搭建“分率”和“比”的橋梁

河南西平縣教育體育局教學(xué)研究室（463900）

在分?jǐn)?shù)的應(yīng)用中，由于分?jǐn)?shù)有多重身份，解題方法也相應(yīng)豐富多樣。然而，學(xué)生在學(xué)了分?jǐn)?shù)乘除法和比例后，解題思路反而受到限制。針對這一嚴(yán)峻事實(shí)，筆者做了一些研究，現(xiàn)提出一些觀點(diǎn)，與同行交流探討。

一、反思教材的編排

人教版教材以“塊狀編排，線性推進(jìn)”為主。在設(shè)計六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘法”時，教材插入了“分率問題”中的“求幾分之幾”和“多（少）幾分之幾”兩個內(nèi)容，類比線段圖和倍數(shù)問題，歸納出“單位‘1’的量×對應(yīng)分率=分率量”這一分?jǐn)?shù)乘法基本模型。在“分?jǐn)?shù)除法”單元中，教材插入了“分率問題”中的“已知分率數(shù)，求單位‘1’的量”和“已知多（少）出的分率數(shù)，求單位‘1’的量”兩個內(nèi)容，并借鑒分?jǐn)?shù)乘法的固定模型，列方程解題，然后補(bǔ)敘“量率對應(yīng)”求單位“1”的量這一方法，套用線段圖和倍數(shù)問題中求每份數(shù)的方法，建立“分率量÷對應(yīng)分率=單位‘1’的量”這一分?jǐn)?shù)除法基本模型。

而“比”作為獨(dú)立章節(jié)，出現(xiàn)在“分?jǐn)?shù)除法”之后。教材專門設(shè)計了“按比例分配”應(yīng)用模型。教學(xué)中，通過把“比”轉(zhuǎn)化為“分率”，再根據(jù)分率乘法公式求出各部分的量，或者先求出每份量，再根據(jù)比例，求出分量。

經(jīng)歷以上教學(xué)，“分率問題”和“比的應(yīng)用問題”都得以妥善解決，但是解題策略略顯呆板僵化。比如，音樂班招收學(xué)員56名，瑜伽班招收學(xué)員的名額是音樂班的，瑜伽班招收學(xué)員多少名？教師在征詢不同方法的過程中發(fā)現(xiàn)，將分率看作一個比的人寥寥無幾，也就是“瑜伽班∶音樂班=7∶8”。

二、透視問題，追根究底

上述案例反映出學(xué)生思維僵化，不能根據(jù)分?jǐn)?shù)的豐富意義將“分率”與“比”互化融通，靈活多變地解題。

筆者認(rèn)為，盡管人教版教材豐富了分?jǐn)?shù)的意義，著重指出了分?jǐn)?shù)、除法和比三者的聯(lián)系，但并沒有發(fā)揮“比和比的應(yīng)用”這一章節(jié)的作用。從教材將“比和比的應(yīng)用”歸入“分?jǐn)?shù)除法”單元，可以看出其意圖就是以分?jǐn)?shù)除法為紐帶，溝通分?jǐn)?shù)和比的關(guān)系，豐富分?jǐn)?shù)的意義。教材將“分率問題”和“比的應(yīng)用”分隔開，沒有融通兩者的關(guān)系，后續(xù)章節(jié)也沒有整合這兩塊知識，于是一遇到“分率問題”，學(xué)生往往只會用分率的方法解決，無法轉(zhuǎn)化為“比”的形式，而解決“比的應(yīng)用”的問題時，求分量時也只會先求每份數(shù)，無法轉(zhuǎn)化為“分率”形式。

可以說，教材的編排方式束縛了學(xué)生的思維，硬生生將關(guān)聯(lián)密切的兩部分內(nèi)容拆散了。鑒于此，筆者認(rèn)為學(xué)完“分率問題”和“比的應(yīng)用”后，應(yīng)進(jìn)行一次大整編，引導(dǎo)學(xué)生抓住“分率”與“比”之間的聯(lián)系，將兩者共通融合，從而能靈活解題。

三、改進(jìn)教學(xué)策略

基于上述認(rèn)識，筆者認(rèn)為在整編過程中可以補(bǔ)充以下內(nèi)容。

首先可以設(shè)計一些基本轉(zhuǎn)化練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會用“比”來解析“分率”。

①如果將乙看作（ ）份，甲含有同樣的（ ）份。

②甲∶乙=（ ）∶（ ）。

③甲∶（甲+乙）=（ ）∶（ ）。

④（乙-甲）∶乙=（ ）∶（ ）。

其次，設(shè)計幾類“分率問題”，引導(dǎo)學(xué)生用“比”的知識去解析。比如，玩具店里有電動汽車24輛，遙控飛機(jī)的數(shù)量是電動汽車的，遙控飛機(jī)有多少架？有了轉(zhuǎn)化練習(xí)的鋪墊，學(xué)生就會從“比”的角度去審視。顯然，化為比例后，電動汽車有8份，遙控飛機(jī)有5份，遙控飛機(jī)∶電動汽車=5∶8，問題迎刃而解。

由此看來，有的時候，用“比”來解題優(yōu)勢明顯，解題更簡單容易。

總之，通過補(bǔ)充教學(xué)，打破了原來“分率問題”與“比的應(yīng)用”“各自為政”的局面，搭建起通連“分率”與“比”的橋梁，不但豐富了學(xué)生的解題策略，而且加深了學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，從形式到實(shí)質(zhì)貫徹了知識融通目標(biāo)。