562-569.

HU Xi-jing, HUANG Xue-mei. Circular trajectory guidance law with terminal constraints of impact point and impact angle[J]. Journal of Astronautics, 2012, 33(5): 562-569. (in Chinese)

[31] 胡錫精，黃雪梅. 具有碰撞角約束的三維圓軌跡制導(dǎo)律[J]. 航空學(xué)報(bào), 2012, 33(3): 508-519.

HU Xi-jing, HUANG Xue-mei. Three-dimensional circular guidance law with impact angle constraints[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2012, 33(3): 508-519. (in Chinese)

[32] Tsalik R, Shima T. Optimal guidance around circular trajectories for impact-angle interception[J]. Journal of Guidance Control, and Dynamics, 2016, 39(6):1-14.