值得欣賞的一道高考解析幾何題

■河南省溫縣第一高級中學 李中營

【考點定位】本題考查雙曲線的漸近線、離心率、直線和圓的位置關(guān)系、解三角形、點到直線的距離公式等知識,還考查轉(zhuǎn)化化歸及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想。

【名師點睛】本題雖然考查的是舊知識點,但考查方式不落俗套,初看感覺很麻煩,仔細讀題分析后,發(fā)現(xiàn)出題者獨具匠心,抽絲剝繭后得充分體現(xiàn)了“以能力立意”,“在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題”,對數(shù)學基礎(chǔ)知識的考查達到了必要的深度。

1.雙曲線的漸近線是其獨有的性質(zhì),應(yīng)特別關(guān)注的是:

②雙曲線的焦點到漸近線的距離是b;

2.求離心率的值(或取值范圍)常見的有兩種方法:

②根據(jù)條件得出一個關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)再求解。

本題可做如下變式:

思路分析一：由菱形AMON知,|OM|=|AM|,又O A為圓的直徑,所以O(shè)M⊥AM,則在等腰直角△OMA中,|AM|=

思路分析二：由題意,△OMA為等腰直角三角形,且OM⊥AM,所以∠x OM=4 5°,

近線被圓(x -2)2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為____。

思路分析：由已知得弦長與圓的半徑構(gòu)成等邊三角形,所以雙曲線的一條漸近線的傾斜角為6 0°,所以

(責任編輯 趙 平)