因式分解中的易錯(cuò)點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略

李 莉

（江蘇省昆山市玉山中學(xué)，江蘇 昆山）

多項(xiàng)式因式分解是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，是解決數(shù)學(xué)問題的基本工具，在方程、函數(shù)等問題中有著廣泛的應(yīng)用。但在學(xué)習(xí)中學(xué)生經(jīng)常是“掌握不難，做對(duì)不易”。在該知識(shí)的教學(xué)中，筆者總結(jié)了學(xué)生容易發(fā)生的幾類典型錯(cuò)誤，針對(duì)這些錯(cuò)誤，提出了應(yīng)對(duì)策略。

一、不理解因式分解的定義

錯(cuò)例 1：x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x。犯此類錯(cuò)誤的同學(xué)，很明顯，沒有理解因式分解的定義（把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解）。

應(yīng)對(duì)策略：首先，教師應(yīng)讓學(xué)生理解因式分解的定義，區(qū)分整式乘法和多項(xiàng)式的因式分解，要求學(xué)生檢查分解的結(jié)果是否符合“幾個(gè)整式的積的形式”，不能出現(xiàn)像例1中“+6x”這樣的“尾巴”。

二、忽略公因式，錯(cuò)提公因式

錯(cuò)例 2：4x2-16=（2x+4）（2x-4）（正解：4x2-16=4（x2-4）=4（x-2）（x+2）），看似正確的因式分解，實(shí)則錯(cuò)誤。這樣的題目，學(xué)生拿到手往往先想到用公式法或者十字相乘法分解，做完還很滿意，其實(shí)無論何種因式分解，第一步都應(yīng)該是提取公因式，提取完后，結(jié)果的括號(hào)內(nèi)才不會(huì)出現(xiàn)公因式。

錯(cuò)例 3：9a2-81a2b2=a2（9-81b2）=a2（3-9a）（3+9a）（正解：9a2-81a2b2=9a2（1-9b2）=9a2（1-3a）（1+3a））。在本例中，學(xué)生提公因式僅考慮相同字母而忽略了系數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生。這類錯(cuò)誤在因式分解問題中經(jīng)常出現(xiàn)。

應(yīng)對(duì)策略：教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)，對(duì)于多項(xiàng)式的因式分解，首先想到的應(yīng)是提取公因式，然后再考慮其他方法。對(duì)于公因式的提取，學(xué)生應(yīng)“一看系數(shù)”“二看相同字母或者代數(shù)式”“三看相同字母或代數(shù)式的指數(shù)”，三個(gè)方面缺一不可。在完成一個(gè)因式分解問題后，學(xué)生也應(yīng)該檢查結(jié)果是否分解徹底，特別是括號(hào)里是否還有公因式的存在。

三、因式分解公式運(yùn)用不靈活

錯(cuò)例 4：4x2-y2=（4x+y）（4x-y）（正解：4x2-y2=（2x+y）（2x-y）），

錯(cuò)例5：x2-2x+4=（x-2）2（不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解）。

此類錯(cuò)誤的原因是學(xué)生對(duì)乘法公式的掌握不牢固，很多同學(xué)記憶公式基于自己原有的認(rèn)知。比如，他們認(rèn)為（a+b）2就理所當(dāng)然地等于a2+b2。

應(yīng)對(duì)策略：在公式的教授中可以借助一些口訣，如完全平方公式可以用口訣“首平方，尾平方，兩倍首尾在中央”，讓學(xué)生理解記憶公式的特征。學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師也要不斷地、反復(fù)地糾正和強(qiáng)調(diào)。如此，學(xué)生才能改變?cè)械恼J(rèn)知，將公式建構(gòu)到自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去。只有掌握了公式學(xué)生方能靈活運(yùn)用公式。

四、“十字相乘”錯(cuò)相乘

錯(cuò)例 6：x2-x-6=（x+3）（x-2）（正解：x2-x-6=（x-3）（x+2））。

錯(cuò)例 7：（x+2）（x+3）+x2-4=2x2+5x+2=（2x+2）（x+1）=2 （x+1）2，（正解：（x+2）（x+3）+x2-4=2x2+5x+2=（2x+1）（x+2））。

十字相乘法是多項(xiàng)式因式分解中應(yīng)用最為廣泛的，但也是最為靈活的一種方法，怎樣分解既要結(jié)合三個(gè)項(xiàng)每項(xiàng)系數(shù)的數(shù)值，還要注意它們的符號(hào)，往往類似的系數(shù)有不同的拆法。錯(cuò)例6中學(xué)生就是沒有注意到一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。錯(cuò)例7雖然二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分拆正確了，在最后書寫的時(shí)候，由于習(xí)慣性思維又導(dǎo)致書寫有誤。

應(yīng)對(duì)策略：在平時(shí)的教學(xué)中，教師要注意一題多變，讓學(xué)生體會(huì)相同系數(shù)不同拆法，還要強(qiáng)調(diào)最后書寫時(shí)十字兩側(cè)的項(xiàng)務(wù)必橫著組合，決不可斜著組合。

五、因式分解結(jié)果不徹底

錯(cuò)例 8：x4-1=（x2+1）（x2-1）（正解：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x-1）（x+1）），錯(cuò)例 9：（3a2+2a-8）2-（a2-2a-8）2=［（3a2+2a-8）-（a2-2a-8）］［（3a2+2a-8）+（a2-2a-8）］=（2a2+4a）（4a2-16）］（正解：（3a2+2a-8）2-（a2-2a-8）2=（2a2+4a）（4a2-16）=8a（a+2）2（a-2））。

因式分解不徹底，是多數(shù)學(xué)生的通病。究其原因主要是學(xué)生的檢驗(yàn)意識(shí)不強(qiáng)，因式分解的各種方法運(yùn)用不靈活。

應(yīng)對(duì)策略：教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生檢驗(yàn)思想的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)做完題目后，回頭看看是否分解徹底，是否最簡(jiǎn)。學(xué)生一旦養(yǎng)成做題后檢驗(yàn)的習(xí)慣，那么他們就不會(huì)出現(xiàn)上述錯(cuò)誤，他們的運(yùn)算能力也會(huì)有一個(gè)較高的提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會(huì)相應(yīng)得到提高。

六、代換思想運(yùn)用不靈活

錯(cuò)例 10：（x2-1）2+9+6（1-x2）=x4+1-2x2+9+6-6x2=x4-8x2+16正解：（x2-1）2+9+6（1-x2）=（x2-1）2-6（x2-1）+9=（x2-4）2=（x+2）2（x-2）2。

缺乏整體思想的學(xué)生往往只見樹木不見樹林，遇見高次方的復(fù)雜多項(xiàng)式就束手無策了,不能轉(zhuǎn)化為基本問題來考慮。

應(yīng)對(duì)策略：教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生代換思想的培養(yǎng)，平時(shí)要多注意接觸類似的題目，提升學(xué)生的整體識(shí)別能力，加強(qiáng)代換思想的應(yīng)用。

七、因式分解與化簡(jiǎn)求值混淆

錯(cuò)例 11：化簡(jiǎn)（x-2y）（x+2y）-（x+2y）2=（x+2y）（x-2y-x-2y）=-4y（x+2y）（正解：（x-2y）（x+2y）-（x+2y）2=x2-4y2-x2-4y2-4xy=-8y2-4xy）。

應(yīng)對(duì)策略：教師要培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，要讓學(xué)生看清楚題目的要求，因式分解和化簡(jiǎn)是不一樣的，強(qiáng)調(diào)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式，而化簡(jiǎn)是運(yùn)用整式運(yùn)算方法將復(fù)雜的式子化為簡(jiǎn)單的式子的過程。

八、實(shí)際問題中應(yīng)用不靈活

因式分解的運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的要求較高，學(xué)生只有熟練掌握了因式分解的相關(guān)知識(shí)，才能將因式分解運(yùn)用于實(shí)際，才能運(yùn)用自如。筆者在授課中，遇到這樣一道題目：若a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，試判斷（a2+b2-c2）2-4a2b2的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。大部分學(xué)生遇到該題，首先是恐懼、害怕，而后是放棄，根本沒想到運(yùn)用因式分解的知識(shí)解決問題。此時(shí)，教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生，讓他們結(jié)合問題去尋找思路，與已學(xué)知識(shí)掛鉤。在教師的啟發(fā)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用因式分解的方法解決：（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2-2ab）（a2+b2-c2+2ab）=（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c），因?yàn)?a、b、c 為△ABC 的三邊長(zhǎng)，所以 b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，a+b+c＞0，所以（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c）＞0，所以，（a2+b2-c2）2-4a2b2＞0。

所以，（a2+b2-c2）2-4a2b2是正數(shù)。師生共同努力下完成了該題，此時(shí)，學(xué)生對(duì)于因式分解的理解拓寬到了應(yīng)用的層面，教師可以再找一些類似的題目讓學(xué)生練習(xí)，使他們體會(huì)因式分解的活學(xué)活用。

以上八種情況是筆者在教授“多項(xiàng)式的因式分解”過程中，歸納出的學(xué)生易犯錯(cuò)誤以及應(yīng)對(duì)策略。實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生可能還會(huì)犯不同于以上的其他錯(cuò)誤。作為數(shù)學(xué)教師，只要我們肯觀察，肯思考，肯踐行，一定能降低學(xué)生的易犯錯(cuò)誤，提高他們的數(shù)學(xué)解題能力。