關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

浙江衢州市常山縣天馬第二小學(xué)（324200）

數(shù)學(xué)本質(zhì)是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義。教師不但要引導(dǎo)學(xué)生明白隱藏在客觀事物背后有哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)規(guī)律，以及這些數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性是什么，還要讓學(xué)生知道統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識與技能的數(shù)學(xué)思想方法是什么，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)精神有哪些。教學(xué)中，教師要把握好教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)過程，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、理解基本概念

數(shù)學(xué)是由概念、命題等內(nèi)容組成的知識體系。它是一門以抽象思維為主的學(xué)科，而概念是這種思維的語言。因此，概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心，正確理解基本概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

小學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念主要包括十進(jìn)制、單位（份）、四則運(yùn)算、位置、變換、平面圖形、統(tǒng)計(jì)。理解基本概念不但要明白“是什么？怎么樣？為什么？”，還要思考“從哪里來？到哪里去？”。

（一）明白“是什么？怎么樣？為什么？”

數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的終點(diǎn)，自然科學(xué)的盡頭是數(shù)學(xué)。這說明科學(xué)需要借助數(shù)學(xué)來表達(dá)（是什么），來推理演算（怎么樣），來解釋說明（為什么）。作為學(xué)科體系中一員的數(shù)學(xué)，它是思維的體操，需要讓學(xué)生明白“我研究的內(nèi)容（是什么），根據(jù)條件可以推導(dǎo)出什么（怎么樣），這樣的推導(dǎo)根據(jù)是什么（為什么）”。經(jīng)過“是什么——怎么樣——為什么”的思維過程，學(xué)生就會知其然且知其所以然，讓孤立的知識在頭腦中成為網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的知識，實(shí)現(xiàn)知識之間的融會貫通。

例如，“三角形的面積”研究的是如何計(jì)算三角形的面積，教材通過將兩個完全一樣的三角形拼接成一個平行四邊形，推導(dǎo)出三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半，其公式用字母表示為。在解析公式時(shí)，教師要有意識地提出核心問題：“根據(jù)公式能推導(dǎo)出什么（怎么樣）？”學(xué)生在互動交流中就能明白：1.知道底和高，就能求出三角形的面積（基礎(chǔ)題）；2.知道平行四邊形的面積，就能求出與之等底等高的三角形的面積，同理，知道三角形的面積，就能求出與之與之等底等高的平行四邊形的面積（變式題）；3.知道三角形的面積和底（或高），就能求出三角形的高（或底）（發(fā)展題）。如果教學(xué)進(jìn)程就此停止，那么只解決了“怎么樣”，學(xué)生還不知道“為什么”，在做變式題和發(fā)展題時(shí)的錯誤率就會很高。當(dāng)學(xué)生說出“知道平行四邊形的面積，就能求出與之等底等高的三角形的面積；同理，知道三角形的面積，就能求出與之等底等高的平行四邊形的面積”時(shí)，如果教師順勢追問“你是怎么求的？為什么可以這樣做？”，引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀和代數(shù)公式推導(dǎo)的兩個維度去解釋說明，就能落實(shí)“為什么”。當(dāng)學(xué)生說出“知道三角形的面積和底（或高），就能求出三角形的高（或底）”時(shí)，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，使之明白h=2S÷a，a=2S÷h，落實(shí)“怎么樣”，并借助幾何直觀——兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形以及平行四邊形的面積÷高=底，讓學(xué)生明白為什么要用2S。這樣就把平行四邊形和三角形的面積計(jì)算融會貫通，讓代數(shù)公式與幾何直觀相互印證，構(gòu)建起相互聯(lián)系的知識網(wǎng)絡(luò)。

因此，明白“是什么？怎么樣？為什么？”的本質(zhì)是理解概念的內(nèi)涵與外延，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)。

（二）思考“從哪里來？到哪里去？”

關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，不但要明白“是什么？怎么樣？為什么？”，還要根據(jù)研究內(nèi)容，思考“從哪里來？到哪里去？”?！笆鞘裁?？”是追問數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心問題，是對研究內(nèi)容的深度挖掘和本位思考；“從哪里來？到哪里去？”是從知識生長和發(fā)展脈絡(luò)的角度思考教學(xué)內(nèi)容，屬于追問數(shù)學(xué)本質(zhì)的輔助性問題。

例如，“確定位置（數(shù)對）”屬于方向與位置的教學(xué)內(nèi)容，教師不能簡單地認(rèn)為本節(jié)課就是教“數(shù)對”的概念，讓學(xué)生會讀、會寫、會用就可以了，這樣的認(rèn)識和教學(xué)是膚淺的，沒有觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。教師應(yīng)該深入思考，認(rèn)識到“數(shù)對”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“物體位置的一種量化表達(dá)形式”，包含兩層含義：一是“數(shù)對”是物體位置的另一種表達(dá)形式，二是“數(shù)對”是物體位置表達(dá)形式的量化結(jié)果。正因?yàn)椤皵?shù)對”對物體的位置采用“量化表達(dá)”的形式，才達(dá)到了指向“確定位置”的神奇效果，這是“數(shù)對”和方位詞在表達(dá)物體位置上最為本質(zhì)的區(qū)別。

“數(shù)對”從哪里來？學(xué)習(xí)它的前提是學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了“前、后、左、右、上、下”和“東、南、西、北”等方位詞，會用這些方位詞表達(dá)物體的大致位置，而“數(shù)對”是將大致位置具體量化的手段?！皵?shù)對”又要到哪里去？小學(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)對”的概念，到了中學(xué)就被平面解析幾何中“二維坐標(biāo)”所取代，包括橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，再到大學(xué)就被空間解析幾何中“三維坐標(biāo)”所取代，并進(jìn)一步拓展為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，用三維坐標(biāo)來確定空間中物體的位置。從小學(xué)的“數(shù)對”到中學(xué)的“二維坐標(biāo)”再到大學(xué)的“三維坐標(biāo)”，表達(dá)形式和名稱都變了，但是本質(zhì)不變，都是物體位置的量化表達(dá)形式。

因此，思考“從哪里來？到哪里去？”，目的是理順前置概念與后續(xù)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，明白數(shù)學(xué)概念發(fā)生和發(fā)展的內(nèi)在邏輯關(guān)系，從而精準(zhǔn)理解概念。

二、提煉數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏曾經(jīng)說過：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益?！边@說明數(shù)學(xué)思想方法對人的發(fā)展起奠基作用。課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出：“使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。”關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，就要發(fā)現(xiàn)并提煉出數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中。一般地，數(shù)學(xué)知識的形成過程常常蘊(yùn)含抽象思想，數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程常常蘊(yùn)含推理思想，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程常常蘊(yùn)含建模思想。當(dāng)然，一個具體的教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含哪些數(shù)學(xué)思想，需要從多個角度進(jìn)行分析，還需要具體問題具體分析。因此，如果我們的教學(xué)能夠讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程，并巧妙設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)活動，融入數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在掌握知識、習(xí)得技能的基礎(chǔ)上感悟數(shù)學(xué)思想以及應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題，就能切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，教學(xué)“找規(guī)律”（植樹問題）時(shí)，教師出示問題：“有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放多少盆花？”引導(dǎo)學(xué)生分析如何提煉并落實(shí)數(shù)學(xué)思想。

1.操作（滲透數(shù)形結(jié)合思想）——先讓學(xué)生自主探索，學(xué)生通過畫圖和數(shù)數(shù)得出“8盆”。

2.探索（設(shè)置懸念，尋找規(guī)律）——如果有500棵樹排成一行，還這樣放，那么一共要放多少盆花？學(xué)生可能會用以下方法解答：A.化歸法，從數(shù)量比較小的情況開始推理，用不完全歸納法得出兩頭都不放花，花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，所以有499盆；B.對應(yīng)法，一棵樹對應(yīng)一盆花，最后一棵樹沒有花對應(yīng)，所以花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，列式是500-1=499（盆）。這時(shí)，學(xué)生得到的是個體的探索經(jīng)驗(yàn)，是零散的經(jīng)驗(yàn)，沒有上升到基本的數(shù)學(xué)思想。

3.領(lǐng)悟提升（厘清思路）——剛才我們是怎么解決500棵樹中要放多少盆花的？A.采用復(fù)雜問題簡單化的方法，也就是化歸法解決的。B.對應(yīng)法。學(xué)生可能說不出具體的方法名稱，這時(shí)教師要明示，適當(dāng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想。

4.應(yīng)用提高（對應(yīng)思想）——變式一：500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放多少盆花？變式二：500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放多少盆花？教師不斷地進(jìn)行變式訓(xùn)練，學(xué)生依據(jù)表象，靈活運(yùn)用對應(yīng)的思想方法，舉一反三，體驗(yàn)它的價(jià)值。在不斷的運(yùn)用中，對應(yīng)思想逐步“植入”學(xué)生的頭腦，最終內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、突出數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式思考問題。抽象、概括、推理是數(shù)學(xué)思維的主要方式。推理包括合情推理和演繹推理，而歸納推理和類比推理是合情推理的重要方式。如果說數(shù)學(xué)是思維的體操，那么在數(shù)學(xué)課堂中促進(jìn)學(xué)生更為積極地思考，使之逐步學(xué)會想得更全面、更深刻、更合理則是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。教學(xué)時(shí)，教師如果能夠充分突出數(shù)學(xué)思維，就能讓學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“樂趣”，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”時(shí)，教師可以從數(shù)的認(rèn)識的角度出發(fā)，在認(rèn)識自然數(shù)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生在數(shù)線上找到0、1、2、3的“家”（位置），并提出核心問題：“0和1之間有沒有其他數(shù)？”然后設(shè)計(jì)問題串：“如果有是什么？它們在哪里？還有嗎？”一步步將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引向深處，讓學(xué)生在解決問題的過程中體驗(yàn)思考的樂趣。

在教學(xué)過程中，教師要有問題意識，要深入分析教材，提煉出一個明確的核心問題，通過問題串為線索來推進(jìn)學(xué)習(xí)的進(jìn)程，促進(jìn)學(xué)生積極思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式思考問題。

四、追求數(shù)學(xué)精神

數(shù)學(xué)精神是指數(shù)學(xué)的理性精神（對“公理化思想”的信奉）與數(shù)學(xué)的探究精神（以好奇心為基礎(chǔ)，對理性的不懈追求），它是支撐數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)進(jìn)而研究世界的動力，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最原始、最永恒且最有效的動力。教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，通過數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)規(guī)則意識；通過講解數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的神奇魅力；通過介紹數(shù)學(xué)家的故事，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)不懈追求的精神。

例如，教學(xué)“體積的計(jì)算”時(shí)，教師可以介紹阿基米德在兩千年前如何測量不規(guī)則皇冠的體積，讓學(xué)生感受科學(xué)家的探究精神，以此引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)精神的追求。

總之，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)是一條重要途徑。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該通過數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生理解基本概念，明白數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，感受數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維的魅力，體會數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神的力量。