巧用空間向量突破立體幾何問題

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué) 胡 娜

空間向量是高考考查的重要內(nèi)容之一,它也是解決立體幾何問題的重要工具,在處理空間線線、線面、面面位置關(guān)系,以及夾角、距離等問題時(shí)起著至關(guān)重要的作用,有很多立體幾何問題都可以用空間向量來找到巧妙的解決方法。

如何建立空間直角坐標(biāo)系成了突破立體幾何中的垂直、夾角等問題的關(guān)鍵。我們從以下幾個(gè)例題進(jìn)行剖析。

例1 如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°。

(1)證明AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值。

圖1

突破點(diǎn)一：本題z軸的選取作為首要突破點(diǎn),因?yàn)闊o論是從圖像上看,還是從條件上分析,底面△ABC作為等腰三角形,底邊的高線可以試著作為z軸。

突破點(diǎn)二：由于z軸已選取,而坐標(biāo)原點(diǎn)是AB邊的中點(diǎn),所以x軸,y軸的選取我們應(yīng)該考慮在平面AA1B1B內(nèi),由條件AB=AA1,∠BAA1=60°,從而連接A1O,x軸,y軸的建立水到渠成。

突破點(diǎn)三：準(zhǔn)確無誤表示關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)。

突破點(diǎn)四：法向量的求解。

解：(1)過點(diǎn)C作CO⊥AB,連接OA1,由于CA=CB,故OA=OB。又因?yàn)锳B=AA1,且∠BAA1=60°,所以△AA1B為正三角形,則A1O⊥AB。又因?yàn)镃O∩A1O=O,因此AB⊥平面COA1,所以AB⊥A1C。

(2)由于OA,OA1,OC兩兩垂直,故以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)A,OA1,OC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)OA=OB=1,則A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),所以=(1,0,

圖2

例2 如圖3,在四棱錐S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形,且AB=BC=2CD=2SD。

(1)證明SD⊥平面SAB;

(2)求AB與平面SBC所成角的余弦值。

突破點(diǎn)一：x軸,y軸的選取作為第一突破

點(diǎn),由題意BC⊥CD,不妨把C點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)。

突破點(diǎn)二：大膽作出z軸,因?yàn)橹挥蠸點(diǎn)的坐標(biāo)與之有關(guān)系,而該點(diǎn)的坐標(biāo)由條件可以求之,所以z軸的選擇不需要糾結(jié)。

圖3

突破點(diǎn)三：S點(diǎn)坐標(biāo)的求解,因?yàn)橛腥齻€(gè)變量,即橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),豎坐標(biāo),理論上應(yīng)該找出三組關(guān)系,而本題由于條件的特殊化,兩組關(guān)系就夠了,一個(gè)是側(cè)面SAB為等邊三角形,即,還有一個(gè)條件2CD=2SD(不妨設(shè)CD=1)。

突破點(diǎn)四：求出平面SBC的法向量。

解：(1)建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,設(shè)SD=1,則D(1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0)。設(shè)S(x,y,z),則x＞0,y＞0,z＞0,因 此=(x-2,y-2,z)=(x,y-得 y2+x2=1。 又=2,所 以0,故DS⊥AS,DS⊥BS。又因?yàn)锳S∩BS=S,所以SD⊥平面SAB。

圖4

例3 如圖5,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C。

(1)證明AC=AB1;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=AB,求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

圖5

突破點(diǎn)一：x軸,y軸的選取作為第一突破點(diǎn),因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形,由對(duì)角線的垂直關(guān)系作為優(yōu)先考慮的建系標(biāo)準(zhǔn)。

突破點(diǎn)二：z軸的準(zhǔn)確定位,可以大膽猜想,設(shè)法證明。

突破點(diǎn)三：準(zhǔn)確無誤地表示關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)。

突破點(diǎn)四：法向量的求解。

突破點(diǎn)五：二面角的平面角是鈍角還是銳角的準(zhǔn)確判定。

解：(1)連接B1C,BC1交于點(diǎn)O,再連接AO,由于側(cè)面BB1C1C為菱形,因此B1C⊥BC1,且O是B1C和BC1的中點(diǎn)。又因?yàn)锳B⊥B1C,且AB∩BO=B,所以B1C⊥平面ABO,故AO⊥B1C。又O是B1C的中點(diǎn),所以AC=AB1。

(2)因?yàn)锳C⊥AB1且O是B1C的中點(diǎn),所以AO=CO。又因?yàn)锽C=AB,所以△BOA≌△BOC,故OA⊥OB,這樣OB,OB1,OA兩兩垂直。分別以O(shè)B,OB1,OA為x軸,y軸,z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)OB=1,由于∠CBB1=60°, 所 以△CBB1為等邊三角形。因?yàn)锽C=AB,所以

圖6

小結(jié)：空間向量在解決立體幾何問題時(shí)扮演著重要的角色,但是要想靈活地應(yīng)用,在解決問題時(shí)起到畫龍點(diǎn)睛的作用,需要我們做到下面幾點(diǎn)：首先,根據(jù)題設(shè)條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;其次,寫出需要的點(diǎn)的坐標(biāo);最后,靈活運(yùn)用需要的公式。