一類非自治二階哈密頓系統(tǒng)周期解的存在性和多重性

陳玉松，張艷敏

（商丘工學院基礎部，河南商丘476000）

1 引言

文章考慮非自治二階哈密頓系統(tǒng)

其中T＞0,F:[0,T]×RN→R滿足下列假設：

(A)F(t,x)對于任意的x∈RN關于t是可測的,對幾乎所有的t∈[0,T]，F(xiàn)(t,x)關于是連續(xù)可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T],R+),使得

在H1T上連續(xù)可微且弱下半連續(xù)，由文獻[1]可知，系統(tǒng)(1.1)的周期解就是方程對應泛函?(u)的臨界點。

在文獻[2-3]中,在F(t,x)滿足強制條件、周期條件、凸性條件、次凸條件等各種條件下，利用極小作用定理和極小極大原理得到該系統(tǒng)解的存在結果。在更弱的條件下，利用極小作用定理得到該問題解的存在性和多重性。以下是需要滿足的條件：

假設F(t,x)=F1(t,x)-F2(t,x),且滿足

(F1) 存在常數(shù)C0＞0,K1＞0,K2＞0,α∈[0,T]和非負函數(shù)h∈C(R+,R+),滿足下面條件

更多地，對?x∈RN,a.e t∈[0,T], 存 在f∈L1([0,T],R+)和g∈L1([0,T],R+)滿足

(F2) 對,a.e t∈[0,T],存 在r∈L1([0,T],R+),另外 ∫0Tr(t)dt＜83T滿足

注：條件(F1)與(F2)分別推廣了文章[1-2,4]中的(F1)與(F2)的條件.

定理1假設F(t,x)=F1(t,x)-F2(t,x),滿足條件(A)與(F2-F2),且滿足

(V)在空間C(R+,R+)上存在非負函數(shù)h,在空間數(shù)h,且滿足條件(i)-(iv)以及

則在H1T中問題(1)至少有一個非零周期解.

定理2假設F(t,x)=F1(t,x)-F2(t,x),條件(V)、(A)和 (F1-F2)成立,且存在δ＞0和常數(shù)k＞0,對?||x≤δ,a.e t∈[0,T],滿足

則問題(1.1)在H1T中至少有三個非平凡周期解.

2 預備知識

(Sobolev不等式).

引理1[1]若?在自反巴拿赫空間上式弱下半連續(xù)的,且存在一個有界極小化序列,則?在有個極小值.

引理2[1]設L:[0,T]×RN×RN→R,定 義L(t,x,y)=()|y|2+F(t,x),這里F:[0,T]×RN→R,F(t,x)對于 ?x∈RN關于t可測,對a.e t∈[0,T],是關于x連續(xù)可微,且存在a∈C1(R+,R+),b∈L1(R+,R+)使得

引理3[12]設X是巴拿赫空間,且有X=X1⊕X2,X2有限維子空間.另外,假設?是定義在X上的C1泛函,且?(0)=0,且滿足(PS)條件,若存在R＞0有?(u)≥0,?u∈X1,‖u‖≤R.此外,假設?是下方有界的且inf?＜0,則?至少有兩個非零臨界點.

3 定理的證明

下面我們給出定理的證明.為了簡化,指出Ci,i=1,2,3…表示不同的常數(shù).對,

定理1的證明 對u∈H1T,由 (F1)和sobolev不等式得

另外 ‖u‖→+∞,.又有 (V1),α＜1,以及知?(u)→+∞,當 ‖u‖→+∞ .又因在上,?是弱下半連續(xù)的.再由引理1和引理2得出結論。

定理2的證明 從以上定理的證明中,可知?是強制的,由此可得滿足(PS)條件,定義,令.由 (W)，對u∈X2且 ‖u‖≤C-1δ,可得,另 外 對u∈X1且 ‖u‖≤C-1δ,可得

若 ?|x|＜δ,有[F(t,x)-F(t,0)]dt≥0.再由 (W),

對?|x|＜δ,a.e t∈[0,T].設

E(x)={t∈[0,T]|F(t,x)-F(t,0)≠0}, 則 對 于?|x|＜δ,有meas E(x)=0.對于給出的|x|＜δ以及,有,其中是RN上的一族標準基.因此對于