地球特洛伊天體穩(wěn)定區(qū)域研究?

夏睿奇 周禮勇

(1南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院南京210046)

(2現(xiàn)代天文與天體物理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京大學(xué)南京210046)

1 引言

在太陽(yáng)系中,存在一類(lèi)與行星共軌、在太陽(yáng)-行星系的拉格朗日平衡點(diǎn)L4或L5附近的小天體,即特洛伊天體.第1顆特洛伊天體588 Achilles于1906年被發(fā)現(xiàn),位于太陽(yáng)-木星系的L4處.在外太陽(yáng)系中,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了超過(guò)6000顆木星特洛伊天體和17顆海王星特洛伊天體.對(duì)于類(lèi)地行星,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了金星的第1顆特洛伊天體2013 ND15[1]和8顆火星特洛伊天體[2].而迄今為止,唯一的地球特洛伊天體2010 TK7直到2011年才被發(fā)現(xiàn)[3].實(shí)際上,地球特洛伊軌道的特殊性極大地增加了其觀測(cè)成本[4],因而有必要通過(guò)理論或者數(shù)值模擬的方式,盡可能準(zhǔn)確地縮小地球特洛伊天體可能存在的空間區(qū)域.

數(shù)值方法被廣泛地應(yīng)用在尋找平動(dòng)點(diǎn)附近的穩(wěn)定軌道上,準(zhǔn)確的數(shù)值結(jié)果依賴(lài)于高精度的數(shù)值積分器、足夠長(zhǎng)的積分時(shí)間和相對(duì)準(zhǔn)確的穩(wěn)定性表征參數(shù).Lohinger等人使用Lyapunov特征指數(shù)(Lyapunov characteristic indicators)研究了雙星系統(tǒng)中可能存在的特洛伊行星的穩(wěn)定性和空間限制性三體問(wèn)題中L4平動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性[5?7].Dvorak等[8]則利用天體軌道積分中達(dá)到的最大偏心率作為一種相對(duì)直接的表征參數(shù),研究了地球特洛伊天體穩(wěn)定區(qū)域,他們基于此得到了一個(gè)相對(duì)完整的地球特洛伊天體在初始(a,i)平面上的穩(wěn)定性分布.除這兩種指標(biāo)外,對(duì)天體的軌道做頻譜分析,獲取其在頻域上的信號(hào)、分析其穩(wěn)定性則可以獲取相當(dāng)多軌道頻率細(xì)節(jié)、展現(xiàn)其長(zhǎng)期穩(wěn)定性及其背后的動(dòng)力學(xué)機(jī)制,這一方法被Zhou等人用于對(duì)海王星特洛伊天體的穩(wěn)定性研究中[9?10].

對(duì)地球特洛伊天體穩(wěn)定性的研究很早就已經(jīng)開(kāi)展了.Mikkola和Innanen積分從水星到土星的系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)地球可以擁有穩(wěn)定存在超過(guò)2.25 Myr的特洛伊天體[11].Tabachnik和Evans的工作[12]發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)地球特洛伊天體的穩(wěn)定帶,一個(gè)在低傾角(i≤16°)處,一個(gè)在中等傾角(24°≤i≤34°)處,但后者可能會(huì)隨著積分時(shí)間的增長(zhǎng)而逐漸消失.Brasser和Lehto的工作[13]發(fā)現(xiàn)ν3和ν4長(zhǎng)期共振導(dǎo)致了地球特洛伊天體在12° ＜ i＜25°處不穩(wěn)定,而在i≥40°處,特洛伊?xí)艿胶湍拘堑墓旁跈C(jī)制[14]影響而迅速離開(kāi)平動(dòng)點(diǎn)附近.Dvorak等[8]通過(guò)積分一個(gè)包括從金星到土星的行星動(dòng)力系統(tǒng)到106yr以上,獲得了L4附近地球特洛伊天體的穩(wěn)定區(qū)域分布,并發(fā)現(xiàn)了i＜20°和28°＜i＜40°兩個(gè)穩(wěn)定帶,同時(shí)他們還發(fā)現(xiàn)ν2、ν3、ν4和ν5均與特洛伊天體的穩(wěn)定性有關(guān).

在本文中,我們使用了相對(duì)完備的動(dòng)力學(xué)模型(包括了除水星外的所有太陽(yáng)系行星),積分足夠長(zhǎng)的時(shí)間(107yr),通過(guò)頻譜分析的方式,對(duì)地球特洛伊天體的空間穩(wěn)定區(qū)域分布進(jìn)行了細(xì)致的研究.本文第2節(jié)將詳細(xì)介紹我們所使用的動(dòng)力學(xué)模型和數(shù)值方法,第3節(jié)將展示我們所得到的地球特洛伊軌道的穩(wěn)定區(qū)域,第4節(jié)分析影響地球特洛伊軌道穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)機(jī)制,第5節(jié)則為總結(jié)與討論.

2 動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值方法

2.1 動(dòng)力學(xué)模型

為了獲取更加精準(zhǔn)的數(shù)值結(jié)果,我們首先需要建立完備的動(dòng)力學(xué)模型,然后使用精確的積分器對(duì)模型進(jìn)行足夠長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值積分,并對(duì)獲得的數(shù)據(jù)采用合適的方法進(jìn)行處理.我們采用的模型包含太陽(yáng)、金星、地月系、火星、木星、土星、天王星和海王星.該系統(tǒng)中沒(méi)有加入水星,是因?yàn)樗琴|(zhì)量較小,對(duì)地球特洛伊天體運(yùn)動(dòng)的影響是可以忽略不計(jì)的[8].反之,如果將水星加入,積分所需的時(shí)間將會(huì)增加到4倍以上,大幅增加了計(jì)算負(fù)擔(dān).對(duì)于地月系,我們采用了地月質(zhì)心的數(shù)據(jù),實(shí)際上,使用地月質(zhì)心系和地球加月球所得到的結(jié)果并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性區(qū)別[8].

地球特洛伊天體被作為試驗(yàn)體(質(zhì)量為0)加入到該模型中,鑒于兩個(gè)拉格朗日點(diǎn)L4和L5的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱(chēng)性[9],本文僅分析L4附近的情形.這些試驗(yàn)體的初始軌道偏心率e、升交點(diǎn)黃經(jīng)?和平近點(diǎn)角M均設(shè)置為地球的相應(yīng)軌道根數(shù)值(e=e3,?=?3,M=M3,注意此處下標(biāo)3按慣例指第3顆行星,即地球,下文同此例),而初始近日點(diǎn)角距設(shè)置為ω=ω3+60°.這樣的初值使得所有特洛伊試驗(yàn)體的平經(jīng)度λ與地球的平經(jīng)度之差(即特洛伊天體的共振角σ=λ?λ3)都為60°,保證了這些試驗(yàn)體初始位于L4附近.試驗(yàn)體的初始半長(zhǎng)徑和軌道傾角則是我們討論的參數(shù),按照以下方式取值.鑒于特洛伊天體穩(wěn)定區(qū)域分布沿行星軌道半長(zhǎng)徑(a3=1.0 au)左右對(duì)稱(chēng)的特性[8?9],試驗(yàn)體的軌道半長(zhǎng)徑只覆蓋a＜1.002 au的部分區(qū)域,在0.99 au≤a≤1.002 au范圍內(nèi)以間隔Δa=0.0001 au取值,而軌道傾角則在0°≤i≤60°區(qū)間內(nèi)每間隔Δi=1°取值.最終我們?cè)?a,i)平面上得到一個(gè)121×61的試驗(yàn)體初始軌道格子.

初始軌道根數(shù)確定后,我們使用Lie積分器[15]來(lái)積分整個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),Lie積分器采用自適應(yīng)步長(zhǎng)的方式,其高效性和準(zhǔn)確性在之前的研究[8?10]中已經(jīng)得到了驗(yàn)證,而且其代碼結(jié)構(gòu)非常方便我們積分時(shí)進(jìn)行在線濾波.

2.2 在線濾波與功率譜分析

為使最后得到的數(shù)值結(jié)果能夠包括太陽(yáng)系長(zhǎng)期本征頻率的影響,我們需要對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)積分足夠長(zhǎng)的時(shí)間;另一方面,為了避免丟失內(nèi)太陽(yáng)系行星對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的作用信息,積分結(jié)果的輸出時(shí)間間隔也不可以太長(zhǎng).因此,如果不采取其他措施,最后獲得的積分結(jié)果數(shù)據(jù)量就會(huì)非常巨大,極大地增加了分析處理的難度.進(jìn)一步地,因?yàn)槲覀兿Ｍ麑?duì)積分結(jié)果進(jìn)行頻譜分析,然后使用得到的功率譜來(lái)分析運(yùn)動(dòng)特征,而功率譜中短周期過(guò)多會(huì)導(dǎo)致其被嚴(yán)重污染,對(duì)后續(xù)分析造成困難.綜合考慮下,我們選擇積分動(dòng)力系統(tǒng)1.2×107yr,積分器的初始輸出間隔選定為16 d,并引入了一種在線濾波方法[16]濾去積分結(jié)果中的短周期項(xiàng),從而保存我們關(guān)注的長(zhǎng)周期信息,減小數(shù)據(jù)規(guī)模,方便進(jìn)一步分析.

為執(zhí)行在線濾波,我們?cè)诜e分時(shí),采用低通濾波器對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行實(shí)時(shí)濾波,在濾去高頻短周期項(xiàng)后,再以相對(duì)比較大的間隔對(duì)其進(jìn)行重采樣.我們使用了由Michtchenko提供的濾波器(關(guān)于此濾波器的設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)可以參考Michtchenko和Ferraz-Mello在1993年[17]和1995年[18]的工作),經(jīng)過(guò)一系列仔細(xì)的測(cè)試后,在線濾波后的輸出軌道根數(shù)的重采樣間隔設(shè)置為32768 d(≈90 yr).因此,在經(jīng)過(guò)1.2×107yr的數(shù)值積分后,最終得到了采樣點(diǎn)數(shù)為217=131072個(gè)的軌道根數(shù)時(shí)域信號(hào).圖1展示了一個(gè)試驗(yàn)特洛伊天體軌道半長(zhǎng)徑時(shí)域信號(hào)濾波前后的對(duì)比.

圖1 試驗(yàn)特洛伊天體半長(zhǎng)徑時(shí)域變化在濾波前后的對(duì)比,細(xì)線為未濾波前的時(shí)域變化,粗線為濾波后的輸出結(jié)果.高頻成分被移除Fig.1 Comparison between raw and filtered time variations of semi-major axis of a test Trojan.The thin curve and thick curve represent the raw and filtered data,respectively.Apparently,the high frequency components are removed

在得到了試驗(yàn)特洛伊天體軌道根數(shù)濾波后的時(shí)間序列后,我們對(duì)其作快速傅里葉變換,將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域上.我們的最終輸出間隔決定了其對(duì)應(yīng)的Nyquist頻率為5.573×10?3yr?1,所得到的功率譜的譜分辨率為8.502×10?8yr?1.功率譜的輪廓可以被用來(lái)判定軌道的規(guī)則性,一般來(lái)說(shuō),規(guī)則軌道往往是由有限多的周期項(xiàng)組成,其軌道根數(shù)的功率譜由一定數(shù)目的頻率主導(dǎo).與之相反,混沌軌道的軌道根數(shù)的功率譜則明顯具有大量的噪聲,包含了大量的寬帶成分,難以分辨出主導(dǎo)的頻率成分.圖2展示了高度規(guī)則軌道、相對(duì)不規(guī)則軌道和混沌軌道半長(zhǎng)徑隨時(shí)間的演化和共振角余弦cosσ的功率譜,我們可以清晰地發(fā)現(xiàn)3類(lèi)軌道的功率譜間的不同.

圖2 地球特洛伊試驗(yàn)體軌道半長(zhǎng)徑隨時(shí)間的演化(左)和對(duì)應(yīng)軌道共振角的功率譜(右);由上至下表示軌道的規(guī)則性減弱而混沌性增強(qiáng)Fig.2 In the left column and right column,the semi-major axis evolution of fictitious Earth Trojans and the power spectrum of the resonance angle of the corresponding orbit are illustrated,respectively.From top to bottom,the regularity of the motion decreases while the chaoticity increases

為了定量區(qū)分規(guī)則軌道與混沌軌道的功率譜,我們定義了名為譜指數(shù)的參量,即一條功率譜中高于指定噪聲水平的波峰的數(shù)目.這一參量越高,說(shuō)明功率譜寬帶成分越多,所以規(guī)則軌道的譜指數(shù)對(duì)比于混沌軌道的譜指數(shù)相對(duì)較小.使用譜指數(shù)作為軌道穩(wěn)定性判據(jù)的可靠性在Zhou等人的工作[9?10]中已經(jīng)得到了驗(yàn)證.

3 地球特洛伊的穩(wěn)定區(qū)域

經(jīng)過(guò)仔細(xì)的比較,本文主要考察試驗(yàn)特洛伊天體共振角的余弦cosσ的功率譜.使用cosσ的譜指數(shù)作為軌道規(guī)則性的指標(biāo),本文中譜指數(shù)定義為功率譜中大于其最高峰振幅值1%的波峰數(shù).在初始(a,i)平面上,我們計(jì)算了所有積分軌道的共振角譜指數(shù),并將其對(duì)數(shù)值映射到軌道的初始(a,i)平面上,從而得到了初始(a,i)空間上的軌道規(guī)則性和穩(wěn)定性分布,如圖3.在圖3中,我們排除了那些在軌道積分完成前就要離開(kāi)1:1共振區(qū)的軌道(以空白標(biāo)注),離開(kāi)共振區(qū)的判定標(biāo)準(zhǔn)為軌道半長(zhǎng)徑在積分過(guò)程中任意時(shí)刻不滿足條件0.98 au＜a＜1.02 au.此處上下兩界0.98 au和1.02 au為經(jīng)驗(yàn)值,有一定任意性,但一般而言,特洛伊天體與宿主行星的半長(zhǎng)徑之差小于1%,一旦超過(guò)這個(gè)范圍,特洛伊天體即會(huì)快速離開(kāi)1:1共振區(qū).圖3中,顏色越靠近藍(lán)色,譜指數(shù)越低,代表軌道越穩(wěn)定、規(guī)則;反之,越靠近紅黃色,譜指數(shù)越高,代表軌道越混沌、不穩(wěn)定.觀測(cè)到的唯一地球特洛伊天體2010 TK7,目前的軌道根數(shù)(以星號(hào)標(biāo)出)位于圖3中的不穩(wěn)定區(qū)域.

圖3 地球特洛伊cosσ譜指數(shù)對(duì)數(shù)值在初始(a,i)平面上的分布,積分結(jié)束前離開(kāi)1:1共振區(qū)的軌道以空白表示.藍(lán)色五角星標(biāo)注的是2010 TK7在該平面上的位置Fig.3Dynamical map of spectral number on the initial(a,i)plane.Blue indicates high regularity,red indicates high chaoticity while orbits escaped from the resonance are marked with white.The blue star denotes the position of 2010 TK7

顯然,圖3中0.998 au≤a≤1.002 au的部分,再次顯示了地球特洛伊區(qū)關(guān)于a≈1 au的左右對(duì)稱(chēng),鑒于這種對(duì)稱(chēng)性,接下來(lái)我們主要討論a＜1 au的部分區(qū)域.圖3中顯示的結(jié)果,與前人的工作(參考文獻(xiàn)[9]中的圖8–10)相比,有一致的地方,也有不少不同之處.一致之處包括:兩個(gè)相互不連通的穩(wěn)定區(qū),分別位于0°＜i＜20°和25°＜i＜37°的區(qū)域.占據(jù)低傾角的穩(wěn)定區(qū)域,其范圍隨a的減小也逐漸收縮,并在a＜0.9912 au時(shí)完全消失;占據(jù)高軌道傾角的穩(wěn)定區(qū)域,其在a軸上延伸的范圍較窄(0.997 au＜a＜1.0 au);此外,低傾角的穩(wěn)定區(qū)域中,也分布著一些明顯的不穩(wěn)定帶:a≈0.997 au,0°＜i＜20°處;a大致介于0.995–0.996 au之間,7° ＜ i＜15°處;a=0.998 au,0° ＜ i＜6°處;以及以a=1 au處為中心,軌道傾角在15°–20°處延伸的淺“V”字形結(jié)構(gòu).

我們的結(jié)果和前人工作的不同之處首先是在i≈50°附近沒(méi)有穩(wěn)定區(qū).如圖3所示,在這高軌道傾角區(qū)域內(nèi),試驗(yàn)體軌道全部在積分結(jié)束前離開(kāi)了1:1共振區(qū).事實(shí)上,我們的結(jié)果顯示,當(dāng)i＞37°時(shí),不存在任何穩(wěn)定區(qū)域.其次,我們得到的穩(wěn)定區(qū)域的面積相對(duì)要更小.即使是看似一致的出現(xiàn)在a∈[0.995au,0.996au]和a≈0.997 au處的不穩(wěn)定帶,我們所得到的這些不穩(wěn)定區(qū)域的形狀相比于文獻(xiàn)[9]要寬闊不少,表現(xiàn)為低i處狹窄,高i處寬闊的形狀(圖3).另外,圖3中相互分離的兩個(gè)主要穩(wěn)定區(qū)域的面積與文獻(xiàn)[9]相比,在a和i兩個(gè)方向上都較小一些.

除了通過(guò)cosσ的譜指數(shù)來(lái)考察初始(a,i)平面上地球特洛伊天體的穩(wěn)定性區(qū)域外,我們還考察了積分過(guò)程中特洛伊天體偏心率和軌道傾角的變化.我們提取了所有特洛伊天體在積分過(guò)程中達(dá)到的最大偏心率emax,并將其映射到初始(a,i)平面上.我們發(fā)現(xiàn):對(duì)于emax,我們的結(jié)果與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相似(因而本文不再展示),大部分穩(wěn)定特洛伊軌道的最大偏心率都滿足emax＜0.10,軌道傾角在30°以上的穩(wěn)定軌道,其偏心率稍大一些,但仍有emax＜0.12.

我們還得到了特洛伊天體積分過(guò)程中相對(duì)于初始傾角的最大傾角差Δimax=imax?i0在初始(a,i)平面上的分布,如圖4.我們發(fā)現(xiàn),除了極少數(shù)特定情形,能夠穩(wěn)定地在共振區(qū)存在的地球特洛伊天體不太會(huì)發(fā)生軌道傾角的激發(fā),軌道傾角的變化在5°以?xún)?nèi).即使是不穩(wěn)定的軌道,發(fā)生軌道傾角激發(fā)的比例也不高,這一點(diǎn)在i＞20°時(shí)尤為明顯.這表明如果將來(lái)觀測(cè)到了新的地球特洛伊天體,其當(dāng)前的軌道傾角和演化早期的軌道傾角極有可能是相當(dāng)接近的.在圖4中,可以看到:在a≈0.996 au附近區(qū)域,有少數(shù)軌道發(fā)生了激烈傾角激發(fā).這一方面顯示在該區(qū)域附近有可能發(fā)現(xiàn)軌道傾角較高的特洛伊天體,另一方面也說(shuō)明該區(qū)域的穩(wěn)定性空隙與軌道傾角的激發(fā)有關(guān).進(jìn)一步的研究顯示:這些軌道的傾角激發(fā)是受到升交點(diǎn)長(zhǎng)期共振的影響.具體分析我們將在本文下一節(jié)展示.

圖4 地球特洛伊天體最大軌道傾角變化Δimax在初始(a,i)平面上的分布Fig.4 Distribution of maximal inclination variation Δimaxof Earth Trojan during integration

4 長(zhǎng)期共振擾動(dòng)分析

鑒于我們得到的cosσ譜指數(shù)分布圖具有非常豐富的精細(xì)結(jié)構(gòu),本節(jié)將深入研究這些精細(xì)結(jié)構(gòu)形成的動(dòng)力學(xué)原因.我們知道,當(dāng)一個(gè)天體的近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)速度˙?或者升交點(diǎn)進(jìn)動(dòng)速度˙?與動(dòng)力系統(tǒng)的某一本征頻率相等時(shí),就可能會(huì)發(fā)生長(zhǎng)期共振[19].在長(zhǎng)期共振的影響下,地球特洛伊天體的軌道偏心率或軌道傾角可能在較大范圍內(nèi)變化,進(jìn)而失去軌道穩(wěn)定性.為了分析地球特洛伊天體可能受到的長(zhǎng)期攝動(dòng),我們檢查了圖3上的不同區(qū)域內(nèi)的大量軌道,檢查積分過(guò)程中其近日點(diǎn)經(jīng)度與系統(tǒng)中各個(gè)行星的近日點(diǎn)經(jīng)度之差?Trojan??n以及升交點(diǎn)黃經(jīng)差?Trojan??n隨時(shí)間的演化,直觀地觀察這些采樣點(diǎn)軌道在積分過(guò)程中與各個(gè)行星的長(zhǎng)期共振作用.以下我們將通過(guò)幾條典型軌道的演化情況來(lái)對(duì)各區(qū)域中受到的不同的長(zhǎng)期共振影響加以說(shuō)明.這幾條典型軌道在(a,i)平面上的位置分別為:(1)軌道I:(0.9998 au,24°);(2)軌道II:(1.0006 au,50°);(3)軌道III:(0.9972 au,12°);(4)軌道IV:(0.9952 au,14°).

4.1 軌道I

軌道I處于分隔兩個(gè)大穩(wěn)定區(qū)域的中間不穩(wěn)定區(qū)域,24°的軌道傾角使其成為中等軌道傾角天體的典型代表.我們?cè)趫D5中顯示了該軌道的近日點(diǎn)經(jīng)度?I與各行星的近日點(diǎn)經(jīng)度?n之差(記為Δ?n=?I??n)隨時(shí)間的演化.注意此處的數(shù)字下標(biāo)2,3,···,8分別表示金星、地球、···、海王星等各行星,在圖5中則以“02”,“03”,···,“08”等表示,以下不再一一說(shuō)明.而如果Δ?n在某一時(shí)間段內(nèi)秤動(dòng),則認(rèn)為發(fā)生了特洛伊天體與行星n之間的近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)期共振,并按慣例記為νn,例如ν3即為特洛伊天體與地球之間發(fā)生近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)期共振.同理,Δ?n的行為可以顯示升交點(diǎn)進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)期共振,這種共振記為ν1n,例如ν13表示特洛伊天體與地球之間的升交點(diǎn)進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)期共振.

圖5 軌道I與各行星的近日點(diǎn)經(jīng)度之差Δ?n=?I??n隨時(shí)間的演化Fig.5 Time evolution of perihelion longitude difference Δ?n= ?I??nbetween Orbit I and all planets

該軌道在t≈3.0 Myr時(shí)離開(kāi)1:1共振區(qū),在離開(kāi)共振區(qū)之前,仔細(xì)檢查圖5中各Δ?n項(xiàng),我們發(fā)現(xiàn):Δ?2和Δ?3都斷斷續(xù)續(xù)地在特定的角度值附近表現(xiàn)出秤動(dòng)的特性,而Δ?4則在更長(zhǎng)的時(shí)間跨度上、更明顯地表現(xiàn)出秤動(dòng).與之對(duì)比,其他幾個(gè)角度Δ?5、Δ?6、Δ?7、Δ?8則明顯與前述角度不同,始終處于轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài).

當(dāng)Δ?n處于秤動(dòng)狀態(tài)時(shí),往往就認(rèn)為該小天體處于νn近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)期共振中,因而圖5表明軌道I受到ν2、ν3和ν4幾個(gè)長(zhǎng)期共振的影響.近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)期共振主要影響小天體的軌道偏心率,促使偏心率在較大范圍內(nèi)變化,其變化周期與近日點(diǎn)經(jīng)度差的秤動(dòng)周期相同.為進(jìn)一步檢驗(yàn)這一點(diǎn),我們?cè)趫D6中顯示了軌道I的偏心率隨時(shí)間的演化.

在該軌道離開(kāi)1:1共振之前,從圖6可以看出其偏心率經(jīng)歷了大幅度的變化,實(shí)際上,這種變化包括了幾種不同周期的成分.例如:可以看見(jiàn)周期分別約為0.12 Myr和0.5 Myr的兩種振動(dòng),仔細(xì)比較圖5中的Δ?2和Δ?3的行為,可以知道這兩種振動(dòng)成分與ν2、ν3長(zhǎng)期共振的周期相當(dāng).除了這相對(duì)較短周期的振動(dòng)之外,偏心率還受一種更長(zhǎng)周期成分的調(diào)制:大約在t＜1.4 Myr的階段,偏心率有總體上升的趨勢(shì),而大約在1.4 Myr＜t＜2.3 Myr的時(shí)間段內(nèi),偏心率有總體下降的趨勢(shì).對(duì)比圖5中的Δ?4的變化,則可以看到:Δ?4在這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)分別滿足Δ?4＜180°和Δ?4＞180°的情況.根據(jù)長(zhǎng)期攝動(dòng)理論[19],Δ?＜180°時(shí)偏心率上升,而Δ?＞180°時(shí)偏心率下降.圖6中的偏心率的這種較長(zhǎng)周期的擺動(dòng)與圖5中Δ?4的對(duì)應(yīng)關(guān)系恰恰證實(shí)了ν4長(zhǎng)期共振的這種效果.實(shí)際上,在t＞2.3 Myr時(shí),Δ?4再次回到180°下方,而相應(yīng)地,偏心率則再次表現(xiàn)出總體上升的趨勢(shì),并最終導(dǎo)致該軌道逃離1:1共振區(qū).

圖6 軌道I的軌道偏心率隨時(shí)間的演化Fig.6 Time evolution of eccentricity of Orbit I

我們檢查了(a,i)初始平面上軌道I周?chē)拇罅寇壍?發(fā)現(xiàn)它們都具有與軌道I類(lèi)似的特征,普遍受到ν2、ν3、ν4長(zhǎng)期攝動(dòng)的影響,特別是ν4的影響最為顯著,說(shuō)明圖3中中等軌道傾角處(i約在18°到25°之間)的這個(gè)不穩(wěn)定帶主要是由ν4長(zhǎng)期共振,也包括ν2和ν3長(zhǎng)期共振的共同作用所形成的,這與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論一致.

此外,我們也檢查了軌道I及類(lèi)似軌道的升交點(diǎn)經(jīng)度及平經(jīng)度,以檢驗(yàn)是否有升交點(diǎn)長(zhǎng)期共振或平運(yùn)動(dòng)共振及次級(jí)共振,結(jié)果均未發(fā)現(xiàn).

4.2 軌道II

軌道II在(a,i)平面上的坐標(biāo)為(1.0006 au,50°),在文獻(xiàn)[9]中,這個(gè)高軌道傾角處是地球特洛伊可以穩(wěn)定存在的島嶼,而在我們的計(jì)算中此處所有的軌道都在積分時(shí)間(1.2×107yr)內(nèi)離開(kāi)了1:1共振區(qū)(參見(jiàn)圖3),實(shí)際上,軌道II在t≈2.5 Myr時(shí)偏心率已經(jīng)被大大地激發(fā),并最終離開(kāi)特洛伊軌道.

如同對(duì)軌道I的處理,我們?cè)趫D7中作出了相對(duì)于各行星的Δ?n隨時(shí)間的變化.由圖中容易分辨出特洛伊天體與地球、木星之間的長(zhǎng)期共振ν3和ν5;與圖5明顯不同的是:在圖7中我們還可以看到Δ?7和Δ?8在一定時(shí)間范圍內(nèi)也是秤動(dòng)的,表明該特洛伊天體與天王星、海王星之間都有長(zhǎng)期共振.我們注意到文獻(xiàn)[9]的動(dòng)力學(xué)模型中不包含天王星和海王星,ν7和ν8長(zhǎng)期共振自然不會(huì)發(fā)生,這解釋了我們的工作與該文獻(xiàn)關(guān)于該高軌道傾角區(qū)域軌道穩(wěn)定性的不同判斷,兩相比較,也說(shuō)明該高軌道傾角區(qū)域的不穩(wěn)定性的根本原因在于ν7和ν8長(zhǎng)期共振.當(dāng)然,此處多種長(zhǎng)期共振的疊加也極大地增強(qiáng)了該區(qū)域軌道的不穩(wěn)定性,促使該區(qū)域內(nèi)所有的軌道都在我們的積分完成之前離開(kāi)1:1共振區(qū),造成圖3上i＞37°區(qū)域的空白.

圖7 軌道II與各行星的近日點(diǎn)經(jīng)度之差Δ?n=?II??n隨時(shí)間的演化Fig.7 Time evolution of perihelion longitude difference Δ?n= ?II? ?nbetween orbit II and all planets

4.3 軌道III

軌道III(0.9972 au,12°)在圖3所示的初始(a,i)平面上a≈0.997 au附近i方向上的帶狀不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),該軌道在t=1 Myr前即已逃離1:1共振區(qū).我們?cè)趫D8中顯示了各Δ?n的演化情況. 由圖8容易看出: 當(dāng)t＜0.4 Myr時(shí),ν2、ν3、ν5、ν7甚至ν8均出現(xiàn)并共同存在,ν4稍后大約在t≈0.3 Myr時(shí)出現(xiàn),并且和前幾個(gè)長(zhǎng)期共振一樣,持續(xù)一段時(shí)間后消失.多種長(zhǎng)期共振的交替疊加瓦解了該軌道的穩(wěn)定性,實(shí)際上,在軌道III所代表的這個(gè)沿i方向延伸的帶狀區(qū)域內(nèi),特洛伊天體的軌道存活的時(shí)間短于軌道I、軌道II所在的不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的軌道.

圖8 軌道III與各行星的近日點(diǎn)經(jīng)度之差Δ?n=?III??n隨時(shí)間的演化Fig.8 Time evolution of perihelion longitude difference Δ?n= ?III??nbetween orbit III and all planets

4.4 軌道IV

軌道IV(0.9952 au,14°)是a大致介于0.995–0.996 au的帶狀不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的典型軌道,該軌道在1:1平運(yùn)動(dòng)共振中存活時(shí)間也很短,在t≈0.66 Myr時(shí)就離開(kāi)了特洛伊軌道.分析表明:該軌道受ν2、ν3、ν4、ν5、ν7、ν8等長(zhǎng)期共振的影響,多個(gè)長(zhǎng)期共振往往同時(shí)出現(xiàn)并疊加在一起,導(dǎo)致軌道出現(xiàn)明顯的混沌特征,并促使這些軌道在較短的時(shí)間內(nèi)即離開(kāi)1:1平運(yùn)動(dòng)共振區(qū).

在圖4中,我們注意到,在大多數(shù)情況下地球特洛伊天體的軌道傾角在演化過(guò)程中都只有很小的變化,只有軌道IV所在的區(qū)域中軌道傾角顯示出較大的變化.因?yàn)橛绊戃壍纼A角的主要是軌道升交點(diǎn)長(zhǎng)期共振,因此有理由相信在這個(gè)區(qū)域內(nèi)發(fā)生了顯著的軌道升交點(diǎn)共振.為檢驗(yàn)這一點(diǎn),在圖9中,我們作出了軌道IV和各行星的軌道升交點(diǎn)之差隨時(shí)間演化的情況.很顯然,在一定的時(shí)間段內(nèi),Δ?4=?IV??4表現(xiàn)出非常明顯的秤動(dòng)特征,表明特洛伊天體的升交點(diǎn)與火星的升交點(diǎn)進(jìn)動(dòng)之間有共振關(guān)系,即ν14升交點(diǎn)長(zhǎng)期共振.我們?cè)趫D10中顯示了軌道IV的軌道傾角隨時(shí)間的演化,可以看到,在ν14升交點(diǎn)共振作用下,軌道傾角在大約9°到22°之間振蕩,變化幅度遠(yuǎn)超地球特洛伊區(qū)其他的天體(大多數(shù)小于5°,如圖4所示).

圖9 軌道IV與各行星的升交點(diǎn)經(jīng)度之差Δ?n=?IV??n隨時(shí)間的演化Fig.9 Time evolution of ascending node difference Δ?n= ?IV??nbetween orbit IV and all planets

4.5 小結(jié)

我們只在圖3中一些特定的不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)各選取了一個(gè)典型的特洛伊軌道展示它們所受到的長(zhǎng)期共振的作用.需要再次強(qiáng)調(diào)的是:這些不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)其他的軌道也都具有與這4條典型軌道類(lèi)似的行為.所以,我們可以確定形成這幾個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域的主要?jiǎng)恿W(xué)機(jī)制是前述已經(jīng)指出的各種長(zhǎng)期共振.其中,中等軌道傾角(i～24°)處隔開(kāi)兩個(gè)穩(wěn)定島嶼的不穩(wěn)定區(qū)域主要受到ν2、ν3、ν4的影響,特別是ν4長(zhǎng)期共振起到了非常關(guān)鍵性的作用;高軌道傾角處(i～50°周?chē)?的不穩(wěn)定區(qū)域除了ν3、ν5外,我們還發(fā)現(xiàn)了明顯的ν7、ν8的作用,與文獻(xiàn)[9]的結(jié)論相比較,我們相信ν7、ν8是造成我們的結(jié)果與該既有結(jié)果不同的原因,同時(shí)也就證明了天王星和海王星通過(guò)長(zhǎng)期共振對(duì)地球特洛伊軌道的影響不可忽略.

圖10 軌道IV的軌道傾角隨時(shí)間的演化Fig.10 The inclination evolution of orbit IV

在軌道III和軌道IV所在的不穩(wěn)定區(qū)域,都有多個(gè)近日點(diǎn)長(zhǎng)期共振的交替或疊加出現(xiàn),它們是造成這兩個(gè)區(qū)域的主要原因.而軌道IV所在的區(qū)域內(nèi),還明顯受到了ν14升交點(diǎn)長(zhǎng)期共振的影響,引起了該區(qū)域中特洛伊天體軌道傾角大范圍變化(激發(fā)).

5 總結(jié)與展望

本論文中,我們通過(guò)構(gòu)建完備的太陽(yáng)系動(dòng)力學(xué)模型,使用數(shù)值方法獲得了地球特洛伊天體在初始(a,i)軌道根數(shù)平面上的穩(wěn)定區(qū)域分布,并針對(duì)分布中的一些重要結(jié)構(gòu),做了具體的分析.我們采用了對(duì)軌道規(guī)則程度更為敏感的cosσ的譜指數(shù)作為穩(wěn)定性表征,得到細(xì)致的穩(wěn)定區(qū)域分布圖.與既有的結(jié)論[8]相比,我們得到的地球特洛伊天體的穩(wěn)定區(qū)域相對(duì)大大縮小,特別是我們否定了初始軌道傾角i＞37°處地球特洛伊天體的穩(wěn)定存在的可能性.

針對(duì)(a,i)平面上穩(wěn)定性分布圖中的一些重要的結(jié)構(gòu),我們分析了大量軌道的具體行為,通過(guò)展示幾個(gè)典型軌道的方式,揭示了形成這些結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)期共振機(jī)制.我們發(fā)現(xiàn)ν2?ν8均對(duì)地球特洛伊天體的穩(wěn)定區(qū)域分布有影響,但(a,i)平面上不同的區(qū)域受到不同共振影響的程度以及影響的方式又不一樣.有的區(qū)域僅僅一兩種共振占主導(dǎo),有的區(qū)域則是受到各個(gè)共振的疊加影響或者交替影響.我們特別指出,天王星和海王星雖然與地球距離遙遠(yuǎn),仍有可能經(jīng)由長(zhǎng)期共振機(jī)制對(duì)地球特洛伊天體的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生不容忽視的長(zhǎng)期影響.

我們發(fā)現(xiàn)絕大部分穩(wěn)定的特洛伊天體的軌道傾角都僅有很小的變化,僅在(a,i)平面上極小的部分區(qū)域發(fā)現(xiàn)了升交點(diǎn)共振ν14,受其影響小部分特洛伊軌道傾角會(huì)被激發(fā).這一發(fā)現(xiàn)表明:在絕大多數(shù)情況下,觀測(cè)到的地球特洛伊天體的軌道傾角基本上就是其進(jìn)入1:1共振區(qū)時(shí)的原始軌道傾角.

觀測(cè)意義上,我們的結(jié)果展示了初始(a,i)平面上兩個(gè)比較大的穩(wěn)定區(qū)域,在其中較低傾角的區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)新的地球特洛伊天體應(yīng)該具有更高的概率,這為地球特洛伊天體的進(jìn)一步搜尋提供了一定參考.事實(shí)上,已經(jīng)有研究者綜合一些數(shù)值模擬結(jié)果并結(jié)合具體觀測(cè)設(shè)備構(gòu)造空間上的發(fā)現(xiàn)概率分布[4].而隨著包括Gaia衛(wèi)星在內(nèi)的一系列空間望遠(yuǎn)鏡投入使用,我們對(duì)地球特洛伊天體的探測(cè)能力也得到了極大的提高[20].

在本文中,我們只是以相對(duì)較為粗略的方式檢查了影響地球特洛伊天體運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)期共振機(jī)制.考慮到我們?cè)谟?jì)算中已經(jīng)獲得了所有試驗(yàn)特洛伊天體的積分軌道的功率譜信息,我們可以利用頻率分析的方法在(a,i)平面上比較精確地確定共振結(jié)構(gòu),并利用類(lèi)似思路,給出(e,ω)等更多參數(shù)平面上的穩(wěn)定區(qū)域分布,并獲得更加全面的參數(shù)空間上的地球特洛伊軌道的穩(wěn)定性結(jié)果以及各種可能的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

太陽(yáng)系中,類(lèi)木行星進(jìn)動(dòng)速度相對(duì)固定,而類(lèi)地行星由于質(zhì)量偏小,其進(jìn)動(dòng)速度往往會(huì)受攝動(dòng)影響而發(fā)生變化.這種進(jìn)動(dòng)頻率的變化,將導(dǎo)致不同時(shí)間段內(nèi)影響地球特洛伊天體穩(wěn)定性的長(zhǎng)期共振的不同,極大地增加了地球特洛伊天體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性.這也是值得仔細(xì)探討的課題.

[1]de la Fuente Marcos C,de la Fuente Marcos R.MNRAS,2014,439:2970

[2]de la Fuente Marcos C,de la Fuente Marcos R.MNRAS,2013,432:L31

[3]Connors M,Wiegert P,Veillet C.Nature,2011,475:481

[4]Todd M,Tanga P,Coward D M,et al.MNRAS,2012,420:L28

[5]Lohinger E,Froeschle C,Dvorak R.CeMDA,1993,56:315

[6]Schwarz R,Suli A,Dvorak R.MNRAS,2009,398:2085

[7]Schwarz R,Funk B,Bazso A.MNRAS,2013,436:3663

[8]Dvorak R,Lhotka C,Zhou L.A&A,2012,541:A127

[9]Zhou L,Dvorak R,Sun Y.MNRAS,2009,398:1217

[10]Zhou L,Dvorak R,Sun Y.MNRAS,2011,410:1849

[11]Mikkola S,Innanen K.AJ,1992,104:1641

[12]Tabachnik S A,Evans N W.MNRAS,2000,319:63

[13]Brasser R,Lehto H J.MNRAS,2002,334:241

[14]Kozai Y.AJ,1962,67:591

[15]Hanslmeier A,Dvorak R.A&A,1984,132:203

[16]Carpino M,Milani A,Nobili A M.A&A,1987,181:182

[17]Michtchenko T,Ferraz-Mello S.CeMDA,1993,56:121

[18]Michtchenko T,Ferraz-Mello S.A&A,1995,303:945

[19]Murray C D,Dermott S F.Solar System Dynamics.Cambridge:Cambridge University Press,1999:274

[20]Todd M,Tanga P,Coward D M,et al.MNRAS,2014,437:4019