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      最大團(tuán)問題的競爭決策算法

      2018-02-25 05:43:18寧愛兵劉志民何永梅張惠珍
      上海理工大學(xué)學(xué)報 2018年6期
      關(guān)鍵詞:競爭者子圖結(jié)點(diǎn)

      黃 飛,寧愛兵,劉志民,何永梅,張惠珍

      (上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093)

      最大團(tuán)問題(MCP)[1-3]是組合優(yōu)化中的NP 難題(non-deterministic polynomial problems),在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用,如社會網(wǎng)絡(luò)分析[4]、生物信息學(xué)[5]、分子生物學(xué)、編碼理論[6]及經(jīng)濟(jì)學(xué)[7]等,是圖論、運(yùn)籌學(xué)及離散數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中一個重要的研究目標(biāo)。

      本文介紹、提出并論證了最大團(tuán)的部分?jǐn)?shù)學(xué)性質(zhì),在此基礎(chǔ)上設(shè)計了一個求解該問題的競爭決策算法(CDA)。為了闡述算法的基本原理,本文給出了一個簡單的案例,運(yùn)用該算法進(jìn)行手動求解。最后運(yùn)用該算法對最大團(tuán)問題的標(biāo)準(zhǔn)測試圖進(jìn)行求解,計算實(shí)驗(yàn)得到了較好的結(jié)果。測試中有些情況下還可以得到目前最優(yōu)解,如后面的實(shí)例p_hat300-2,MANN_a27 和MANN_a45。

      1 競爭決策算法

      自從CDA 在文獻(xiàn)[8]中提出之后,該算法被應(yīng)用在了很多NP 問題的求解上,具體可參閱文獻(xiàn)[9-13],且都得到了較好的結(jié)果。本文僅給出算法的原理與概念,算法的詳細(xì)情況可參閱文獻(xiàn)[9]。

      1.1 原理

      競爭決策現(xiàn)象普遍存在于大自然中,這些競爭決策都在一定的法則下進(jìn)行,且同時受到一種或多種因素的共同影響。競爭決策就是參與競爭的各方根據(jù)競爭決策機(jī)制分別占據(jù)一定的資源的過程。競爭決策之后,會達(dá)到一個新的均衡狀態(tài)。如果新形成的均衡狀態(tài)優(yōu)于初始狀態(tài),則能實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的目的。CDA 就是模擬這個機(jī)制來實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。它首先根據(jù)求解的問題構(gòu)造出一個或多個競爭參與者,參與對資源的競爭,然后利用相應(yīng)的競爭機(jī)制,通過決策判定競爭者是否占有資源以及占有哪些資源,直至達(dá)到均衡狀態(tài)。

      1.2 基本概念

      a.競爭者:參與競爭資源的各方,在本文中,如果算法中只存在一個競爭者,則假設(shè)存在另一個虛構(gòu)的競爭者N(可以假定代表自然),同時參與爭奪資源。N 沒有競爭力函數(shù)。

      b.資源:競爭者所爭奪的目標(biāo),整個算法的核心。

      c.競爭決策狀態(tài):某一瞬間,所有參與競爭的各方各自所占有的資源的一種狀態(tài)。初始狀態(tài)下,參與競爭的各方均不占有資源,虛擬競爭者除外,且占有所有資源。

      d. 競爭力函數(shù):代表競爭者爭奪資源的能力。

      e. 決策函數(shù):決策函數(shù)起到判定的作用,用于判定資源的分配,分3 種情況。

      (a)若除了虛擬競爭者之外只有一個競爭者,決策函數(shù)用于判定該競爭者能否從虛擬競爭者那里爭奪資源;

      (b)若除了虛擬競爭者之外有多個競爭者,決策函數(shù)不僅要判定哪些競爭者可以優(yōu)先占有資源,還要判定這些競爭者具體可以占有哪些資源;

      (c)決定是否要從某個競爭者手中強(qiáng)制性地剝奪出資源,并將資源分配給另外一個競爭者。

      f. 競爭決策均衡狀態(tài):完成資源的初步分配后所達(dá)到的一種狀態(tài)。均衡狀態(tài)下,非虛擬競爭者不能根據(jù)競爭決策機(jī)制爭奪更多資源,即除非引入資源交換規(guī)則,否則將不再進(jìn)行競爭決策。

      g. 資源交換規(guī)則:達(dá)到均衡狀態(tài)后,資源交換規(guī)則將強(qiáng)制全部或部分競爭者(包括虛擬競爭者)之間相互交換資源,使競爭進(jìn)入非穩(wěn)定的均衡狀態(tài)。非穩(wěn)定的均衡狀態(tài)下,非虛擬的競爭者能根據(jù)競爭決策機(jī)制再次爭奪資源,直至達(dá)到一個新的均衡狀態(tài)。進(jìn)行資源交換后,必須使競爭進(jìn)入非穩(wěn)定的狀態(tài),這樣才能使競爭者對資源再次進(jìn)行競爭,達(dá)到新的競爭決策均衡狀態(tài),實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的目的。

      2 最大團(tuán)問題的競爭決策算法

      2.1 問題介紹

      最大團(tuán)問題描述如下:給定1 個簡單無向圖G=(V,E),S 是結(jié)點(diǎn)集合V 的1 個子集,若S 中任意2 個結(jié)點(diǎn)之間都相鄰,即由S 導(dǎo)出的子圖G[S]是完全子圖,且G[S]不包含在圖G 的更大的完全子圖中,則稱G[S]為團(tuán)。最大團(tuán)問題就是求出圖中結(jié)點(diǎn)個數(shù)最多的團(tuán)。

      2.2 數(shù)學(xué)符號

      G=(V,E):G 代表簡單的無向圖,V 代表圖的結(jié)點(diǎn)集合,E 代表圖的邊集,且E 由V 中的結(jié)點(diǎn)對表示。

      n:圖中結(jié)點(diǎn)的個數(shù)。

      N(v):結(jié)點(diǎn)v 的開鄰集,所有與結(jié)點(diǎn)v 相鄰的點(diǎn)的集合。

      N[v]:結(jié)點(diǎn)v 的閉鄰集,即N(v)∪{v}。

      d(v):結(jié)點(diǎn)v 的度,即集合N(v) 中所包含的結(jié)點(diǎn)的個數(shù)。

      G[V1]:G[V1]是圖G=(V,E)的點(diǎn)導(dǎo)出子圖,G[V1]=(V1,E1),其中,V1? V ,E1? E,且對于圖G 中的每一條2 個端點(diǎn)都在V1中的邊ei都有ei∈E1。

      G1:初始狀態(tài)下,G1等于原圖G,即G1=(V,E)=(V1,E1)。

      d(vi):結(jié)點(diǎn)vi的度,即圖G 中與vi相鄰的點(diǎn)的個數(shù)。

      d1(vi):結(jié)點(diǎn)vi的度,即圖G1中與vi相鄰的點(diǎn)的個數(shù)。

      p(i):結(jié)點(diǎn)vi在G1圖中的競爭力函數(shù)。

      Gb:算法在均衡時所求得的最大完全子圖。

      Vad:與完全子圖Gb中各個結(jié)點(diǎn)相鄰結(jié)點(diǎn)的集合,即

      Gmax:目前為止算法中所發(fā)現(xiàn)的最大團(tuán)。

      |G|:G 圖中所包含的結(jié)點(diǎn)的個數(shù)。

      |V|:結(jié)點(diǎn)集合所包含的結(jié)點(diǎn)個數(shù)。

      2.3 數(shù)學(xué)性質(zhì)

      現(xiàn)僅給出競爭決策算法所涉及到的最大團(tuán)的數(shù)學(xué)性質(zhì),性質(zhì)1~3 的證明參閱文獻(xiàn)[9?10]。推論1 及性質(zhì)4 為本文提出的。算法中,推論1 用于刪除冗余結(jié)點(diǎn),性質(zhì)4 用于資源交換。

      性質(zhì)1若結(jié)點(diǎn)集合V 中某個結(jié)點(diǎn)v 的度是0,那么,v 必然不屬于所求的最大團(tuán)的結(jié)點(diǎn)集合S[14]。

      性質(zhì)2若結(jié)點(diǎn)集合V 中某結(jié)點(diǎn)v 的度為n?1,那么,v 必然屬于所求的最大團(tuán)的結(jié)點(diǎn)集合S。

      性質(zhì)3S 為求得的最大團(tuán)的結(jié)點(diǎn)集合,若v∈S 且d(v)=k;那么, | S|k+1[15]。

      推論1設(shè)已求出的最大完全子圖為Gmax,其結(jié)點(diǎn)個數(shù)為|Gmax|,G1中某一結(jié)點(diǎn)v 的度d(v)=k,如果k<|Gmax|,則可以將v 從G1中刪除,從而使問題得到簡化。

      證明根據(jù)性質(zhì)3 可得,度為k 的結(jié)點(diǎn)v 所在的完全子圖最多有k+1 個頂點(diǎn),若k |Gmax|?1,則包含v 的完全子圖的頂點(diǎn)個數(shù)最多為|Gmax|個,不大于已求出的最大完全子圖Gmax的結(jié)點(diǎn)個數(shù),所以,將v 作為冗余結(jié)點(diǎn)從G1中刪除,從而使問題得到簡化而不影響求解結(jié)果。

      性質(zhì)4G2=(V2,E2)是G1=(V1,E1)的1 個子圖,且是完全圖,若V3? V1?V2,G3=(V3,E3)=G[V3],V4? V2,V3與V2?V4中的所有結(jié)點(diǎn)都相鄰,若|V3|>|V4|,那么,將V4從G2中刪除,將V3加入G2,此時,G2為更大的完全子圖。

      證明G3本身是1 個完全子圖,且V3中的所有結(jié)點(diǎn)與V2?V4中的所有結(jié)點(diǎn)都相鄰,因而新生成的圖G2是1 個結(jié)點(diǎn)個數(shù)更多的完全子圖。

      2.4 算法思想

      在CDA 中,結(jié)點(diǎn)是競爭者爭奪的資源,所需求解的最大團(tuán)是競爭者A,同時參與競爭的是虛擬競爭者N。初始狀態(tài)時,虛擬競爭者N 占有全部結(jié)點(diǎn),競爭者A 不占有任何結(jié)點(diǎn)。達(dá)到均衡狀態(tài)時,競爭者A 具有的結(jié)點(diǎn)即為所求的最大團(tuán)。

      2.5 初始狀態(tài)、競爭力函數(shù)、決策函數(shù)、資源交換規(guī)則

      a.初始狀態(tài)。

      對于含有n 個結(jié)點(diǎn)的圖,一共有n 個初始狀態(tài),將結(jié)點(diǎn)按各個度的大小降序排列之后,第i 個初始狀態(tài)為競爭者A 僅占有資源vi,其余結(jié)點(diǎn)資源都被虛擬競爭者N 所占有。在每個初始狀態(tài)開始時需要檢查d(vi)是否小于已知最大完全子圖中結(jié)點(diǎn)的個數(shù),若是,則該初始狀態(tài)不會出現(xiàn)更好的解且放棄掉該初始狀態(tài)。

      b.競爭力函數(shù)。

      采用一個競爭力函數(shù)

      c.決策函數(shù)。

      本文只有一個決策函數(shù),即在競爭中將競爭力函數(shù)值p(i)最大的結(jié)點(diǎn)優(yōu)先加入到圖Gb中,當(dāng)多個結(jié)點(diǎn)的競爭力函數(shù)值相等時,則將編號小的結(jié)點(diǎn)加入到圖中。

      d.資源交換規(guī)則。

      資源交換規(guī)則見下面的算法流程。

      2.6 算法的過程

      算法的過程如下:

      a.初始圖Gb和Gmax是1 個沒有結(jié)點(diǎn)、沒有邊的空圖,首先將G1中競爭力函數(shù)p(i)最大的點(diǎn)vi加入Gb中,然后將Vad中競爭力函數(shù)值p(i)最大的結(jié)點(diǎn)加入到Gb中。根據(jù)式(1)重新計算Vad,持續(xù)該步驟,直到Vad為空集。

      b.檢查是否存在冗余結(jié)點(diǎn),如果存在冗余結(jié)點(diǎn),則刪除冗余結(jié)點(diǎn)并更新競爭力函數(shù)。具體的做法參見下面的算法流程。

      c.執(zhí)行資源交換,交換后再次檢查是否存在冗余結(jié)點(diǎn),如果存在,則剔除冗余結(jié)點(diǎn)后更新競爭力函數(shù)。詳細(xì)的內(nèi)容見下面的算法流程。

      2.7 算法流程

      步驟0k=1;將結(jié)點(diǎn)按各個結(jié)點(diǎn)的度從大到小排序,Vmax={ },Emax={ },Gmax=(Vmax,Emax)。

      步驟1初始化。

      設(shè)置初始狀態(tài)。競爭者A 只占有資源vk,其余結(jié)點(diǎn)都被虛擬競爭者N 占有。由推論1 可知,若|d(vi)|<|Vmax|,則該初始狀態(tài)不會出現(xiàn)更好的解,因此,此時跳到步驟3 而放棄該初始狀態(tài);否則,繼續(xù)執(zhí)行下面的操作:

      G1=(V1,E1)=(V,E)=G,從G1中刪除結(jié)點(diǎn)vk以及不與vk相鄰的所有結(jié)點(diǎn),Vb={vk},Eb={ },Gb= (Vb,Eb),Vi={vk},V*={ },E*={ },G*=(V*,

      步驟2競爭決策。

      根據(jù)式(2),計算初始狀態(tài)下競爭者A 對結(jié)點(diǎn)資源的競爭力函數(shù)值p(i),并降序排列。

      a.本輪競爭階段1:資源分配階段。

      (a)根據(jù)性質(zhì)1,刪除競爭力函數(shù)值為0 的結(jié)點(diǎn),若刪除后G1為空集,算法結(jié)束,問題沒有意義。

      根據(jù)性質(zhì)2 將度為n?1 的結(jié)點(diǎn)全部放入Gb中。

      (b)根據(jù)式(1)計算Vad,并將Vad中競爭力函數(shù)值p(i)最大的結(jié)點(diǎn)加入到Gb中,之后重新計算Vad,持續(xù)該過程,直到Vad為空集。此時得到的圖是1 個完全子圖,且結(jié)點(diǎn)個數(shù)為|Gb|。若|Gb|>|Gmax|,則|Gmax|=|Gb|;否則,執(zhí)行步驟c。

      b.本輪競爭階段2:刪除冗余結(jié)點(diǎn)。

      利用推論1 刪除冗余結(jié)點(diǎn),即將圖G1中度小于|Gmax|的頂點(diǎn)刪除,并重新計算G1中結(jié)點(diǎn)的競爭力函數(shù),降序排列,輸出圖G1此時的結(jié)點(diǎn)個數(shù)n。

      c.本輪競爭階段3:資源交換階段。

      為了提高算法的速度,本算法只找出性質(zhì)4 中|V3|=2 且|V4|=1 的結(jié)點(diǎn),用V3中的2 個結(jié)點(diǎn)交換V4中的1 個結(jié)點(diǎn),這樣能得到一個更大的完全子圖Gb。持續(xù)查找和替換這種操作,直至圖G1中不存在這種滿足資源交換條件的結(jié)點(diǎn)。此時,若|Gb|>|Gmax|,則|Gmax|=|Gb|,利用推論1 刪除冗余結(jié)點(diǎn);否則,舍棄Gb,執(zhí)行步驟3。

      步驟3k=k+1,若k n,則跳到步驟1;否則,跳到步驟4。

      步驟4算法結(jié)束。

      輸出競爭決策的結(jié)果。

      3 算法的時間復(fù)雜度分析

      步驟2的a 最壞的情況下時間復(fù)雜度為O(n2);步驟2 的b 剔除圖中冗余結(jié)點(diǎn)在最壞的情況下時間復(fù)雜度為O(n);步驟2 的c 最多執(zhí)行的次數(shù)為n 次,1 個初始狀態(tài)查找并執(zhí)行1 次交換的時間復(fù)雜度為O(n2),因此,步驟2 的c 在最壞的情況下時間復(fù)雜度為O(n3)。綜上所述,該算法的時間復(fù)雜度為O(n3)。

      4 示例分析

      現(xiàn)給出1 個案例來闡述算法的原理以及過程,同時也只給出第1 個初始狀態(tài)下的競爭決策過程,如圖1 所示。

      圖1 示例圖G1Fig.1 Sample graph G1

      競爭決策計算如下:

      a.初始化階段。

      給出第1 個初始狀態(tài)下的競爭決策過程,因此,最開始時可以設(shè)置競爭者A 沒有占有資源結(jié)點(diǎn)v1,其他結(jié)點(diǎn)資源都被虛擬競爭者N 占有。從圖G1中刪除v1以及不與v1相鄰的所有結(jié)點(diǎn)v4和v5,V=V1={v2,v3,v6,v7,v8},G1=(V,E)=( V1, E1) , Gb=( Vb, Eb) , Vb={v1}, Eb={ },Gmax=(Vmax,Emax),Vmax={v1},Emax={ }。

      b.資源分配階段。

      根據(jù)式(1)可得集合Vad={v2,v3,v6,v7,v8},計算競爭力函數(shù),p(1)=0,p(2)=5,p(3)=5,p(4)=0,p(5)=0,p(6)=4,p(7)=3,p(8)=3。

      將Vad中競爭力函數(shù)值最大的1 個結(jié)點(diǎn)加入Vb中,如果存在若干個競爭力函數(shù)值最大的結(jié)點(diǎn),任選1 個加入到Vb中。因此,先將v2加入到Vb,再重復(fù)計算1 次后將v3也加入到Vb,此時得到1 個團(tuán)Vb={v1,v3,v2},且Vad為空集。

      因 初 始 時Vmax={v1}, 所 以, 此 時 滿 足|Gb|>|Gmax|,將Gb中的結(jié)點(diǎn)放入Gmax,|Gmax|=3,Vmax={v1,v3,v2}。

      c.根據(jù)b 刪除圖中冗余結(jié)點(diǎn)。

      刪除V1中度小于 |Vmax|=3 的所有結(jié)點(diǎn)及與其相連的邊,因圖中所有結(jié)點(diǎn)的度都大于等于3,所以,此過程沒有冗余結(jié)點(diǎn)被刪除。

      d.資源交換階段。

      找出性質(zhì)4 中|V3|=2 且|V4|=1 的結(jié)點(diǎn),此時找到V3={v4,v5},V4={v1},用V3中的2 個結(jié)點(diǎn)替換V4中的1 個結(jié)點(diǎn),從而得到1 個更大的完全子圖Gb=(Vb,Eb),其 中,Vb=Vmax={v2,v3,v4,v5},該完全子圖如圖2 所示。在圖1 中利用推論1 刪除冗余結(jié)點(diǎn),即將圖1 中度小于|Vmax|=4 的頂點(diǎn) 刪除,據(jù)此 依次 刪 除v7,v8,v6,v1,v2,v3,v4,v5,圖1 變 為 空 圖,因 此,S={v2,v3,v4,v5}為最優(yōu)解。雖然這個實(shí)例得到了最優(yōu)解,但是,這個算法并不能保證求解所有的實(shí)例時都能得到最優(yōu)解。

      e.輸出競爭決策結(jié)果。

      Vmax={v2,v3,v4,v5},最優(yōu),其代表的圖如圖2 所示。

      圖2 最大團(tuán)的圖Fig.2 Graph of maximum clique

      5 數(shù)值計算及分析

      為了對算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證,用Java 語言在PC 機(jī)上進(jìn)行計算實(shí)驗(yàn)。運(yùn)用本算法對DIMACS(The Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Scinence)的基準(zhǔn)圖進(jìn)行求解,并與目前最好的結(jié)果進(jìn)行比較,如表1 所示,相關(guān)的測試實(shí)例可以登錄http://iridia.ulb.ac.be/~fmascia/maximum_clique/DIMACS-benchmark#detDSJC1000_5 下載。

      式中:e 為誤差率;m 為目前最好解;l 為本文解。

      最大團(tuán)問題是NP 難解問題,除非能夠證明所有NP 問題都可以轉(zhuǎn)化為具有多項(xiàng)式算法的判定問題,否則不存在多項(xiàng)式時間的精確算法。精確算法能夠求出最優(yōu)解,但是,求解時間隨著問題規(guī)模的增大而呈指數(shù)增長,時間復(fù)雜度較高。啟發(fā)式算法求解速度快,但是,一般情況下不能找到最優(yōu)解,只能找到近似解或者局部最優(yōu)解。本文的競爭決策算法是啟發(fā)式算法,利用本文算法對基準(zhǔn)圖進(jìn)行計算求解,在Eclipse 軟件上運(yùn)行,從表1 中可以看出,利用CDA 求得的解,和最優(yōu)解之間的誤差率基本保持在10%以內(nèi)。有些示例可以取得與目前最好的結(jié)果相同的解,如示例hamming8?4 和示例p_hat300?2,有些示例可以取得與目前最好結(jié)果極其相近的解,如示例C125.9,MANN_a27,MANN_a45。作 為 比 較,Belachew 等[11]用秩為1 的對稱非負(fù)矩陣逼近算法求解DIMACS 中的示例, 求解示例C500.9,MANN_a27,p_hat1500?2,p_hat1500?3 得到的最好解分別為50,123,61,92,而本文的求解結(jié)果分別為52,125,59,85。文獻(xiàn)[16]還將求解結(jié)果與其他2 個啟發(fā)式算法的求解結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果顯示,啟發(fā)式算法在求解的36 個案例中,只有 3個案例得到了與該算法相近的解。

      表1 CDA 算法結(jié)果與目前最好結(jié)果的比較Tab.1 Comparison between the results of CAD algorithum and the best results at present

      6 結(jié)束語

      競爭決策算法是解決組合優(yōu)化問題的有效算法,該算法根據(jù)所求解的問題的數(shù)學(xué)性質(zhì)設(shè)計出競爭規(guī)則、競爭力函數(shù)、決策函數(shù)以及設(shè)定初始格局就能很好地求解組合優(yōu)化問題。求解最大團(tuán)問題時,該算法在資源分配階段即可形成1 個初始解,根據(jù)性質(zhì)4 判斷是否存在滿足資源交換條件的結(jié)點(diǎn),若存在則進(jìn)入資源交換階段,若不存在則舍棄該解,進(jìn)入新一輪的競爭決策,同時根據(jù)推論1 刪除冗余結(jié)點(diǎn)。初始解越接近最優(yōu)解,即初始解越好,求解速度就越快,可以通過設(shè)計合理的競爭規(guī)則和競爭力函數(shù)以及決策函數(shù)來得到較好的初始解。特別是在求解稀疏圖的最大團(tuán)問題時,競爭決策算法可以得到較好的初始解,同時根據(jù)推論1 快速刪除較多冗余結(jié)點(diǎn),實(shí)現(xiàn)快速求解。例如,1 個度小于等于2 的圖,根據(jù)性質(zhì)3 可知,該圖的最大團(tuán)最多只有3 個結(jié)點(diǎn),競爭決策算法可以在資源分配階段就能得到最優(yōu)解,同時根據(jù)推論1 刪除所有結(jié)點(diǎn),問題得以快速求解。競爭決策算法原理簡單,目前已經(jīng)應(yīng)用于TSP 問題(旅行商問題)、多目標(biāo)TSP 問題、0?1 背包問題、最小頂點(diǎn)覆蓋問題等,具有普遍的適用性。

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