高中數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)定義域和值域?qū)W習(xí)中易錯(cuò)問(wèn)題淺析

宿志強(qiáng)

摘 要：函數(shù)問(wèn)題集定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象于一身。主要研究高考熱點(diǎn)問(wèn)題中抽象函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的定義域和值域。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；定義域；值域

一、復(fù)合函數(shù)的定義、定義域和值域問(wèn)題

抽象函數(shù)的定義：我們把沒(méi)有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于這類問(wèn)題可以全面考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問(wèn)題又將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現(xiàn).

記函數(shù)v=F（u）的定義域?yàn)閡1，函數(shù)u=f（x）的值域?yàn)閡2，記U=U1∩U2，D={x|x∈R，f（x）∈U}，則以D為定義域，以F[f（x）]為對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)v=F[f（x）]叫做D上的復(fù)合函數(shù).

為敘述方便，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的每一次復(fù)合步驟所形成的函數(shù)，可形象地稱為該復(fù)合函數(shù)的一“層”函數(shù)，上述定義中的F（u）叫做f（x）的外層函數(shù)，u=f（x）叫做F（u）的內(nèi)層函數(shù)或中間變量復(fù)合.

1.已知f（x）的定義域，求f[g（x）]的定義域

其解法是：若f（x）的定義域?yàn)閍≤x≤b，則在f[g（x）]中，a≤g（x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f[g（x）]的定義域.

例1：已知y=f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，求y=f（2x-1）的定義域.

解：由題意可知-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1，所以次函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1].

2.已知f[g（x）]的定義域，求f（x）的定義域

其解法是：若f[g（x）]的定義域?yàn)閙≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g（x）的范圍即為f（x）的定義域.

例2：已知f（2x-1）的定義域?yàn)閇-1，1]，求f（x）的定義域.

解：由于-1≤x≤1，解得-3≤x≤1，因此f（x）定義域?yàn)閇-3，1].

3.運(yùn)算型的抽象函數(shù)

求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，然后再求交集.

例3：若f（x）的定義域?yàn)閇-3，5]，求φ（x）=f（-x）+f（2x+5）的定義域.

解：可知-3≤-x≤5，因此-5≤x≤3.同時(shí)，-3≤2x+5≤5，可得-4≤x≤0.

因此，φ（x）的定義域?yàn)閇-5，3]∩[-4，0]=[-4，0]

4.已知函數(shù)f[g（x）]的定義域，求函數(shù)f[h（x）]的定義域

其解法是，先由f[g（x）]的定義域，求出函數(shù)f（x）的定義域，再由f（x）的定義域，求出函數(shù)f[g（x）]的值域.

例4：f（）的定義域?yàn)閇2，3]，求f（x+5）的定義域.

解：f（）的定義域?yàn)閇2，3]

所以，-1≤≤

所以，f（x）的定義域?yàn)閇0，]

所以，0

二、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，關(guān)于求對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域和值域的問(wèn)題

具體模型是，設(shè)函數(shù)f（x）=logm（ax2+bx+c）（a≠0，m>0，且m≠1），二次方程ax2+bx+c=0對(duì)應(yīng)的判別式？駐=b2+4ac.

（1）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則a>0，且？駐<0；

（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，則a>0，且？駐≥0.

例5設(shè)函數(shù)f（x）=log2（ax2+3x+5），其中a≠0

（1）若此函數(shù)的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；（2）若此函數(shù)的值域?yàn)镽，求a的取值范圍.

解：（1）由于此函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，所以可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.f（x）=log2μ中μ>0，所以二次函數(shù)μ=ax2+3x+5的值域大于零，且x取遍所有實(shí)數(shù)，只需保證a>0，且？駐=9-20a<0.解得a>.

（2）同理，可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.則f（x）=log2μ，由于f（x）取遍所有實(shí)數(shù)，所以μ取遍所有大于0的實(shí)數(shù).因此必須保證函數(shù)μ=ax2+3x+5與平面直角坐標(biāo)系中x軸有交點(diǎn).則對(duì)應(yīng)的判別式？駐≥0.即有a>0，且？駐=9-20a≥0.即0

練習(xí)

1.已知函數(shù)y=f（x+1）的定義域是[-2，3]，求y=f（2x-1）的定義域.

解：依題可知x+1∈[-1，4]，從而2x-1∈[-1，4]，解得此函數(shù)的定義域?yàn)閇0，].

2.已知y=f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，求函數(shù)y=f（x+）·f（x-）的定義域.

解：x+∈[-1，1]，解得x∈[-，]；x-∈[-1，1]，解得x∈[-，].取交集可得此函數(shù)定義域?yàn)閇-，].

參考文獻(xiàn)：

[1]劉天好.復(fù)合函數(shù)定義域求法及其解題意義研究[J].考試周刊，2017（71）：69.

[2]趙鐸皓.求函數(shù)定義域的常見(jiàn)題型例析[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2017（6）：60.

？誗編輯 李琴芳