“同構(gòu)”的對稱思維是數(shù)學(xué)解題中的最關(guān)鍵最必要的共同素養(yǎng)

寧夏固原市第一中學(xué) 林海平

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以及解題過程中“，同構(gòu)”的對稱思維模式往往自然地使師生產(chǎn)生“共鳴”，潛移默化地溝通了師生學(xué)習(xí)模式，并且使得知識內(nèi)容讓學(xué)生更加容易接受，甚至使得學(xué)生能夠自主理解推導(dǎo)。尤其在恒等式變形過程中，左右結(jié)構(gòu)對稱的“同構(gòu)”指導(dǎo)原則，可促進(jìn)學(xué)生實(shí)施對稱變形、單方變換、對應(yīng)跟進(jìn)、快捷轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)迅速簡化、準(zhǔn)確到位的理想狀態(tài)。

一、單方變換

1的代換，等常數(shù)代換，往往是跟隨已知式選擇同構(gòu)式的構(gòu)造。比如，logax-1=0可以同構(gòu) logax-logaa=0=loga1，所以

二、對稱變形

例1 在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，則此三角形是( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.直角或等腰三角形

分析：在△ABC中，將已知的等積式a2tanB=b2tanA變形為比例式，對稱化歸為左 a，A右 b，B的形式，即由正弦定理及切化弦，得所以，故選D.

三、對應(yīng)跟進(jìn)

分析：觀察已知式左、右兩邊結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其右邊可分離常數(shù)1，如此左右同構(gòu)配湊，左邊亦可分離出常數(shù)1，可使得左右結(jié)構(gòu)對稱，迅速簡化，由正弦定理及切化弦，再由通分、和角公式等變形得有關(guān)角 的等量關(guān)系。

教學(xué)案例 圓錐曲線的參數(shù)方程的“同構(gòu)”教學(xué)輔助

分析：利用cos2α+sin2α＝1與橢圓方程“同構(gòu)”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對應(yīng)變形橢圓方程為，選擇 φ作為參數(shù)，令=sinφ，得橢圓的 參 數(shù) 方 程 為（φ為參數(shù)）。即橢圓（a＞b＞0）上任意一點(diǎn) M（x，y）的坐標(biāo)又可以假設(shè)為 M（acosφ，bsinφ），φ∈[0，2π）。

對于拋物線 y2=2px，（p＞0） 上任意一點(diǎn)M的參數(shù)坐標(biāo)可以通過左右同構(gòu)自然推導(dǎo)。觀察y2=2px，左邊為一個完全平方數(shù)，可令x=2pt2使右邊也配湊為完全平方數(shù)（2p）t，2即引入?yún)?shù)t，又關(guān)注x，y的取值

四、快捷轉(zhuǎn)換

點(diǎn)i在哪兒？學(xué)生經(jīng)常在一些細(xì)節(jié)處犯糊涂。本質(zhì)核心在于任意復(fù)數(shù)都可以統(tǒng)一為同樣的代數(shù)表達(dá)結(jié)構(gòu)：z=x+yi（x∈R，y∈R）。又一一對應(yīng)點(diǎn)Z（x，y），所以由z=i=0+1i知點(diǎn) i的坐標(biāo)為（0，1），即點(diǎn) i在虛軸上。

數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模、滲透的數(shù)學(xué)思想，主要是轉(zhuǎn)化、化歸思想。“同構(gòu)”的對稱思維模式教給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的看法、方法和辦法以及探究的手段。利用同構(gòu)，凸顯問題背后的基礎(chǔ)知識的本質(zhì)，就能觸類旁通地以一當(dāng)十，自然提升學(xué)習(xí)者的解題效率。

“同構(gòu)”是所有學(xué)生都應(yīng)具備的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的共同素養(yǎng)，是最關(guān)鍵、最必要的共同素養(yǎng)。