淺談因式分解

（蓋州市礦洞溝學(xué)校 遼寧營(yíng)口 115208）

因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算，是重要的多項(xiàng)式變形，因式分解是解高次方程的重要方法，類比小學(xué)階段的分解質(zhì)因數(shù)，學(xué)生對(duì)因式分解的概念不難掌握，但是在解題過(guò)程中容易分解不徹底，或者不會(huì)分解，根據(jù)我在教學(xué)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)，本文主要談?wù)勔蚴椒纸鈺r(shí)學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤和初中階段因式分解的一般方法。

一、因式分解的形式

多項(xiàng)式=式子1×式子2×式子3×…×式子n（式子是整式）

例1：因式分解xn+1-xn-1

錯(cuò)解：xn+1-xn-1=xn（x-x-1）， x-1是分式，不是整式

正解：xn+1-xn-1=xn-1（x2-1）= xn-1（x+1）（x-1）

二、提公因式法

各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。找出各項(xiàng)的公因式，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母， 且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。約數(shù)如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。

例2：6x2y2z-4xyz2+2xyz =2xyz（3xy-4z+1）

三、公式法

1.平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）公式中的字母a、b既可以用數(shù)或字母代替，也可以用單項(xiàng)式或多項(xiàng)式代替。只有平方項(xiàng)a2和b2符號(hào)相反才能用平方差公式分解，例如多項(xiàng)式-x2-1不能用平方差公式分解。

例3：4x2y2-z2=（2xy）2-z2=（2xy+z）（2xy-z）

例4：-25a2+49b2=-（5a）2+（7b）2=（7b+5a）（7b-5a）

如果有兩項(xiàng)分別可以寫(xiě)成兩個(gè)整式的平方的形式，而且平方項(xiàng)的符號(hào)相反，這時(shí)要考慮用平方差公式分解因式。

2.完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2項(xiàng)數(shù)為三項(xiàng)，其中兩個(gè)項(xiàng)可以寫(xiě)成平方的形式，第三項(xiàng)為乘積的2倍，這時(shí)用完全平方公式。平方項(xiàng)符號(hào)必須相同，比如-x2+4xy-4y2平方項(xiàng)x2和4y2符號(hào)相同都為負(fù)，所以可以提出“-”號(hào)，再分解。

例5:9mn2-12mn+4m=m（9n2-12n+4）=m（3n-2）2

例 6：4（2a-b）2-9（2a+b）2=〔2（2a-b）〕2-〔3（2a+b）〕2=（4a-2b+6a+3b）（4a-2b-6a-3b）=（10a+b）（-2a-5b）

3.立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）、立方差公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

例6：8x3-y3=（2x-y）（4x2+2xy+1）

分析:如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，就先提公因式，然后再進(jìn)一步分解，直至不能再分解為止。

有些計(jì)算題，雖然屬于單純的數(shù)字計(jì)算，但是按一般步驟進(jìn)行，不僅計(jì)算麻煩，且易出錯(cuò)，若能利用因式分解的方法，先因式分解，再計(jì)算，就可以大大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。

運(yùn)用公式法分解因式的思路是：

（1）當(dāng)多項(xiàng)式只有兩項(xiàng)時(shí)，若各項(xiàng)的指數(shù)都是2的倍數(shù)且二次項(xiàng)系數(shù)異號(hào)時(shí)，可考慮用平方差公式。

（2）當(dāng)多項(xiàng)式有三項(xiàng)時(shí)，可以考慮用完全平方公式加以分解。

四、分組分解法

運(yùn)用分組分解法的關(guān)鍵是熟悉以上兩種分解方法的基礎(chǔ)上對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行正確的分組，然后再利用提公因式法或公式法分解。能分組分解的多項(xiàng)式有四項(xiàng)或六項(xiàng)或大于六項(xiàng)

二 二 分 法：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by） =a（x+y）+b（x+y） =（a+b）（x+y）

三 一 分 法：2xy-x2+1-y2= -x2+2xy-y2+1= -（x2-2xy+y2）+1= 1-（x-y）2 = （1+x-y）（1-x+y）

例6：x2+2xy+y2-2x+2y+1=（x-y）2-2（x-y）+1=（x-y-1）2

例7：1-x2+4xy-4y2=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1+x-2y）（1-x+2y）

五、特殊方法

1.換元法。換元法就是把多項(xiàng)式的某部分換成新元，從而使多項(xiàng)式的數(shù)或式的關(guān)系明朗化，把一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為容易分解的多項(xiàng)式。

例7：分解因式（m2+8m+7）（m2+8m+1）+9

這個(gè)題目按照一般做法是先把兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，合并同類項(xiàng)，就會(huì)得到一個(gè)四次多項(xiàng)式，用基本分解法就難以分解。觀察這兩個(gè)多項(xiàng)式都有m2+8m，可把m2+8m看成一個(gè)數(shù)y，于是原多項(xiàng)式可轉(zhuǎn)化為（y+7）（y+1）+9=y2+8y+16，而y2+8y+16是一個(gè)二次三項(xiàng)式，可以用完全平方分式分解。

2.拆項(xiàng)、添項(xiàng)。拆項(xiàng)、添項(xiàng)都是把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為能提公因式或運(yùn)用公式分解。

例8：m3-3m+2=m3-1-3m+3（把2拆成-1+3）

=（m3-1）-（3m-3）（拆項(xiàng)后能運(yùn)用公式）

=（m-1）（m2+m+1）-3（m-1）（提公因式）

=（m-1）2（m+2）

例9：x4+4=x4+4x2-4x2+4（添4x2再減4x2）

=（x2+2）2-4x2（平方差公式）

=（x2+2-2x）（x2+2+2x）

多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆變形，是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段和工具。因式分解在代數(shù)式的運(yùn)算、解方程等方面有極其廣泛的運(yùn)用。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分重要的作用。