關于討論含參函數(shù)單調(diào)性的一點看法

王 敏（陜西省漢中市略陽縣天津高級中學，陜西 漢中）

一、方法探尋

我們在討論含參函數(shù)單調(diào)性時常常借助導數(shù)這個工具，我們對原函數(shù)求導，最后討論導函數(shù)值的正、負情況，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性，而討論導函數(shù)值的正、負情況歸根結(jié)底就是討論導函數(shù)圖像的正、負分布。下面我就函數(shù)圖像正、負分布的分類討論方法歸納如下幾個步驟介紹給大家。

分類點一：討論圖像類型：（1）水平直線型；（2）二次函數(shù)型；（3）單調(diào)型。

分類點二：討論根分布：（1）討論根個數(shù)；（2）討論根與“討論區(qū)間”關系（討論區(qū)間由函數(shù)定義域確定）；（3）討論根與根的關系（此步驟至少要有二個根）。

分類點三：討論圖像的“走勢”（走勢指圖像根據(jù)參數(shù)取值來確定其樣子）

二、實踐應用

例：研究f（x）=（x-a）（x+1）在R上的正、負分布

分析：分類點一：討論圖像類型：確定為二次函數(shù)型。

分類點二：討論根分布：①討論根個數(shù)，當a=-1時，一個根。當a≠-1時，有兩個根x1=a，x2=-1。②討論根與“討論區(qū)間”關系，a，-1∈R③討論根與根的關系，a＜-1（x1＜x2），a＞-1（x1＞x2）。

解：令f（x）=0，則x1=a，x2=-1當a=-1時，x∈R，f（x）≥0

當a＜-1時，x∈（-∞，a）∪（-1，+∞），f（x）＞0，x∈（a，-1），f（x）＜0.

當a＞-1時，x∈（-∞，-1）∪（a，+∞），f（x）＞0，x∈（-1，a），f（x）＜0.

從以上過程可以看出，解決此類分類討論問題，只要嚴格按照三大分類點，同學們就會分類目標明確，思路清楚，有點可依，而不是無處下手。

三、推廣延伸（真題練習）

分類點一：討論圖像類型：①當k=0時，單調(diào)型。②當k≠0時，二次函數(shù)型。

分類點二：討論根分布：①討論根個數(shù)，當k=0時，一個根。當k≠0 時，有兩個根②討論根與“討論區(qū)間”關系，當 k=0 時，x=0∈（-1，+∞），當 k＞0 時，x1，x2∈（-1，+∞），當 k＞0時，x1∈（-1，+∞），x2?（-1，+∞），③討論根與根的關系，當 k=1時，x1=x2=0，當 0＜k＜1 時，x1＜x2，當 k＜0 或 k＞1 時，x1＞x2.

分類點三：討論圖像的“走勢”：

令 g（x）=kx2+（k-1）x，當 k=0 時，x∈（-1，0）時，g（x）＞0，x∈（0，+∞）時，g（x）＜0

當 k=1 時，x∈（-1，∞）時，g（x）≥0

當 k＜0 時，x∈（-1，0）時，g（x）＞0，x∈（0，+∞）時，g（x）＜0

綜上可知：當k≤0時，f（x）在（-1，0）上是增加的，在（0，+∞）上是減少的。

當k=1時，f（x）在（-1，+∞）上是增加的。

從上例可以看出，無論多么復雜的含參討論問題只要按照以上步驟走下去都可以找到分類的標準，即分類的尺子。而且按此步驟走，條理性很強，避免無了無從下手的感覺。