解析幾何課程難度的定量分析比較

楊新玲

（古浪縣第一中學(xué)，甘肅 武威）

解析幾何是幾何方法與代數(shù)方法相結(jié)合的第一次嘗試，在高考試卷中一般以解答題的形式出現(xiàn)，學(xué)生需要用代數(shù)的方法計(jì)算證明幾何問(wèn)題，所以解析幾何給人的直觀感受就是難度較大。如果一門(mén)課程需要在有限的課時(shí)內(nèi)，學(xué)習(xí)太多的知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握都需要學(xué)生進(jìn)行很多的推理和運(yùn)算步驟，那這門(mén)課程的難度系數(shù)自然就會(huì)增加，可見(jiàn)課程難度與課程時(shí)間、課程廣度和課程深度都有關(guān)系，其中與課程時(shí)間反比，與其他兩個(gè)因素成正比。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）是課程的基本理念、課程目標(biāo)、課程實(shí)施建議等的詳細(xì)闡述和要求，是最低限度的教學(xué)要求，《高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《大綱》）是每門(mén)學(xué)科的教學(xué)綱要，包括教學(xué)目標(biāo)、任務(wù)、教學(xué)內(nèi)容的范圍、深度和結(jié)構(gòu)、教學(xué)進(jìn)度等的基本要求，也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行考核的出題范圍及出題深度的綱要性文件。以下，筆者對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中的要求對(duì)解析幾何部分進(jìn)行難度分析，并針對(duì)難點(diǎn)提供解題思路。

一、高中解析幾何課程難度分析

在《標(biāo)準(zhǔn)》中解析幾何的內(nèi)容是分層次的，對(duì)于選修文科的學(xué)生和選修理科的學(xué)生，部分內(nèi)容是要求不同的。在課程廣度上，《標(biāo)準(zhǔn)》中解析幾何包括必修2的直線與方程、圓與方程、空間直角坐標(biāo)系，以及選修課的圓錐曲線與方程；《大綱》中的解析幾何包括直線和圓的方程、圓錐曲線與方程兩部分內(nèi)容均在必修當(dāng)中。在課程時(shí)間上，《標(biāo)準(zhǔn)》中理科生解析幾何總課時(shí)是34個(gè)學(xué)時(shí)（文科生總課時(shí)是30個(gè)學(xué)時(shí)本文不做考慮，只比較對(duì)理科生來(lái)說(shuō)的《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》的比較），而《大綱》中授課總時(shí)數(shù)為40個(gè)學(xué)時(shí)。從課程難度來(lái)說(shuō)，《標(biāo)準(zhǔn)》比《大綱》的課程難度要大，《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)解析幾何的要求有以下特點(diǎn)：內(nèi)容滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，注重知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程強(qiáng)調(diào)幾何背景。

例如《標(biāo)準(zhǔn)》中要求學(xué)生經(jīng)歷橢圓曲線的形成過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義和幾何背景有個(gè)深入的了解，并提出有條件的學(xué)校要發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用，用計(jì)算機(jī)演示出平面截圓錐得的圓錐曲線，這樣可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有切身的實(shí)踐和體現(xiàn)，通過(guò)看演示過(guò)程，更能發(fā)現(xiàn)空間幾何圖形與解析幾何中的一些結(jié)論，并能將這些思想和方法用到解題過(guò)程中去。

從幾次大綱的修訂來(lái)看，現(xiàn)行的2003年的《標(biāo)準(zhǔn)》在解析幾何部分的課程時(shí)間在減少，課程廣度和深度相對(duì)以前的1996年和2000年的《大綱》來(lái)說(shuō)沒(méi)有相應(yīng)地減少，反而是增大了，尤其是課程深度增大比較明顯。

二、高中解析幾何難點(diǎn)的解題思路

從問(wèn)卷調(diào)查來(lái)看，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解析幾何的基本定義與概念理解上問(wèn)題不大，但一到實(shí)際運(yùn)用環(huán)節(jié)卻表現(xiàn)較差。經(jīng)過(guò)分析后，筆者認(rèn)為解析幾何比較難的原因是：學(xué)生對(duì)基本定義與概念更加偏向于機(jī)械地記憶，缺乏真正的理解，也不能在知識(shí)點(diǎn)間建立有效的聯(lián)系。其實(shí)，解析幾何就是一個(gè)對(duì)幾何方法和代數(shù)方法的綜合運(yùn)用。就像《標(biāo)準(zhǔn)》所要求的那樣，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注重讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)獲得知識(shí)，體會(huì)解題的技巧，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，這樣才能從根本上解決這個(gè)“一看就懂一用就錯(cuò)”的問(wèn)題。以下筆者總結(jié)了幾種比較常見(jiàn)的解題方法。

1.利用“韋達(dá)定理”設(shè)而不求

韋達(dá)定理說(shuō)明了一元二次方程中根和系數(shù)之間的關(guān)系，所以是解答解析幾何題非常有效的工具，在考題中，很多題目都是將圓錐曲線與直線綜合起來(lái)考查，利用知識(shí)交叉點(diǎn)進(jìn)行出題。這類(lèi)題目在解答過(guò)程中，一般不容易求出交點(diǎn)坐標(biāo)，但是可以通過(guò)聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的和與積。

2.利用“點(diǎn)到直線的距離公式”建立等量關(guān)系

如果考題當(dāng)中涉及了直線與圓相切，那么我們可以利用點(diǎn)到直線的距離公式建立聯(lián)系。因?yàn)檫@時(shí)，圓心到切線的距離就是圓的半徑，設(shè) M（x0，y0），直線 l：Ax+By+C=0，則點(diǎn) M 到直線 l的距離是這樣可以得到很多有用的結(jié)果。這個(gè)點(diǎn)到直線的距離有時(shí)是三角形的高，有時(shí)是直線的垂直關(guān)系而產(chǎn)生的距離，學(xué)生要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用該知識(shí)點(diǎn)，才能真正服務(wù)于解題。

3.利用“兩點(diǎn)間的距離公式”求弦長(zhǎng)

如果高考題目當(dāng)中出現(xiàn)一條直線被圓錐曲線截得一段線段，要求它的長(zhǎng)度時(shí)，弦長(zhǎng)一定與兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，所以在解答的過(guò)程中，最好是設(shè)直線的斜率是 k，交點(diǎn)為 A（x1，y1），B（x2，y2），通過(guò)建立一個(gè)直角三角形就可以很容易得到的形式，解后就可以通過(guò)韋達(dá)定理求解。

本文用定量的方法對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中高中解析幾何部分的難度進(jìn)行了分析，得出由于這部分內(nèi)容在《標(biāo)準(zhǔn)》中課時(shí)減少，課程廣度和深度都有所增加，更加注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解，以往只是記住公式的做法，在遇到問(wèn)題時(shí)不能發(fā)揮作用，所以筆者列舉了幾個(gè)難點(diǎn)進(jìn)行了解析。