論數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

福建省南平市劍津中學(xué) 吳永軍

數(shù)形結(jié)合思想主要包含三個(gè)層面，即以數(shù)代形思想、以形代數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想。以形代數(shù)思想指學(xué)生利用圖形形象化地表示數(shù)字關(guān)系的思想，以數(shù)代形思想指學(xué)生用數(shù)字關(guān)系直觀地表示圖形關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想則為以上兩種思想的綜合。通過(guò)引入數(shù)形結(jié)合思想，初學(xué)數(shù)學(xué)中的疑難問(wèn)題能夠?qū)崿F(xiàn)不同形式之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而拓寬解題思路，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的最優(yōu)化解決。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)。接下來(lái)，將按照本人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)介紹以下幾種數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略。

一、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)考驗(yàn)學(xué)生思維能力與數(shù)學(xué)意識(shí)的過(guò)程，擁有一定的數(shù)學(xué)意識(shí)是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要條件。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中首先應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想意識(shí)，讓學(xué)生在思維上形成一種數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

首先，教師應(yīng)當(dāng)鍛煉學(xué)生的思維活躍力。所謂思維活躍力，就是當(dāng)學(xué)生在對(duì)一道題目進(jìn)行分析時(shí)，不僅僅能夠按照傳統(tǒng)思維分析題目，并且能夠轉(zhuǎn)換思路從其他角度或思維解題的能力。例如，在初三總復(fù)習(xí)上平面直角坐標(biāo)系一節(jié)的教學(xué)過(guò)程中，在講解單個(gè)參數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)我通過(guò)引入動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題形成函數(shù)圖像對(duì)含單個(gè)參數(shù)的點(diǎn)進(jìn)行講解。通過(guò)講解動(dòng)點(diǎn)軌跡及函數(shù)圖像，學(xué)生能夠從數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)理解含參動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

例題：無(wú)論m為何值，點(diǎn)A(m，3－2m)不可能在（ ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

其次，教師應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)與形的轉(zhuǎn)換意識(shí)。在函數(shù)中，題目中給出函數(shù)解析式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖像，并根據(jù)函數(shù)圖像分析函數(shù)問(wèn)題。如果學(xué)生僅僅從函數(shù)解析式入手，那么對(duì)問(wèn)題的理解可能僅僅停留在數(shù)字層面而無(wú)法深入。

二、學(xué)會(huì)“以形代數(shù)”，將抽象問(wèn)題具體化

“以形轉(zhuǎn)數(shù)”是數(shù)形結(jié)合思想的第一層應(yīng)用，對(duì)于初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，該方法的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生解決很多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生而言，理解題目是答題過(guò)程中的第一項(xiàng)任務(wù)，而學(xué)生在實(shí)際的答題過(guò)程中很容易遇到抽象化的問(wèn)題，這些問(wèn)題不僅不利于學(xué)生解答，對(duì)于學(xué)生的理解而言，更存在一定的困難。

為了提高學(xué)生對(duì)這種類(lèi)型題目的解題效率，以形轉(zhuǎn)數(shù)的應(yīng)用是非常重要的，它可以將一部分抽象的問(wèn)題具體化，先讓學(xué)生對(duì)具體的題目產(chǎn)生直觀認(rèn)識(shí)，明確題目要求，然后進(jìn)行實(shí)際的解答。例如，在絕對(duì)值的教學(xué)過(guò)程中，在初次進(jìn)行教學(xué)時(shí)，由于學(xué)生從未接觸過(guò)與之相關(guān)的內(nèi)容，可能會(huì)出現(xiàn)理解不到位的現(xiàn)象，此時(shí)教師就可以通過(guò)畫(huà)數(shù)軸的形式讓學(xué)生明確絕對(duì)值的含義。當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行具體題目的解答時(shí)，也可以借助畫(huà)數(shù)軸的形式來(lái)把抽象的數(shù)字變得更加具體，對(duì)于正數(shù)的絕對(duì)值，學(xué)生理解起來(lái)相對(duì)容易，但是對(duì)于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值而言，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)理解失誤的現(xiàn)象。比如，學(xué)生在判斷－3.3絕對(duì)值過(guò)程中，就可能會(huì)出現(xiàn)理解錯(cuò)誤的現(xiàn)象，如果學(xué)生能夠運(yùn)用以形代數(shù)方法，錯(cuò)誤就可以得到一定程度的避免。學(xué)生可以先畫(huà)一條數(shù)軸，在數(shù)軸中間標(biāo)出原點(diǎn)的位置，在正方向上標(biāo)明正數(shù)，負(fù)方向上標(biāo)明負(fù)數(shù)，然后根據(jù)題目中的要求找到－3.3所在的位置，此時(shí)該點(diǎn)到零的距離就是其絕對(duì)值。除了絕對(duì)值的應(yīng)用，對(duì)于初中數(shù)學(xué)知識(shí)中的很多內(nèi)容，該思想方法都可以得到有效的利用。

三、學(xué)會(huì)“以數(shù)代形”，將具體問(wèn)題生動(dòng)化

“以數(shù)代形”是數(shù)形結(jié)合思想的另一項(xiàng)應(yīng)用，它主要是指在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中或者數(shù)學(xué)題目的解答過(guò)程中，通過(guò)用數(shù)字代替具體圖形的形式使具體的問(wèn)題更加生動(dòng)化，該方法的應(yīng)用能夠讓學(xué)生進(jìn)行精準(zhǔn)的計(jì)算，提高問(wèn)題解決的質(zhì)量和效率。

在具體的教學(xué)過(guò)程中，為了提高學(xué)生對(duì)這一思想方法的應(yīng)用，教師首先要讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)的教材知識(shí)，只有在此基礎(chǔ)上才能通過(guò)靈活的變化來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題，并且提高學(xué)生對(duì)于具體解題方式的理解。對(duì)于與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生在理解的過(guò)程中可能會(huì)遇到一些困難和問(wèn)題，教師要通過(guò)耐心的講解來(lái)幫助學(xué)生克服這些問(wèn)題，讓他們對(duì)于以數(shù)代形的應(yīng)用形成自己的解題思路。例如，在題目“已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是m2－n2、2mn、m2+n2，其中 m、n 為正整數(shù)且 m＞n，求△ABC的面積”的教學(xué)過(guò)程中，直接根據(jù)三角形的圖形進(jìn)行計(jì)算的難度非常大。學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中很容易出現(xiàn)問(wèn)題。此時(shí)就可以借助以數(shù)代形的方式，在直接計(jì)算三角形的面積之前，通過(guò)對(duì)三邊的分析和計(jì)算，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)其三邊長(zhǎng)符合勾股定理的逆定理要求，而學(xué)生也可以根據(jù)勾股定理的逆定理理解，確定三邊哪兩條邊是直角邊，在進(jìn)行面積計(jì)算時(shí)直接利用兩直角邊的乘積的一半進(jìn)行計(jì)算即可。以數(shù)代形的應(yīng)用不僅僅體現(xiàn)在完全用代數(shù)代替圖形進(jìn)行題目的解答，也體現(xiàn)在通過(guò)一定程度的代數(shù)輔助圖形，促進(jìn)問(wèn)題的解決。

四、學(xué)會(huì)“數(shù)形結(jié)合”，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決多樣化

“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)要求不僅僅是局限在讓學(xué)生能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的以數(shù)代形和以形代數(shù)的應(yīng)用，更重要的是讓學(xué)生能夠根據(jù)不同的題目要求，對(duì)圖形和代數(shù)進(jìn)行靈活的變化。對(duì)于初中階段的很多難度較大的知識(shí)，僅僅通過(guò)某一層面的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用是很難達(dá)到。講解題目的時(shí)候，就需要教學(xué)生代數(shù)與圖形進(jìn)行反復(fù)的變換，對(duì)題目有更加深入的認(rèn)識(shí)和了解，從而使具體題目的解答更加高效。

為了提高學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的綜合利用，在教材知識(shí)的講解過(guò)程中，教師要通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)進(jìn)行具體內(nèi)容的講解。在讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行理解時(shí)，不要完全按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法，這不僅不利于學(xué)生的理解，還不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維拓展。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行具體知識(shí)的教學(xué)，既可以讓學(xué)生掌握教材知識(shí)，又能夠讓學(xué)生掌握這一數(shù)學(xué)思維方式。在對(duì)具體題目的教學(xué)過(guò)程中，不論是否有更加簡(jiǎn)便的解題方式，如果時(shí)間允許，教師都可以通過(guò)利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)講解，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合適合應(yīng)用于哪一類(lèi)型的題目，在應(yīng)用的過(guò)程中應(yīng)該注意哪些問(wèn)題，代數(shù)與圖形的具體變化對(duì)于題目的解答起到了怎樣的促進(jìn)作用都有進(jìn)一步的了解。相比于單一的以數(shù)代形和以形代數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合的綜合運(yùn)用對(duì)于學(xué)生的基礎(chǔ)掌握情況和數(shù)學(xué)思維的靈活性都提出了更高的要求，在該方法的指導(dǎo)下，學(xué)生的解題方式可以多樣化。

針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的不同層次，教師應(yīng)該采取不同的具體教學(xué)方式，由于學(xué)生的基礎(chǔ)掌握情況也存在一定的差異，教學(xué)方式的靈活性也是非常重要的。為了達(dá)到更好的教學(xué)效果，教師要立足于學(xué)生的基礎(chǔ)狀況和教材基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)有意識(shí)的引導(dǎo)使學(xué)生對(duì)于該思想方法的認(rèn)識(shí)更加準(zhǔn)確，并逐步提升學(xué)生的應(yīng)用能力。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，其對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性更是不言而喻，掌握該方法的應(yīng)用是學(xué)生的必修課。