基于Jeffcott轉(zhuǎn)子的裂紋擴展動態(tài)特性分析

張星雨，馮長水

（杭州電子科技大學(xué)機械工程學(xué)院，浙江杭州310018）

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的高效率、高速度發(fā)展趨勢，大型旋轉(zhuǎn)機械的功率越來越大，工作轉(zhuǎn)速越來越高，設(shè)備材料很容易產(chǎn)生疲勞裂紋[1]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為大型旋轉(zhuǎn)機械必不可少的一部分，其工作性能的好壞與整個機組的安全緊密相聯(lián)，同時停機檢查會帶來巨大損失[2]，因此對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運行的在線監(jiān)測和故障分析尤為重要。

本文以橫向裂紋單盤對稱Jeffcott轉(zhuǎn)子作為研究對象，裂紋在軸的中部，時變剛度參考文獻(xiàn)[3]等提出的裂紋剛度模型，通過模型中添加裂紋擴展變量推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子的運動方程，用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真，探討轉(zhuǎn)速比、質(zhì)量偏心與裂紋方向夾角和質(zhì)量偏心對裂紋擴展中Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子動態(tài)特性的影響。該研究反映了裂紋擴展下裂紋轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性，有助于轉(zhuǎn)子裂紋的在線監(jiān)測和剩余壽命預(yù)測。

1 裂紋剛度模型

在許多文獻(xiàn)中，用f（θ）來表示裂紋開閉模型，用來表述裂紋張開和閉合的過程?？紤]到伴隨著裂紋擴展，不能夠忽略kζ、ζ軸與η軸的耦合剛度kζη的影響，本文選取文獻(xiàn)[3]中的裂紋剛度模型。

2 裂紋轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程

應(yīng)用Lagrange方程建立如下振動微分方程[4-7]：

其中β為質(zhì)量偏心與裂紋方向之間的夾角；e為質(zhì)量偏心。

3 MATLAB仿真與數(shù)據(jù)分析

采用龍格庫塔法對上述微分方程組進(jìn)行求解，選取初值x=[1 0 0 0 3.05]，并采用文獻(xiàn)[8]的參數(shù)數(shù)據(jù)：θ0= π，ξ=0.04，△δ=32.872，λ =0.8，C=6 ×10-10，r=0.6，R=25.4，n=3，p=0.25，q=0.25，△kth=12，kc=7 645.使用MATLAB軟件，分析并探討參數(shù)對響應(yīng)的影響。

3.1 轉(zhuǎn)速比Ω對裂紋轉(zhuǎn)子的動態(tài)響應(yīng)的影響

選取參數(shù) β =0，ε =0.15，其中，圖 1（a）、（b）、（c）、（d）分別為轉(zhuǎn)速 Ω 比為 1/3、1/2、1、3/2 時所對應(yīng)的裂紋轉(zhuǎn)子中心軌跡圖、縱向振動時域圖、頻譜對比圖及其局部放大圖。其中圖形上方為固定裂紋角下的頻譜圖，而圖形上方則為裂紋擴展下的頻譜圖；縱向分別為不同起始時間點的裂紋角的動態(tài)特性。

由圖1可知，處于亞臨界轉(zhuǎn)速時，裂紋轉(zhuǎn)子縱向振動幅值明顯隨著轉(zhuǎn)速比增大而增大，并且隨著裂紋時域擴展而增大；運動軌跡隨著裂紋擴展變得愈加不規(guī)則。當(dāng)處于臨界轉(zhuǎn)速狀態(tài)或者超臨界轉(zhuǎn)速狀態(tài)時，2X、3X分量忽略不計，響應(yīng)頻率近似于1X分量，裂紋轉(zhuǎn)子擴展頻率由質(zhì)量偏心所主導(dǎo)，軌跡圖形呈規(guī)則形狀。

圖1 轉(zhuǎn)速比Ω對裂紋轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響

綜圖1可知，在低轉(zhuǎn)速下固定裂紋角與裂紋擴展下的頻譜圖無明顯區(qū)別，在高轉(zhuǎn)速下，如圖（d）所示，在轉(zhuǎn)速比時，圖形上方線條明顯在Ω=2/3處出現(xiàn)了微弱的波峰，而加入了裂紋擴展變量之后圖形下方呈現(xiàn)出平穩(wěn)直線，更符合文獻(xiàn)[8]、[9]、[10]等文獻(xiàn)所得出的結(jié)論。

如圖2所示，隨著轉(zhuǎn)速比的增大，裂紋擴展速度也隨之增大，轉(zhuǎn)速比與裂紋擴展總時間近似成正比；因此高轉(zhuǎn)速下裂紋故障應(yīng)及早排除，以免造成嚴(yán)重?fù)p失。

圖2 轉(zhuǎn)速比Ω對裂紋擴展速度的影響

圖 3 為轉(zhuǎn)速比 Ω =1/3、1/2、1、3/2 及其鄰域的Poincaré截面圖[11-12]；由圖可知，其截面都發(fā)生了突變，由無規(guī)則環(huán)形變?yōu)橹本€、曲線、以及兩條曲線，體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階共振以及臨界轉(zhuǎn)速和1.5倍超臨界轉(zhuǎn)速之間的特殊性；轉(zhuǎn)子在加速過程中應(yīng)盡快穿過這些區(qū)域，延緩裂紋擴展，減小轉(zhuǎn)子振動幅度。

圖3 不同轉(zhuǎn)速比下的Poincaré截面圖

3.2 質(zhì)量偏心與裂紋方向夾角β與質(zhì)量偏心ε對裂紋轉(zhuǎn)子的動態(tài)響應(yīng)的影響

圖 4 取 Ω =1/2，ε =0.15，（a）、（b）、（c）分別為 β 為0、π、π/2所對應(yīng)的幅頻圖。由圖可知值對2X分量只有微弱影響，對1X分量，夾角越大，1X分量越大；隨著裂紋擴展，1X分量增加的趨勢變得不明顯。

圖4 β角對裂紋轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響

圖 5 取 Ω =1/2，β =0，（a）、（b）、（c）分別為 ε 為0.05、0.15、0.25所對應(yīng)的幅頻圖。由圖可知值對2X分量只有微弱的影響，對1X分量，越大，1X分量越大，隨著裂紋擴展，增大時1X分量增大的速度也隨之減少。主要因為β與ε影響著質(zhì)量偏心，而質(zhì)量偏心造成的振動頻率是1X分量，因此β和ε幾乎只作用于1X分量；得到的數(shù)據(jù)結(jié)論與上述文獻(xiàn)結(jié)果一致；證明了該模型的正確性。

圖5 質(zhì)量偏心ε對裂紋轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響

4 結(jié)束語

通過上述分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）裂紋擴展速度與轉(zhuǎn)速有關(guān)，轉(zhuǎn)速越大，裂紋擴展越快，并且在裂紋達(dá)到一定值時，裂紋擴展速度驟增。

（2）質(zhì)量偏心與裂紋方向夾角β與質(zhì)量偏心ε只對1X分量有影響，對其他分量影響不大；β越大，1X分量越小；ε越大，1X分量越大。綜其原因，質(zhì)量偏心與裂紋方向夾角β與質(zhì)量偏心ε只對質(zhì)量偏心作用，而1X分量就是由質(zhì)量偏心引起的裂紋轉(zhuǎn)子響應(yīng)。

（3）將裂紋擴展與轉(zhuǎn)子振動耦合，可以觀測到裂紋擴展過程中，在轉(zhuǎn)速比 Ω =1/3、1/2、1、3/2 時，其Poincaré截面的突變，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階共振、臨界共振的特性，在轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)中應(yīng)避免上述轉(zhuǎn)速，從而達(dá)到延長使用壽命的作用。