基于加速度計(jì)的軸系垂直度靜動(dòng)基座測量方法

柳慧泉，郭益德

（北京航空精密機(jī)械研究所，北京100076）

0 引言

精密軸系是平臺(tái)式慣導(dǎo)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，一般采用機(jī)電控制方法建立物理機(jī)械平臺(tái)，導(dǎo)航加速度計(jì)和陀螺儀都安裝在該物理平臺(tái)上。平臺(tái)根據(jù)解算方式的不同如半解析式、幾何式和解析式等具有不同物理用途，但都需通過其三根穩(wěn)定軸（或四軸）模擬一種導(dǎo)航坐標(biāo)系。機(jī)械平臺(tái)的軸線回轉(zhuǎn)精度、軸線垂直度精度作為平臺(tái)式慣導(dǎo)系統(tǒng)的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)慣導(dǎo)平臺(tái)輸出的加速度、角速度等數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度有直接影響。

長期使用過程中，輸出數(shù)據(jù)精度可能會(huì)發(fā)生變化，精度的變化可能來源于多方面影響，如陀螺儀加速度計(jì)的使用壽命與誤差累積、慣導(dǎo)組件與平臺(tái)連接的位置關(guān)系、軸系垂直度的輕微變化等等。慣導(dǎo)平臺(tái)裝船后，如出現(xiàn)上述情況，需對(duì)故障來源進(jìn)行分析、定位。現(xiàn)有如光電自準(zhǔn)直儀法或水平儀法都是基于靜基座條件下，對(duì)儀器測量相對(duì)位置關(guān)系和穩(wěn)定性有很高要求，并且需要對(duì)慣導(dǎo)平臺(tái)拆卸。船舶離港后，長時(shí)間處于動(dòng)基座狀態(tài)，無法對(duì)軸系垂直度精度進(jìn)行測量，難以實(shí)現(xiàn)對(duì)故障的定性分析［1］。

加速度計(jì)是常用敏感質(zhì)量測量運(yùn)載體線加速度的慣性儀表，近年來，隨著相關(guān)制造工藝和微電子技術(shù)的不斷發(fā)展，其測量精度、數(shù)據(jù)輸出穩(wěn)定性不斷提高，成本不斷降低。從最早被應(yīng)用于慣性導(dǎo)航領(lǐng)域，因其高精度和慣性測斜的便捷性開始被用于工程測試技術(shù)領(lǐng)域［2］。本文從加速度計(jì)慣性測角原理出發(fā)，提出了一種基于加速度計(jì)的軸系垂直度靜動(dòng)基座測量方法。該方法根據(jù)擾動(dòng)源假設(shè)條件，設(shè)置共線加速度計(jì)，幾何位置連線通過慣導(dǎo)平臺(tái)幾何中心，通過相鄰軸系相互表征的垂直關(guān)系，利用靜基座條件下的相鄰軸的角度關(guān)系，結(jié)合三位置加速度計(jì)的輸出，得到動(dòng)基座條件下的軸系垂直度。并以輸出數(shù)據(jù)的分散Kalman濾波分析為基礎(chǔ)，垂直度誤差量級(jí)定性與定量分析，與模型分析對(duì)比，驗(yàn)證了測試原理與實(shí)驗(yàn)方案的可行性。

1 垂直度測量原理

1.1 垂直度測量方法簡介

兩正交軸線垂直度的測量通常有兩種方法，光電自準(zhǔn)直儀法（也稱光管法）和水平儀法［3］。軸線1繞軸線2轉(zhuǎn)動(dòng)180°， 則軸線1由位置A°A′°變到A1A′1。測量軸線轉(zhuǎn)位前后的夾角，即可得到兩倍的垂直誤差角2θ，如圖1所示。

上述兩種方法動(dòng)基座條件下均無法滿足測量垂直度需求。自準(zhǔn)直儀法主要缺陷是由測量原理導(dǎo)致的，平臺(tái)裝船后各框架處于聯(lián)動(dòng)狀態(tài)，不對(duì)其拆解難以獲得足夠的測量空間；水平儀法則依賴于靜基座的環(huán)境條件，動(dòng)基座下的擾動(dòng)誤差無法消除［4］。

1.2 靜基座模型測量方程

對(duì)于三軸加速度模塊，敏感當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭時(shí)，做等價(jià)變換，假設(shè)三軸輸出值為一向量。該向量保持相對(duì)慣性坐標(biāo)系的位姿不變，平臺(tái)框架坐標(biāo)系視為隨動(dòng)，因此加速度計(jì)中心在坐標(biāo)系原點(diǎn)的空間轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為平臺(tái)框架坐標(biāo)系繞三軸的依次轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)次序決定旋轉(zhuǎn)矩陣（矩陣連乘值與次序有關(guān)），計(jì)算中內(nèi)框垂直度［5］。

加速度計(jì)模塊可以獨(dú)立調(diào)節(jié)具有指定輸出的位置，設(shè)內(nèi)框軸與中框軸成角α2的垂直度。設(shè)此時(shí)處于框架幾何中心的加速度計(jì)模塊輸出為理想狀態(tài)下的（0，0，1），則其與內(nèi)框軸的偏角和α2相等。旋轉(zhuǎn)過程中，模塊先繞z軸旋轉(zhuǎn)α2，使其自身隨動(dòng)的x軸與內(nèi)框軸重合，然后繞內(nèi)框軸（此時(shí)的x′軸）旋轉(zhuǎn) 180°， 最后繞z′軸回轉(zhuǎn)角α2， 即-α2。轉(zhuǎn)換矩陣的乘積表示此時(shí)為模塊的實(shí)際位置，設(shè)α2＝t， 系數(shù)矩陣滿足：

t為理論上模塊處于絕對(duì)鉛垂位置時(shí)，測得的內(nèi)框軸線與鉛垂線之間垂直度夾角。測量方程為：

y1-βy＝ 2sintcost（x-βx）+（cos2t-sin2t）（y-βy）

其中，內(nèi)框做180°旋轉(zhuǎn)的理論依據(jù)如下所示。

當(dāng)t＝0時(shí)，有：

旋轉(zhuǎn)180°，可以由解出的z軸零偏值計(jì)算旋轉(zhuǎn)前后不變的y軸零偏βy。在t的求解中，對(duì)應(yīng)在y的輸入輸出中消除y軸零偏。

中框旋轉(zhuǎn)確定相對(duì)偏角：

軸線垂直度α＝t-β。

1.3 動(dòng)基座模型與測量方程

動(dòng)基座狀態(tài)下，縱向、橫向搖擺和艏搖擺動(dòng)等動(dòng)力學(xué)狀況對(duì)船體影響簡化為外界干擾，對(duì)慣導(dǎo)平臺(tái)而言，簡化為無數(shù)個(gè)以無窮遠(yuǎn)為定點(diǎn)的剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)?？梢暈榈葎傮w的轉(zhuǎn)臺(tái)軸系結(jié)構(gòu)在出現(xiàn)外加擾動(dòng)偏角和外力矩施加產(chǎn)生的角加速度情況下，具有自身結(jié)構(gòu)中任意位置的等傾斜角度φ和角加速度?→。通過安置在同軸線兩側(cè)相對(duì)中心完全對(duì)稱的加速度計(jì)模塊，利用幾何關(guān)系在數(shù)據(jù)采集過程中解算并消除其對(duì)中心加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)影響［7］。

幾何模型滿足：

其中，P1和P2分別為兩側(cè)加速度計(jì)到擾動(dòng)點(diǎn)距離，L為兩加速度計(jì)擺放間距，BF為中心加速度計(jì)到擾動(dòng)點(diǎn)距離。

2 實(shí)驗(yàn)條件與驗(yàn)證方法

實(shí)驗(yàn)選用MEMS三軸加速度模塊以及Freescale MPU6050，以三軸轉(zhuǎn)臺(tái)作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。分辨率6.1×10-5g，加速度計(jì)測量精度為1×10-3g。部分參數(shù)如表 1 所示［8］。

表1 加速度模塊零偏值列表Table 1 Output of accelerometer module zero-g

數(shù)據(jù)采集和解算平臺(tái)為基于Labview2012的上位機(jī)三軸數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，如圖2所示。

3 數(shù)據(jù)濾波處理與誤差模型分析

3.1 數(shù)據(jù)離散Kalman濾波

以Labview設(shè)計(jì)的實(shí)時(shí)采集平臺(tái)，添加了Kalman濾波功能的Matlab模塊。IMU單元輸出頻率為50Hz的離散數(shù)據(jù)信號(hào)，簡化過程噪聲Wk和測量誤差Vk為 Gauss白噪聲（正態(tài)分布）［9］， 狀態(tài)方程為：

測量方程為：

其中，P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Wk、Vk為白噪聲，ugy為數(shù)據(jù)傳輸頻率?？紤]Kalman增益，有：

給定初始化濾波參數(shù)p（1），預(yù)估最優(yōu)化輸出數(shù)據(jù)s（1）。以t＝0時(shí)的128個(gè)輸出數(shù)據(jù)樣本的優(yōu)化為例，Kalman濾波結(jié)果與原始輸出數(shù)據(jù)對(duì)比如圖3所示。

按上述實(shí)驗(yàn)方法，靜基座條件下垂直度536″，動(dòng)基座條件下垂直度620″。

3.2 誤差模型分析

MPU6050加速度計(jì)誤差系數(shù)隨溫度和時(shí)間變化，考慮其綜合精度和實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?0］，對(duì)于其標(biāo)度因數(shù)，采用設(shè)備提供方的參考數(shù)據(jù)，不再單獨(dú)測定和計(jì)算。輸出量程為±2g時(shí)，綜合誤差η＝3.1831×10-4g，數(shù)據(jù)采集誤差為4.4153×10-4g。

以Δt代入變換矩陣：

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入M和N。

綜合誤差為：δt＝226.84″。

4 結(jié)論

對(duì)動(dòng)基座條件下的測量方法，由靜動(dòng)基座條件下計(jì)算得到的數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比，兩次測量差值為84″。以動(dòng)基座數(shù)據(jù)讀取開關(guān)中設(shè)計(jì)的0.008g為擾動(dòng)加速度基本單位計(jì)算，1×10-2g的輸出變化量解算出的誤差值應(yīng)為103″量級(jí)，實(shí)際測量遠(yuǎn)小于該值，證明通過幾何共線，兩側(cè)附加加速度模塊對(duì)中心加速度模塊進(jìn)行數(shù)據(jù)補(bǔ)償方法是可信的。

受實(shí)驗(yàn)用設(shè)備精度制約，由前述誤差合成分析可知，1×10-3g的IMU單元輸出精度可以測量的垂直度精度在102″。不難分析，如采用精度為1×10-5g甚至更高的加速度計(jì)，如石英撓性加速度計(jì)等設(shè)備，最終精度可以達(dá)到1″數(shù)量級(jí)。該測試方法能夠滿足現(xiàn)有垂直度測量精度需求。

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